Главная » Просмотр файлов » Лекции по алгебре

Лекции по алгебре (968698), страница 7

Файл №968698 Лекции по алгебре (Лекции по алгебре) 7 страницаЛекции по алгебре (968698) страница 72019-04-24СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

mNOGO^LEN d(x) ∈ P [x] NAZYWAETSQ NAIBOLX[IM OB]IM DELITELEM (n.o.d.)MNOGO^LENOW f (x) I g(x), ESLI:1) d(x) — OB]IJ DELITELX MNOGO^LENOW f (x) I g(x) (T. E. f (x) = d(x)q(x), g(x) = d(x)eq (x));2) dLQ L@BOGO OB]EGO DELITELQ d (x) MNOGO^LENOW f (x) I g(x) MNOGO^LEN d(x) DELITSQ NA d (x).oBOZNA^ENIE. d(x) = nod(f (x), g(x)).zAME^ANIE. iZ 2) SLEDUET, ^TO deg d(x) ≥ deg d (x), T. E. ^TO d(x) — OB]IJ DELITELX NAIBOLX[EJ STEPENI.pRAWDA, NAM E]< NADO USTANOWITX SU]ESTWOWANIE nod W NA[EM SMYSLE.tEOREMA (ALGORITM eWKLIDA). dLQ L@BYH f (x), g(x) ∈ P [x]:1) sU]ESTWUET NAIBOLX[IJ OB]IJ DELITELX d(x) MNOGO^LENOW f (x) I g(x);2) d(x) = nod(f (x), g(x)) NAHODITSQ PO PROCEDURE POSLEDOWATELXNOGO DELENIQ, WOSHODQ]EGO K eWKLIDU;3) nAIBOLX[IJ DELITELX d(x) OPREDEL<N ODNOZNA^NO, S TO^NOSTX@ DO NENULEWOJ KONSTANTY 0 6= c ∈ P .dOKAZATELXSTWO.1,2) rASSMOTRIM PROCEDURU eWKLIDA:000f (x) = g(x)q1 (x) + r1 (x), deg r1 (x) < deg g(x);g(x) = r1 (x)q2 (x) + r2 (x), deg r2 (x) < deg r1 (x);r1 (x) = r2 (x)q3 (x) + r3 (x), deg r3 (x) < deg r2 (x);...rk−3 (x) = rk−2 (x)qk−1 (x) + rk−1 (x), deg rk−1 (x) < deg rk−2 (x);rk−2 (x) = rk−1 (x)qk (x) + rk (x), deg rk (x) < deg rk−1 (x);rk−1 (x) = rk (x)qk+1 (x).A) pODNIMAQSX POSLEDOWATELXNO WWERH, MY WIDIM, ^TO r (x) OB]IJ DELITELX MNOGO^LENA g(x) I f (x).B) eSLI d (x) — OB]IJ DELITELX MNOGO^LENOW f (x) I g(x), TO OPUSKAQSX POSLEDOWATELXNO WNIZ, MY WIDIM,^TO d (x) — DELITELX MNOGO^LENA d(x).3) eSLI d(x) I d (x) — DWA NAIBOLX[IH OB]IH DELITELQ, TO ONI DELQTSQ DRUG NA DRUGA, I PO\TOMU d (x) =cd(x), 0 6= c ∈ P .

qSNO, ^TO ESLI d(x) — NAIBOLX[IJ OB]IJ DELITELX I 0 6= c ∈ P , TO cd(x) — TAKVENAIBOLX[IJ OB]IJ DELITELX.tEOREMA (O WYRAVENII NAIBOLX[EGO OB]EGO DELITELQ ^EREZ ISHODNYE MNOGO^LENY). eSLI f (x), g(x) ∈P [x] I d(x) = nod(f (x), g(x)), TO SU]ESTWU@T MNOGO^LENY u(x), v(x) ∈ P [x] TAKIE, ^TOk0000d(x) = f (x)u(x) + g(x)v(x)PRI \TOM, ESLI deg f (x) > 0, deg g(x) > 0, TO MOVNO S^ITATX, ^TO(deg u(x) < deg g(x),deg v(x) < deg f (x);\TO POZWOLQET ISKATX MNOGO^LENY S NEOPREDEL<NNYMI KO\FFICIENTAMI).dOKAZATELXSTWO. sU]ESTWOWANIE TAKIH MNOGO^LENOW u(x), v(x) SLEDUET IZ ALGORITMA eWKLIDA NAHOVDENIQd(x) = r (x), PODNIMAQ POSLEDOWATELXNO WYRAVENIE r (x), SNA^ALA ^EREZ r(x) I r(x), POTOM, PODSTAWLQQWYRAVENIE r (x), ^EREZ r (x) I v (x), I ZAWER[AQ, ^EREZ g(x) I f (x).kkk−1k−3k−225k−2k−1lEKCIQ 19http://mmresource.narod.ru/eSLI NAJDENY ”PLOHIE” u(x) I v(x), PUSTX, NAPRIMER, deg u(x) ≥ deg g(x), TO u(x) = g(x)q(x) + r(x), IPO\TOMU d(x) = f (x)r(r) + g(x)[v(x) + f (x)q(x)].

iZ SRAWNENIQ STEPENEJ SLEDUET, ^TO deg(v(x) + f (x)q(x)) <deg f (x), POSKOLXKU deg(f (x)r(x)) < deg f (x) + deg g(x), deg d(x) ≤ deg f (x), deg d(x) ≤ deg g(x). ¤zAME^ANIE. pOLNOSTX@ ANALOGI^NO W KOLXCE Z CELYH ^ISEL USTANAWLIWAETSQ ALGORITM DELENIQ SOSTATKOM (n = mq + r, r = 0 ILI 0 < r < |m|) I ALGORITM eWKLIDA DLQ NAHOVDENIQ NAIBOLX[EGO OB]EGODELITELQ d = nod(m, n) (S WOZMOVNOSTX@ WYRAVENIQ W WIDE d = mu + nv, u, v ∈ Z).aNALOGIQ OB_QSNQETSQ TEM, ^TO KOLXCO Z CELYH ^ISEL (S FUNKCIEJ N (n) = |n| DLQ n ∈ Z) I KOLXCOCELYH ^ISEL (S FUNKCIEJ N (f (x)) = deg f (x) DLQ f (x) ∈ P [x]) QWLQETSQ EWKLIDOWYMI KOLXCAMI, T.

E.KOMMUTATIWNYM KOLXCOM R S 1, BEZ DELITELEJ NULQ S FUNKCIEJ N : R\{0} → N TAKOJ, ^TO N (ab) ≥ N (a) IDLQ WSEH a, b ∈ R, b 6= 0 SU]ESTWUET q, r ∈ R TAKIE, ^TO a = bq + r, GDE r = 0 ILI N (r) < N (b). pO\TOMU, WEWKLIDOWYH KOLXCAH IMEET MESTO ALGORITM eWKLIDA NAHOVDENIQ d = nod(a, b) I EGO PREDSTAWLENIE W WIDEd = au + bv, u, v ∈ R. pOSLEDNEE OZNA^AET, ^TO EWKLIDOWO KOLXCO R QWLQETSQ KOLXCOM GLAWNYH IDEALOW,T. E.

KAVDYJ IDEAL I / R KOLXCA R QWLQETSQ GLAWNYM, T. E. IMEET WID I = Ra, a ∈ R. dEJSTWITELXNO, ESLI0 6= I / R I a — NENULEWOJ \LEMENT W I S NAIMENX[IM ZNA^ENIEM N (a), TO, KONE^NO, Ra ⊆ I, I DLQ L@BOGO\LEMENTA t ∈ I IZ EGO PREDSTAWLENIQ W WIDE t = aq + r, GDE r = 0 ILI N (r) < N (a), SLEDUET, ^TO r = t − aq ∈ I,NO \TO PROTIWORE^IT WYBORU \LEMENTA a W I; ITAK, r = 0, T. E.

t = aq ∈ Ra; TAKIM OBRAZOM, I = Ra —GLAWNYJ IDEAL.dLQ L@BYH DWUH \LEMENTOW a, b ∈ R KOLXCA GLAWNYH IDEALOW R NAIMENX[IJ IDEAL I, SODERVA]IJ \LEMENTYa I b,I = Ra + Rb = {ra + sb|r, b ∈ R},IMEET WID I = Rd, d ∈ R, T. E. Ra + Rb = Rd. nO TOGDA a = rd, b = sd,au + bv = d, r, s, u, v ∈ RtAKIM OBRAZOM, d — OB]IJ DELITELX \LEMENTOW a I v. eSLI db, a = d q , b = d q , TO00012—DRUGOJ OB]IJ DELITELX \LEMENTOW a Id = au + bv = d0 (q1 u + q2 v).iTAK, d = nod(a, b).lekciq19.26NOQBRQ 2001 G.dOKAZATELXSTWO OSNOWNOJ TEOREMY ALGEBRY KOMPLEKSNYH ^ISEL (TEOREMA gAUSSA, 1799 G.).eSLI f (x) ∈ C[x], deg f (x) ≥ 1, TO SU]ESTWUET KORENX c ∈ C MNOGO^LENA f (x), T.

E. f (c) = 0.{AG 1. (sU]ESTWOWANIE ABSOL@TNOGO MINIMUMA WE]ESTWENNOZNA^NOJ FUNKCII |f (x)| NA KOMPLEKSNYH^ISLAH C). nAPOMNIM, ^TO |z z | = |z ||z | I |z | − |z | ≤ |z + z | ≤ |z | + |z | DLQ z , z ∈ C.lEMMA. eSLI f (x) = x + a x + . . . + a x + a , a ∈ C, n ≥ 1, TO NAJD<TSQ RADIUS 0 < A ∈ R TAKOJ,^TO |f (z)| > |f (0)|(= |a |) DLQ WSEH z ∈ C, |z| > A (T. E. WNE KRUGA RADIUSA A S CENTROM W 0 ZNA^ENIE FUNKCII|f (x)| PREWOSHODIT |f (0)| = |a |).dOKAZATELXSTWO. pUSTX 0 6= z ∈ C.

tOGDA1 2nn−112n−11211021212i00f (z) = z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 = z n (1 +I PO\TOMU|f (z)| = |z|n |1 + (an−1a0+ . . . + n ),zzan−1a0an−1a0|an−1 ||a0 |+ . . . + n )| ≥ |z|n (1 − |+ . . . + n |) ≥ |z|n (1 −− . . . − n ) = ϕ(|z|),zzzz|z||z|GDE ϕ(t) = t (1 − − . . . − ) DLQ t ∈ R. qSNO, ^TO lim ϕ(t) = +∞, I PO\TOMU DLQ L@BOGO C (NAPRIMER,DLQ C = |f (0)| = |a |) NAJD<TSQ 0 < A ∈ R TAKOE, ^TO DLQ t > A IMEEM ϕ(t) > C.

iTAK, ESLI |z| = t > A, TOn|an−1 |t|a0 |tnt→+∞0|f (z)| ≥ ϕ(|z|) = ϕ(t) > C = |f (0)| = |a0 |.26¤lEKCIQ 19http://mmresource.narod.ru/tAK KAK FUNKCIQ |f (z)| : C → R NEPRERYWNA KAK KOMPOZICIQ DWUH NEPRERYWNYH FUNKCIJ C → C, z → f (z),ILI, ESLI z = u + vi, (u, v) ∈ R , TO f (z) = ψ (u, v) + ψ (u, v)i, GDE ψ (u, v) I ψ (u, v)MNOGO^LENY S DEJSTWITELXNYMI KO\FFICIENTAMI OT u, v, I PO\TOMU |f (z)| = pψ (u, v) + ψ (u, v) —NEPRERYWNAQ FUNKCIQ OT (u, v)), TO NA ZAMKNUTOM OGRANI^ENNOM MNOVESTWE (KOMPAKTE)2C → R, w → |w| (—12122122K = {z ∈ C||z| ≤ A}NEPRERYWNAQ FUNKCIQ |f (z)| DOSTIGAET SWOEGO MINIMUMA W TO^KE zeSLI z ∈ C\K, T. E.

|z| > A, TO MY WIDIM, ^TO0w ^ASTNOSTI, |f (z )| ≤ |f (0)| = |a |.∈ K.00|f (z0 )| ≤ |f (0)| ≤ |f (z)|.tAKIM OBRAZOM, W TO^KE z DOSTIGAETSQ ABSOL@TNYJ MINIMUM FUNKCII |f (z)| NA C.{AG 2. mY POKAVEM, ^TO f (z ) = 0, T. E. c = z QWLQETSQ KORNEM MNOGO^LENA f (x). dEJSTWITELXNO, ESLIf (z ) 6= 0, TO |f (z )| > 0 I, KAK POKAZYWAET SLEDU@]AQ LEMMA dALAMBERA, \TO DOPU]ENIE PROTIWORE^IT TOMU,^TO z — ABSOL@TNYJ MINIMUM FUNKCII |f (x)|.lEMMA dALAMBERA. pUSTX f (x) ∈ C[x], deg f (x) ≥ 1, f (z ) 6= 0 DLQ z ∈ C.

tOGDA DLQ L@BOGO ε > 0NAJD<TSQ \LEMENT y ∈ C TAKOJ, ^TO |y| < ε I |f (z + y)| < |f (z )|.dOKAZATELXSTWO. eSLI z = z + y, T. E. y = z − z , TO000000000000f (z) = a0 + a1 z + . . . + an−1 z n−1 + zn = c0 + c1 y + . . . + cn−1 y n−1 + cn y n ,GDE c = f (z ) 6= 0 (PRI y = 0 IMEEM z = z ), c = 1 (KAK KO\FFICIENT PRI y W (zpUSTX k > 0 — NAIMENX[IJ NOMER SLAGAEMOGO, DLQ KOTOROGO c 6= 0. iTAK,000nn0+ y)n ).kf (z) = c0 + ck y k + ck+1 y k+1 + . .

. + cn y n .oSNOWNOE SOOBRAVENIE ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO W OKRESTNOSTI TO^KI z (T. E. y = 0) POWEDENIE MNOGO^LENAOPREDELQETSQ PERWYMI DWUMQ ^LENAMI c + c y .sNA^ALA, PUSTX y ODNO IZ RE[ENIJ URAWNENIQ c + c y = 0 (T. E. y = − , y — ODIN IZ k KORNEJ IZKOMPLEKSNYH ^ISLA − ). eSLI, DALEE, t ∈< 0, 1 >⊆ R, TO c y = −c , I PO\TOMU0k00k0kc0ckkc0ckk0kk 000f (z0 + ty0 ) = c0 + ck tk y0k + ck+1 tk+1 y0k+1 + . . . + cn tn y0n = c0 (1 − tk ) + (ck+1 y0k+1 + .

. . + cn tn−(k+1) )tk+1 .eSLI |ck+1 ||y0 |k+1+ . . . + |cn | = |y0 |n = M ,TO|f (z0 + ty0 )| ≤ |c0 |(1 − tk ) + M tk+1 = |c0 |(1 − tk (1 −Mt)).|c0 |wYBEREM t ∈< 0, 1 > DOSTATO^NO MALYM, TAK, ^TO M t < |c |, t|y | = |ty | < ε. tOGDA 0 < 1 −PO\TOMU000Mt|c0 |< 1,I|f (z0 + ty0 )| < |c0 | = |f (z0 )|, |ty0 | < ε,tAKIM OBRAZOM, y = ty UDOWLETWORQET UTWERVDENI@ LEMMY. ¤tEOREMA (O RAZLOVENII MNOGO^LENA S KOMPLEKSNYMI KO\FFICIENTAMI W PROIZWEDENIE LINEJNYHMNOVITELEJ). pUSTX f (x) ∈ C[x], deg f (x) = n ≥ 1. tOGDA0f (x) = a(x − α1 ) .

. . (x − αn ), a, α1 , . . . , αn ∈ C,PRI \TOM \TO RAZLOVENIE EDINSTWENNOE (S TO^NOSTX@ DO PORQDKA SOMNOVITELEJ).dOKAZATELXSTWO. w SILU TEOREMY gAUSSA f (x) = (x − c)q(x), q(x) ∈ C[x], deg q(x) = n − 1. pRIMENIM DALEETEOREMU gAUSSA K q(x), ESLI n − 1 ≥ 1. pRODOLVAQ \TOT PROCESS, UBEVDAEMSQ W SU]ESTWOWANII RAZLOVENIQNA LINEJNYE MNOVITELI.pUSTX TEPERXf (x) = a(x − α1 ) . . . (x − αn ) = b(x − β1 ) .

. . (x − βn ), a, b, αi , βi ∈ C, a 6= 0, b 6= 0.27lEKCIQ 19http://mmresource.narod.ru/qSNO, ^TO a = b. eSLI α6= βjiDLQ WSEH j = 1, . . . , n, TOf (αi ) = 0 = b(αi − β1 ) . . . (αi − βj ) 6= 0.pO\TOMU W OBA RAZLOVENIQ WHODIT ODINAKOWOE MNOVESTWO RAZLI^NYH KORNEJ. uBEDIMSQ W SOWPADENIIKRATNOSTEJ WHOVDENIQ KAVDOGO KORNQ W OBA RAZLOVENIQ. dEJSTWITELXNO, ESLIf (x) = (x − α)r q1 (x) = (x − α)s q2 (x), q1 (α) 6= 0, q2 (α) 6= 0, r < s,TO, SOKRA]AQ W C[x] NA (x − α) , POLU^AEM q (x) = (x − α) q (x), I PO\TOMU q (α) = 0, ^TO PROTIWORE^ITq (α) 6= 0.

¤sLEDSTWIE. eSLI α , . . . , α — RAZLI^NYE KORNI MNOGO^LENA f (x) ∈ C[x], k , . . . , k — IH KRATNOSTI,n = deg f (x), TO n = k + . . . + k (T. E. MNOGO^LEN STEPENI n = deg f IMEET ROWNO n KORNEJ, KORNEJ, S^ITAQIH KRATNOSTI).zAME^ANIE (O NEPRIWODIMYH MNOGO^LENAH NAD POLEM KOMPLEKSNYH ^ISEL). pO ANALOGII S OPREDELENIEMPROSTYH ^ISEL W KOLXCE CELYH ^ISEL Z, MNOGO^LEN f (x) ∈ P [x], deg f (x) ≥ 1, NAZYWAETSQ NEPRIWODIMYM, ESLIf (x) NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE f (x) = ϕ(x)ψ(x), deg ϕ(x) ≥ 1, deg ψ(x) ≥ 1.tAKIM OBRAZOM, MY USTANOWILI, ^TO NEPRIWODIMYE MNOGO^LENY NAD POLEM C KOMPLEKSNYH ^ISEL — \TOW TO^NOSTI MNOGO^LENY PERWOJ STEPENI.

iZ EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIQ NA LINEJNYE MNOVITELI NAD CPOLU^AEM SU]ESTWOWANIE I EDINSTWENNOSTX RAZLOVENIQ NA NEPRIWODIMYE MNOGO^LENY NAD C.lEMMA. eSLI f (x), g(x) ∈ P [x], deg f (x) ≤ n, deg g(x) ≤ n, f (x) I g(x) SOWPADAET W (n + 1)-J RAZLI^NYHTO^KAH α , . . . , α ∈ P , TO f (x) = g(x).dOKAZATELXSTWO. pUSTX h(x) = f (x)−g(x). tOGDA, ESLI h(x) 6= 0, TO deg h(x) ≤ n I h(α ) = f (α )−g(α ) = 0DLQ i = 1, .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
371,32 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее