Лекции по алгебре (968698), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

. . , n + 1. nO \TO PROTIWORE^IT TOMU, ^TO ^ISLO RAZLI^NYH KORNEJ NE PREWOSHODIT STEPENIMNOGO^LENA. ¤sLEDSTWIE 1. eSLI |P | = ∞ (W ^ASTNOSTI, DLQ P = Q, R ILI C), TO FORMALXNOE I FUNKCIONALXNOEOPREDELENIE RAWENSTWA MNOGO^LENOW SOWPADA@T.zAME^ANIE. dLQ KONE^NOGO POLQ Z RAZNYE MNOGO^LENY x I x W TO^KAH 0 I 1 PRINIMA@T ODINAKOWYEZNA^ENIQ, T. E. RAWNY KAK FUNKCII.sLEDSTWIE 2. dANNAQ LEMMA TAKVE MOVET BYTX ISPOLXZOWANA I DLQ DOKAZATELXSTWA EDINSTWENNOSTI WINTERPOLQCIONNOJ FORMULE lAGRANVA.tEOREMA wIETA. eSLIrs−r1211111r1rnn+1iii22f (x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = (x − α1 ) . .

. (x − αn ),TOan−1 = −(α1 + α2 + . . . + αn ),an−2 = α1 α2 + . . . + αn−1 αn ,...a1 = (−1)n−1 (α1 α2 . . . αn−1 + . . . + α2 α3 . . . αn ),a0 = (−1)n α1 α2 . . . αn .dOKAZATELXSTWO. w SILU ZAKONA DISTRIBUTIWNOSTI, UMNOVENIE NA (x − α) SWODITSQ K UMNOVENIQM NA x INA −α. fORMULY wIETA POLU^A@TSQ PODS^<TOM KO\FFICIENTA PRI x (T.

E. NADO PRI UKAZANNYH RASKRYTIQHSKOBOK k RAZ WYBRATX x, I SLEDOWATELXNO, (n − k) RAZ KORNI). ¤kmNOGO^LENY S DEJSTWITELXNYMI KO\FFICIENTAMI.w \TOM RAZDELE MY RASSMOTRIM SWOJSTWA MNOGO^LENOW IZ R[x] (T. E. NAD POLEM P = R DEJSTWITELXNYH^ISEL).lEMMA. eSLI f (x) ∈ R[x], α ∈ C, f (α) = 0, TO f (ᾱ) = 0.dOKAZATELXSTWO. pUSTXf (x) = an xn + . . .

+ a1 x + a0 , ai ∈ R.28lEKCIQ 19http://mmresource.narod.ru/tOGDA f (α) = a αnn+ . . . + a1 α + a0 = 0.tAK KAK (z1+ z2 ) = z¯1 + z¯2 , (z1 z2 ) = z¯1 z¯2 ,TO0 = 0̄ = an αn + . . . + a1 α + a0 == ān ᾱn + . . . + ā1 ᾱ + ā0 == an ᾱn + . . . + a1 ᾱ + a0 = f (ᾱ).¤lEMMA. eSLI α ∈ C\R (T. E. ᾱ 6= α), TO nod(x − α, x − ᾱ) = 1.dOKAZATELXSTWO. eSLI d(x) = nod(x − α, x − ᾱ), TO ILI deg d(x) = 0 (T. E. d(x) = 1), ILI deg d(x) = 1.eSLI deg d(x) = 1, TO (x − α) = d(x) · c, (x − ᾱ) = d(x) · d, c, d ∈ C, T. E. d(x) = c (x − α) = d (x − ᾱ).pO\TOMU c = d , c α = d ᾱ, T. E. α = ᾱ, ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@.

¤sLEDSTWIE 1. eSLI f (x) ∈ R[x], α ∈ C\R, f (α) = 0, TO f (x) = ϕ(x)q(x), GDE ϕ(x) = (x − α)(x − ᾱ) =x − (α + ᾱ)x + αᾱ ∈ R[x], q(x) ∈ R[x].dOKAZATELXSTWO. tAK KAK f (α) = 0, TO f (ᾱ) = 0. tOGDA f (x) = (x−α)q (x) DELITSQ NA (x−α), NO x−α I x−ᾱWZAIMNO PROSTY (POSKOLXKU ᾱ 6= α), I PO\TOMU f (x) = (x − α)(x − ᾱ)q(x).

tAK KAK f (x), (x − α)(x − ᾱ) ∈ R[x],TO q(x) ∈ R[x]. ¤lEMMA. eSLI f (x) ∈ R[x], α ∈ C\R, f (α) = 0, TO KRATNOSTI KORNEJ α I ᾱ W MNOGO^LENE f (x) SOWPADA@T.dOKAZATELXSTWO. pUSTX KRATNOSTX KORNEJ α I ᾱ RAWNY SOOTWETSTWENNO k I l. dOPUSTIM PROTIWNOE, ^TO¯ ). tOGDA DLQ ϕ(x) = (x − α)(x − ᾱ) IMEEMk > l (SIMMETRI^NO, k < l, I TOGDA U^T<M, ^TO α = ᾱ−1−1−1−1−1−121f (x) = (x − ᾱ)k (x − α)l q(x) = ϕ(x)l (x − α)k−l q(x), q(α) 6= 0, q(ᾱ) 6= 0.tOGDA f (x) = (x − α) q(x) ∈ R[x] (KAK ^ASTNOE OT DELENIQ DWUH MNOGO^LENOW IZ R[x]: f (x) NA ϕ(x) ), ODNAKOf (α) = 0, NO f (ᾱ) = (ᾱ − α) q(ᾱ) 6= 0, ^TO PROTIWORE^IT NA[EJ TEOREME DLQ f (x) ∈ R[x]. ¤sLEDSTWIE 1.

kOMPLEKSNYE KORNI, NE QWLQ@]IESQ DEJSTWITELXNYMI, POPARNO SOPRQVENY.sLEDSTWIE 2 (O RAZLOVENII NA NEPRIWODIMYE MNOGO^LENY NAD POLEM R DEJSTWITELXNYH ^ISEL.nEPRIWODIMYE MNOGO^LENY NAD R — \TO W TO^NOSTI MNOGO^LENY 1-J STEPENI I MNOGO^LENY 2-J STEPENI BEZDEJSTWITELXNYH ^ISEL.

kAVDYJ MNOGO^LEN f (x) ∈ R[x], deg f (x) ≥ 1, PREDSTAWLQETSQ (I PRITOM ODNOZNA^NO STO^NOSTX@ DO PORQDKA SOMNOVITELEJ W WIDE PROIZWEDENIQ KONSTANTY a ∈ R I MNOGO^LENOW WIDA (x−α), α ∈ R,I MNOGO^LENOW WIDA (x − α)(x − ᾱ), GDE α ∈ C\R S SOOTWETSTWU@]IM PARE SOPRQV<NNYH KORNEJ α I ᾱ). dOKAZATELXSTWO EDINSTWENNOSTI SLEDUET IZ EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIQ NA LINEJNYE MNOVITELI NAD POLEM CKOMPLEKSNYH ^ISEL.00k−l0lk−l029.

Характеристики

Список файлов лекций