Лекции по алгебре (968698), страница 7
Текст из файла (страница 7)
mNOGO^LEN d(x) ∈ P [x] NAZYWAETSQ NAIBOLX[IM OB]IM DELITELEM (n.o.d.)MNOGO^LENOW f (x) I g(x), ESLI:1) d(x) — OB]IJ DELITELX MNOGO^LENOW f (x) I g(x) (T. E. f (x) = d(x)q(x), g(x) = d(x)eq (x));2) dLQ L@BOGO OB]EGO DELITELQ d (x) MNOGO^LENOW f (x) I g(x) MNOGO^LEN d(x) DELITSQ NA d (x).oBOZNA^ENIE. d(x) = nod(f (x), g(x)).zAME^ANIE. iZ 2) SLEDUET, ^TO deg d(x) ≥ deg d (x), T. E. ^TO d(x) — OB]IJ DELITELX NAIBOLX[EJ STEPENI.pRAWDA, NAM E]< NADO USTANOWITX SU]ESTWOWANIE nod W NA[EM SMYSLE.tEOREMA (ALGORITM eWKLIDA). dLQ L@BYH f (x), g(x) ∈ P [x]:1) sU]ESTWUET NAIBOLX[IJ OB]IJ DELITELX d(x) MNOGO^LENOW f (x) I g(x);2) d(x) = nod(f (x), g(x)) NAHODITSQ PO PROCEDURE POSLEDOWATELXNOGO DELENIQ, WOSHODQ]EGO K eWKLIDU;3) nAIBOLX[IJ DELITELX d(x) OPREDEL<N ODNOZNA^NO, S TO^NOSTX@ DO NENULEWOJ KONSTANTY 0 6= c ∈ P .dOKAZATELXSTWO.1,2) rASSMOTRIM PROCEDURU eWKLIDA:000f (x) = g(x)q1 (x) + r1 (x), deg r1 (x) < deg g(x);g(x) = r1 (x)q2 (x) + r2 (x), deg r2 (x) < deg r1 (x);r1 (x) = r2 (x)q3 (x) + r3 (x), deg r3 (x) < deg r2 (x);...rk−3 (x) = rk−2 (x)qk−1 (x) + rk−1 (x), deg rk−1 (x) < deg rk−2 (x);rk−2 (x) = rk−1 (x)qk (x) + rk (x), deg rk (x) < deg rk−1 (x);rk−1 (x) = rk (x)qk+1 (x).A) pODNIMAQSX POSLEDOWATELXNO WWERH, MY WIDIM, ^TO r (x) OB]IJ DELITELX MNOGO^LENA g(x) I f (x).B) eSLI d (x) — OB]IJ DELITELX MNOGO^LENOW f (x) I g(x), TO OPUSKAQSX POSLEDOWATELXNO WNIZ, MY WIDIM,^TO d (x) — DELITELX MNOGO^LENA d(x).3) eSLI d(x) I d (x) — DWA NAIBOLX[IH OB]IH DELITELQ, TO ONI DELQTSQ DRUG NA DRUGA, I PO\TOMU d (x) =cd(x), 0 6= c ∈ P .
qSNO, ^TO ESLI d(x) — NAIBOLX[IJ OB]IJ DELITELX I 0 6= c ∈ P , TO cd(x) — TAKVENAIBOLX[IJ OB]IJ DELITELX.tEOREMA (O WYRAVENII NAIBOLX[EGO OB]EGO DELITELQ ^EREZ ISHODNYE MNOGO^LENY). eSLI f (x), g(x) ∈P [x] I d(x) = nod(f (x), g(x)), TO SU]ESTWU@T MNOGO^LENY u(x), v(x) ∈ P [x] TAKIE, ^TOk0000d(x) = f (x)u(x) + g(x)v(x)PRI \TOM, ESLI deg f (x) > 0, deg g(x) > 0, TO MOVNO S^ITATX, ^TO(deg u(x) < deg g(x),deg v(x) < deg f (x);\TO POZWOLQET ISKATX MNOGO^LENY S NEOPREDEL<NNYMI KO\FFICIENTAMI).dOKAZATELXSTWO. sU]ESTWOWANIE TAKIH MNOGO^LENOW u(x), v(x) SLEDUET IZ ALGORITMA eWKLIDA NAHOVDENIQd(x) = r (x), PODNIMAQ POSLEDOWATELXNO WYRAVENIE r (x), SNA^ALA ^EREZ r(x) I r(x), POTOM, PODSTAWLQQWYRAVENIE r (x), ^EREZ r (x) I v (x), I ZAWER[AQ, ^EREZ g(x) I f (x).kkk−1k−3k−225k−2k−1lEKCIQ 19http://mmresource.narod.ru/eSLI NAJDENY ”PLOHIE” u(x) I v(x), PUSTX, NAPRIMER, deg u(x) ≥ deg g(x), TO u(x) = g(x)q(x) + r(x), IPO\TOMU d(x) = f (x)r(r) + g(x)[v(x) + f (x)q(x)].
iZ SRAWNENIQ STEPENEJ SLEDUET, ^TO deg(v(x) + f (x)q(x)) <deg f (x), POSKOLXKU deg(f (x)r(x)) < deg f (x) + deg g(x), deg d(x) ≤ deg f (x), deg d(x) ≤ deg g(x). ¤zAME^ANIE. pOLNOSTX@ ANALOGI^NO W KOLXCE Z CELYH ^ISEL USTANAWLIWAETSQ ALGORITM DELENIQ SOSTATKOM (n = mq + r, r = 0 ILI 0 < r < |m|) I ALGORITM eWKLIDA DLQ NAHOVDENIQ NAIBOLX[EGO OB]EGODELITELQ d = nod(m, n) (S WOZMOVNOSTX@ WYRAVENIQ W WIDE d = mu + nv, u, v ∈ Z).aNALOGIQ OB_QSNQETSQ TEM, ^TO KOLXCO Z CELYH ^ISEL (S FUNKCIEJ N (n) = |n| DLQ n ∈ Z) I KOLXCOCELYH ^ISEL (S FUNKCIEJ N (f (x)) = deg f (x) DLQ f (x) ∈ P [x]) QWLQETSQ EWKLIDOWYMI KOLXCAMI, T.
E.KOMMUTATIWNYM KOLXCOM R S 1, BEZ DELITELEJ NULQ S FUNKCIEJ N : R\{0} → N TAKOJ, ^TO N (ab) ≥ N (a) IDLQ WSEH a, b ∈ R, b 6= 0 SU]ESTWUET q, r ∈ R TAKIE, ^TO a = bq + r, GDE r = 0 ILI N (r) < N (b). pO\TOMU, WEWKLIDOWYH KOLXCAH IMEET MESTO ALGORITM eWKLIDA NAHOVDENIQ d = nod(a, b) I EGO PREDSTAWLENIE W WIDEd = au + bv, u, v ∈ R. pOSLEDNEE OZNA^AET, ^TO EWKLIDOWO KOLXCO R QWLQETSQ KOLXCOM GLAWNYH IDEALOW,T. E.
KAVDYJ IDEAL I / R KOLXCA R QWLQETSQ GLAWNYM, T. E. IMEET WID I = Ra, a ∈ R. dEJSTWITELXNO, ESLI0 6= I / R I a — NENULEWOJ \LEMENT W I S NAIMENX[IM ZNA^ENIEM N (a), TO, KONE^NO, Ra ⊆ I, I DLQ L@BOGO\LEMENTA t ∈ I IZ EGO PREDSTAWLENIQ W WIDE t = aq + r, GDE r = 0 ILI N (r) < N (a), SLEDUET, ^TO r = t − aq ∈ I,NO \TO PROTIWORE^IT WYBORU \LEMENTA a W I; ITAK, r = 0, T. E.
t = aq ∈ Ra; TAKIM OBRAZOM, I = Ra —GLAWNYJ IDEAL.dLQ L@BYH DWUH \LEMENTOW a, b ∈ R KOLXCA GLAWNYH IDEALOW R NAIMENX[IJ IDEAL I, SODERVA]IJ \LEMENTYa I b,I = Ra + Rb = {ra + sb|r, b ∈ R},IMEET WID I = Rd, d ∈ R, T. E. Ra + Rb = Rd. nO TOGDA a = rd, b = sd,au + bv = d, r, s, u, v ∈ RtAKIM OBRAZOM, d — OB]IJ DELITELX \LEMENTOW a I v. eSLI db, a = d q , b = d q , TO00012—DRUGOJ OB]IJ DELITELX \LEMENTOW a Id = au + bv = d0 (q1 u + q2 v).iTAK, d = nod(a, b).lekciq19.26NOQBRQ 2001 G.dOKAZATELXSTWO OSNOWNOJ TEOREMY ALGEBRY KOMPLEKSNYH ^ISEL (TEOREMA gAUSSA, 1799 G.).eSLI f (x) ∈ C[x], deg f (x) ≥ 1, TO SU]ESTWUET KORENX c ∈ C MNOGO^LENA f (x), T.
E. f (c) = 0.{AG 1. (sU]ESTWOWANIE ABSOL@TNOGO MINIMUMA WE]ESTWENNOZNA^NOJ FUNKCII |f (x)| NA KOMPLEKSNYH^ISLAH C). nAPOMNIM, ^TO |z z | = |z ||z | I |z | − |z | ≤ |z + z | ≤ |z | + |z | DLQ z , z ∈ C.lEMMA. eSLI f (x) = x + a x + . . . + a x + a , a ∈ C, n ≥ 1, TO NAJD<TSQ RADIUS 0 < A ∈ R TAKOJ,^TO |f (z)| > |f (0)|(= |a |) DLQ WSEH z ∈ C, |z| > A (T. E. WNE KRUGA RADIUSA A S CENTROM W 0 ZNA^ENIE FUNKCII|f (x)| PREWOSHODIT |f (0)| = |a |).dOKAZATELXSTWO. pUSTX 0 6= z ∈ C.
tOGDA1 2nn−112n−11211021212i00f (z) = z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 = z n (1 +I PO\TOMU|f (z)| = |z|n |1 + (an−1a0+ . . . + n ),zzan−1a0an−1a0|an−1 ||a0 |+ . . . + n )| ≥ |z|n (1 − |+ . . . + n |) ≥ |z|n (1 −− . . . − n ) = ϕ(|z|),zzzz|z||z|GDE ϕ(t) = t (1 − − . . . − ) DLQ t ∈ R. qSNO, ^TO lim ϕ(t) = +∞, I PO\TOMU DLQ L@BOGO C (NAPRIMER,DLQ C = |f (0)| = |a |) NAJD<TSQ 0 < A ∈ R TAKOE, ^TO DLQ t > A IMEEM ϕ(t) > C.
iTAK, ESLI |z| = t > A, TOn|an−1 |t|a0 |tnt→+∞0|f (z)| ≥ ϕ(|z|) = ϕ(t) > C = |f (0)| = |a0 |.26¤lEKCIQ 19http://mmresource.narod.ru/tAK KAK FUNKCIQ |f (z)| : C → R NEPRERYWNA KAK KOMPOZICIQ DWUH NEPRERYWNYH FUNKCIJ C → C, z → f (z),ILI, ESLI z = u + vi, (u, v) ∈ R , TO f (z) = ψ (u, v) + ψ (u, v)i, GDE ψ (u, v) I ψ (u, v)MNOGO^LENY S DEJSTWITELXNYMI KO\FFICIENTAMI OT u, v, I PO\TOMU |f (z)| = pψ (u, v) + ψ (u, v) —NEPRERYWNAQ FUNKCIQ OT (u, v)), TO NA ZAMKNUTOM OGRANI^ENNOM MNOVESTWE (KOMPAKTE)2C → R, w → |w| (—12122122K = {z ∈ C||z| ≤ A}NEPRERYWNAQ FUNKCIQ |f (z)| DOSTIGAET SWOEGO MINIMUMA W TO^KE zeSLI z ∈ C\K, T. E.
|z| > A, TO MY WIDIM, ^TO0w ^ASTNOSTI, |f (z )| ≤ |f (0)| = |a |.∈ K.00|f (z0 )| ≤ |f (0)| ≤ |f (z)|.tAKIM OBRAZOM, W TO^KE z DOSTIGAETSQ ABSOL@TNYJ MINIMUM FUNKCII |f (z)| NA C.{AG 2. mY POKAVEM, ^TO f (z ) = 0, T. E. c = z QWLQETSQ KORNEM MNOGO^LENA f (x). dEJSTWITELXNO, ESLIf (z ) 6= 0, TO |f (z )| > 0 I, KAK POKAZYWAET SLEDU@]AQ LEMMA dALAMBERA, \TO DOPU]ENIE PROTIWORE^IT TOMU,^TO z — ABSOL@TNYJ MINIMUM FUNKCII |f (x)|.lEMMA dALAMBERA. pUSTX f (x) ∈ C[x], deg f (x) ≥ 1, f (z ) 6= 0 DLQ z ∈ C.
tOGDA DLQ L@BOGO ε > 0NAJD<TSQ \LEMENT y ∈ C TAKOJ, ^TO |y| < ε I |f (z + y)| < |f (z )|.dOKAZATELXSTWO. eSLI z = z + y, T. E. y = z − z , TO000000000000f (z) = a0 + a1 z + . . . + an−1 z n−1 + zn = c0 + c1 y + . . . + cn−1 y n−1 + cn y n ,GDE c = f (z ) 6= 0 (PRI y = 0 IMEEM z = z ), c = 1 (KAK KO\FFICIENT PRI y W (zpUSTX k > 0 — NAIMENX[IJ NOMER SLAGAEMOGO, DLQ KOTOROGO c 6= 0. iTAK,000nn0+ y)n ).kf (z) = c0 + ck y k + ck+1 y k+1 + . .
. + cn y n .oSNOWNOE SOOBRAVENIE ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO W OKRESTNOSTI TO^KI z (T. E. y = 0) POWEDENIE MNOGO^LENAOPREDELQETSQ PERWYMI DWUMQ ^LENAMI c + c y .sNA^ALA, PUSTX y ODNO IZ RE[ENIJ URAWNENIQ c + c y = 0 (T. E. y = − , y — ODIN IZ k KORNEJ IZKOMPLEKSNYH ^ISLA − ). eSLI, DALEE, t ∈< 0, 1 >⊆ R, TO c y = −c , I PO\TOMU0k00k0kc0ckkc0ckk0kk 000f (z0 + ty0 ) = c0 + ck tk y0k + ck+1 tk+1 y0k+1 + . . . + cn tn y0n = c0 (1 − tk ) + (ck+1 y0k+1 + .
. . + cn tn−(k+1) )tk+1 .eSLI |ck+1 ||y0 |k+1+ . . . + |cn | = |y0 |n = M ,TO|f (z0 + ty0 )| ≤ |c0 |(1 − tk ) + M tk+1 = |c0 |(1 − tk (1 −Mt)).|c0 |wYBEREM t ∈< 0, 1 > DOSTATO^NO MALYM, TAK, ^TO M t < |c |, t|y | = |ty | < ε. tOGDA 0 < 1 −PO\TOMU000Mt|c0 |< 1,I|f (z0 + ty0 )| < |c0 | = |f (z0 )|, |ty0 | < ε,tAKIM OBRAZOM, y = ty UDOWLETWORQET UTWERVDENI@ LEMMY. ¤tEOREMA (O RAZLOVENII MNOGO^LENA S KOMPLEKSNYMI KO\FFICIENTAMI W PROIZWEDENIE LINEJNYHMNOVITELEJ). pUSTX f (x) ∈ C[x], deg f (x) = n ≥ 1. tOGDA0f (x) = a(x − α1 ) .
. . (x − αn ), a, α1 , . . . , αn ∈ C,PRI \TOM \TO RAZLOVENIE EDINSTWENNOE (S TO^NOSTX@ DO PORQDKA SOMNOVITELEJ).dOKAZATELXSTWO. w SILU TEOREMY gAUSSA f (x) = (x − c)q(x), q(x) ∈ C[x], deg q(x) = n − 1. pRIMENIM DALEETEOREMU gAUSSA K q(x), ESLI n − 1 ≥ 1. pRODOLVAQ \TOT PROCESS, UBEVDAEMSQ W SU]ESTWOWANII RAZLOVENIQNA LINEJNYE MNOVITELI.pUSTX TEPERXf (x) = a(x − α1 ) . . . (x − αn ) = b(x − β1 ) .
. . (x − βn ), a, b, αi , βi ∈ C, a 6= 0, b 6= 0.27lEKCIQ 19http://mmresource.narod.ru/qSNO, ^TO a = b. eSLI α6= βjiDLQ WSEH j = 1, . . . , n, TOf (αi ) = 0 = b(αi − β1 ) . . . (αi − βj ) 6= 0.pO\TOMU W OBA RAZLOVENIQ WHODIT ODINAKOWOE MNOVESTWO RAZLI^NYH KORNEJ. uBEDIMSQ W SOWPADENIIKRATNOSTEJ WHOVDENIQ KAVDOGO KORNQ W OBA RAZLOVENIQ. dEJSTWITELXNO, ESLIf (x) = (x − α)r q1 (x) = (x − α)s q2 (x), q1 (α) 6= 0, q2 (α) 6= 0, r < s,TO, SOKRA]AQ W C[x] NA (x − α) , POLU^AEM q (x) = (x − α) q (x), I PO\TOMU q (α) = 0, ^TO PROTIWORE^ITq (α) 6= 0.
¤sLEDSTWIE. eSLI α , . . . , α — RAZLI^NYE KORNI MNOGO^LENA f (x) ∈ C[x], k , . . . , k — IH KRATNOSTI,n = deg f (x), TO n = k + . . . + k (T. E. MNOGO^LEN STEPENI n = deg f IMEET ROWNO n KORNEJ, KORNEJ, S^ITAQIH KRATNOSTI).zAME^ANIE (O NEPRIWODIMYH MNOGO^LENAH NAD POLEM KOMPLEKSNYH ^ISEL). pO ANALOGII S OPREDELENIEMPROSTYH ^ISEL W KOLXCE CELYH ^ISEL Z, MNOGO^LEN f (x) ∈ P [x], deg f (x) ≥ 1, NAZYWAETSQ NEPRIWODIMYM, ESLIf (x) NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE f (x) = ϕ(x)ψ(x), deg ϕ(x) ≥ 1, deg ψ(x) ≥ 1.tAKIM OBRAZOM, MY USTANOWILI, ^TO NEPRIWODIMYE MNOGO^LENY NAD POLEM C KOMPLEKSNYH ^ISEL — \TOW TO^NOSTI MNOGO^LENY PERWOJ STEPENI.
iZ EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIQ NA LINEJNYE MNOVITELI NAD CPOLU^AEM SU]ESTWOWANIE I EDINSTWENNOSTX RAZLOVENIQ NA NEPRIWODIMYE MNOGO^LENY NAD C.lEMMA. eSLI f (x), g(x) ∈ P [x], deg f (x) ≤ n, deg g(x) ≤ n, f (x) I g(x) SOWPADAET W (n + 1)-J RAZLI^NYHTO^KAH α , . . . , α ∈ P , TO f (x) = g(x).dOKAZATELXSTWO. pUSTX h(x) = f (x)−g(x). tOGDA, ESLI h(x) 6= 0, TO deg h(x) ≤ n I h(α ) = f (α )−g(α ) = 0DLQ i = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
