Лекции по алгебре (968698), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. . , n − 1}.nn1nlekciq16.12gOMOMORFIZMY KOLECNOQBRQ 2001 G.pUSTX R I R — KOLXCA. oTOBRAVENIE f : R → R NAZYWAETSQ GOMOMORFIZMOM KOLEC, ESLI f (a + b) =f (a) + f (b) I f (ab) = f (a)f (b) DLQ WSEH a, b ∈ R.~EREZ Im f OBOZNA^IM OBRAZ GOMOMORFIZMA f ,Ker f = {a ∈ R|f (a) = 0} — QDRO GOMOMORFIZMA f .eSLI GOMOMORFIZM f QWLQETSQ BIEKCIEJ, TO f NAZYWAETSQ IZOMORFIZMOM KOLEC.oTMETIM RQD SWOJSTW GOMOMORFIZMOW KOLEC f : R → R .sWOJSTWO 1. tAK KAK f — GOMOMORFIZM ABELEWYH GRUPP (R, +), (R , +), TO f (0) = 0 , f (−a) = −f (a).sWOJSTWO 2.
eSLI 1 ∈ R, 1 ∈ R I Im f = R , TO f (1) = 1 , f (a ) = f (a) DLQ OBRATIMOGO \LEMENTA a.dEJSTWITELXNO, ESLI a ∈ R , TO a = f (a), a ∈ R. tOGDA0000000000−10−10f (1)a0 = f (1)f (a) = f (1 · a) = f (a) = a0 ,a0 f (1) = f (a)f (1) = f (a · 1) = f (a) = a0T. E. f (1) = 1 ;0f (a−1 )f (a) = f (a−1 a) = f (1) = 10 ,f (a)f (a−1 ) = f (aa−1 ) = f (1) = 10 ,T. E. f (a ) = f (a) .zAME^ANIEµ . |TO¶ UTWERVDENIE NEµMOVET¶ BYTXµ WERNYM¶ , ESLI Im f 6= R .
dEJSTWITELXNO, DLQ f : R → M (R),a 01 01 0GDE f (a) = 0 0 , IMEEM f (1) = 0 0 6= 0 1 .−1−10sWOJSTWO 3.2A) eSLI f : R → R — GOMOMORFIZM KOLEC, TO Ker f — DWUSTORONNIJ IDEAL KOLXCA R.dOKAZATELXSTWO. tAK KAK f : (R, +) → (R , +) — GOMOMORFIZM GRUPP, TO Ker f — PODGRUPPA W (R, +).eSLI a ∈ Ker f , T. E. f (a) = 0, r, s ∈ R, TO00f (ra) = f (r)f (a) = f (r) · 0 = 0,f (as) = f (a)f (s) = 0 · f (s) = 0,ITAK, ra ∈ Ker f , as ∈ Ker f , T.
E. Ker f / R. ¤B) eSLI I / R — DWUSTORONNIJ IDEAL KOLXCA R, TO OTOBRAVENIEπ = π : R → R/I, π(r) = r + I DLQ r ∈ R,QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM KOLEC (KANONI^ESKIJ GOMOMORFIZM), PRI \TOM Ker π = I.tAKIM OBRAZOM, QDRA GOMOMORFIZMOW KOLEC I TOLXKO ONI QWLQ@TSQ DWUSTORONNIMI IDEALAMI.sWOJSTWO 4. gOMOMORFIZM KOLEC f : R → R QWLQETSQ IZOMORFIZMOM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDAKer f = {0} I Im f = R (SLEDUET WSPOMNITX KRITERIJ IZOMORFIZMA DLQ GOMOMORFIZMOW GRUPP).qSNO, ^TO IZOMORFNYE KOLXCA OBLADA@T ODINAKOWYMI KOLXCEWYMI SWOJSTWAMI. nAPRIMER, ESLI f : R → R— IZOMORFIZM KOLEC, R — POLE, TO R — TAKVE POLE.uPRAVNENIQ.1) eSLI POLE P SODERVIT POLE R DEJSTWITELXNYH ^ISEL, j ∈ P , j = −1, I PRI \TOM L@BOE PODPOLE P ⊆ P ,SODERVA]EE R I j, SOWPADAET S P , TO POLE P IZOMORFNO POL@ C KOMPLEKSNYH ^ISEL.II00002210lEKCIQ 172)http://mmresource.narod.ru/pOLE C = {a + bi|a, b ∈ R} KOMPLEKSNYH ^ISEL IZOMORFNO POL@ C =½µ03) R[x]/R[x](x2 + 1) ∼= C.4)R—.5)R—{0} R.eSLIIDEALeSLIOT Ia−bba¶¾∈ M2 (R)|a, b ∈ R .KOMMUTATIWNOE KOLXCO I I /R, TO R/I — POLE TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA I — MAKSIMALXNYJKOMMUTATIWNOE KOLXCO, TO R — POLE TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA W R NET IDEALOW, OTLI^NYHtEOREMA O GOMOMORFIZME DLQ KOLECtEOREMA.
pUSTX f : R → R— S@R_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM KOLEC, I = Ker f . tOGDA SU]ESTWUETIZOMORFIZM KOLEC ψ : R/ Ker f → R , DLQ KOTOROGO SLEDU@]AQ DIAGRAMMA KOMMUTATIWNA00Rf−→ R0& ↑ψT. E. f = ψ · π,πKer fKer f .R/ Ker fdOKAZATELXSTWO. w SILU TEOREMY O GOMOMORFIZME DLQ GRUPP, BIEKCIQ ψ : R/ Ker fψ(r + Ker f ) = f (r),→ R0 ,QWLQETSQ IZOMORFIZMOM ABELEWYH GRUPP (R/ Ker f, +) I (R , +). tAK KAK0DLQ KOTOROJψ((r + Ker f )(s + Ker f )) = ψ(rs + Ker f ) = f (rs) = f (r)f (s) = ψ(r + Ker f )ψ(s + Ker f ),TO ψ — IZOMORFIZM KOLEC. ¤pRIMER WY^ISLENIQ FAKTORKOLXCA (S POMO]X@ TEOREMY O GOMOMORFIZMAH).
pUSTX R = C[0, 1] —KOLXCO NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA OTREZKE [0, 1], a ∈ [0, 1],Ia = {ϕ ∈ C[0, 1]|ϕ(a) = 0} / R.tOGDA C[0, 1]/I ∼= R.dOKAZATELXSTWO. pUSTX f : R = C[0, 1] → R — S@R_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM KOLEC, DLQ KOTOROGO f (ϕ) =ϕ(a) DLQ ϕ ∈ C[0, 1]. tOGDA Ker f = I , PO\TOMUaaC[0, 1]/Ia ∼= R.¤uPRAVNENIE. pOWTORQQ KONSTRUKCI@ POSTROENIQ POLQ Q RACIONALXNYH ^ISEL, ISHODQ IZ KOLXCA CELYH^ISEL Z, DOKAZATX, ^TO©£ESLI¤ R — KOMMUTATIWNOEKOLXCO BEZ DELITELEJ NULQ, TO R MOVNO WLOVITX W EGOPOLE ^ASTNYH Q(R) = |(a, b) ∈ R , b 6= 0ª, GDE £ ¤ — KLASS DROBEJ, \KWIWALENTNYH DROBI (ZDESX ∼, ESLI ad = bc; SLOVENIE I UMNOVENIE DROBEJ I IH KLASSOW \KWIWALENTNOSTI OPREDELENO PO ANALOGII SRACIONALXNYMI DROBQMI I RACIONALXNYMI ^ISLAMI).zAME^ANIE.
wSE OSNOWNYE REZULXTATY O SISTEMAH LINEJNYH URAWNENIJ, O MATRICAH, OB OPREDELITELE,O LINEJNOJ ZAWISIMOSTI SPRAWEDLIWY NAD L@BYM POLEM P (SLEDUET, KONE^NO, POMNITX, ^TO POLE P MOVETHARAKTERISTIKU char P > 0, A TAKVE TO, ^TO POLE P MOVET BYTX KONE^NYM).cdabab2ablekciq17.19kOLXCO MNOGO^LENOW OT ODNOJ PEREMENNOJ.abNOQBRQ 2001 G.pUSTX P — PROIZWOLXNOE POLE (NAIBOLEE WAVNYE DLQ NAS SLU^AI: P = R; P = C).pOD MNOGO^LENOM (NENULEWYM) OT ODNOJ PEREMENNOJ x S KO\FFICIENTAMI IZ POLQ P BUDEM PONIMATXFORMALXNOE WYRAVENIE WIDAf (x) = a0 + a1 x + . .
. + an−1 xn−1 + an xnINOGDA UDOBNEE ZAPISYWATX \TU SUMMU ODNO^LENOW a x W DRUGOM PORQDKE f (x) = a x +a x +. . .+a x+STAR[IJ KO\FFICIENT, a — SWOBODNYJ ^LEN, n = deg f (x) — STEPENX NENULEWOGOMNOGO^LENANULEWOJ MNOGO^LEN — \TO f (x) = a = 0).(a0 ), ai ∈ P , an 6= 0 —f (x) (ii0022nnn−1n−11lEKCIQ 17http://mmresource.narod.ru/mOVNO BYLO WMESTO FORMALXNYH WYRAVENIJ RASSMATRIWATX S^<TNYE POSLEDOWATELXNOSTI(a0 , a1 , . . . , an , 0, 0, .
. .), ai ∈ P,W KOTORYH PO^TI WSE a (T. E. WSE, KROME KONE^NOGO ^ISLA) RAWNY NUL@ (NULEWOJ MNOGO^LEN — \TOPOSLEDOWATELXNOSTX, W KOTOROJ WSE KOMPONENTY RAWNY NUL@).dWA MNOGO^LENA f (x) I g(x) NAZYWA@TSQ RAWNYMI, ESLI RAWNY SOOTWETSTWU@]IE KO\FFICIENTY PRI KAVDOJSTEPENI x PEREMENNOJ x.~EREZ P [x] OBOZNA^IM MNOVESTWO WSEH MNOGO^LENOW f (x) S KO\FFICIENTAMIPIZ POLQ P . PnA MNOVESTWE P [x] WWED<M OPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ: DLQ f (x) = a x , g(x) = b x , POLAGAQPPPf (x) + g(x) =d x , f (x)g(x) =t x , GDE d = a + b , t =a b.tEOREMA. P [x] S OPERACIEJ SLOVENIQ I UMNOVENIQ — KOMMUTATIWNOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO.dOKAZATELXSTWO.1) tAK KAK PRI SLOVENII SKLADYWA@TSQ KO\FFICIENTY PRI ODNOJ STEPENI x , T.
E. d = a + b , TO QSNO,^TO P [x] S OPERACIEJ SLOVENIQ — KOMMUTATIWNAQ GRUPPA.P2) qSNO, ^TO OPERACIQ UMNOVENIQ PO OPREDELENI@ KO\FFICIENTA t =a b KOMMUTATIWNA.pUSTX TEPERX h(x) = P C x . tOGDA, PODS^ITYWAQ KO\FFICIENTY PRI STEPENI x W (f (x)g(x))h(x) I Wf (x)(g(x)h(x)), WIDIM, ^TOikniii=0iii≥0iiiiii≥0sii=0iik lk+l=i0≤k,l≤iiiiiik lk+l=i0≤k,l≤iiiii≥0Xu+m=iÃ!Xak blXcm =k+l=uak bl cm =k+l+m=iXÃakk+v=iX!bl cm,l+m=vITAK, PROWERILI ASSOCIATIWNOSTX UMNOVENIQ MNOGO^LENOW.qSNO, ^TO f (x) = 1 (T.
E. a = 1) QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM DLQ OPERACII UMNOVENIQ.3) pODS^ITYWAQ KO\FFICIENTY PRI STEPENI x W (f (x) + g(x))h(x) I f (x)h(x) + g(x)h(x), WIDIM, ^TO0iX(ak + bk )cl =k+l=iXXak cl +k+l=ibk cl ,k+l=iT. E. ZAKON DISTRIBUTIWNOSTI W P [x]. ¤zAME^ANIE. oTOBRAVENIE P → P [x], DLQ KOTOROGO a → f (x) = a = a, QWLQETSQ IN_EKTIWNYMGOMOMORFIZMOM KOLEC (T. E. WLOVENIEM POLQ P W KOLXCO MNOGO^LENOW P [x]).lEMMA.A) deg(f (x) + g(x)) ≤ max(degf (x), deg g(x)).B) deg(f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x).dOKAZATELXSTWO.A) eSLI i > max(deg f (x), deg g(x)), TO c = a + b = 0.PB) eSLI deg f (x) = n, deg g(x) = s I i > n+s, TO d =a b = 0. pRI \TOM, d= a b 6= 0 (POSKOLXKUa 6= 0, b 6= 0 I W POLE P NET DELITELEJ NULQ). iTAK, d= a b 6= 0 — STAR[IJ KO\FFICIENT MNOGO^LENAf (x)g(x), QWLQETSQ PROIZWEDENIEM STAR[IH KO\FFICIENTOW MNOGO^LENOW f (x) I g(x). iTAK, deg(f (x)g(x)) =n + s = deg f (x) + deg g(x). ¤sLEDSTWIE 1.
w KOLXCE MNOGO^LENOW P [x] NET DELITELEJ NULQ.dOKAZATELXSTWO. kAK MY WIDELI, ESLI f (x) 6= 0, deg f (x) = n, a 6= 0 — STAR[IJ ^LEN MNOGO^LENA f (x),g(x) 6= 0, deg f (x) = s, b 6= 0 — STAR[IJ ^LEN MNOGO^LENA g(x), TO a b 6= 0 — STAR[IJ ^LEN MNOGO^LENAf (x)g(x), T. E. f (x)g(x) 6= 0. ¤sLEDSTWIE 2. w KOLXCE P [x] (KAK W L@BOM KOLXCE BEZ DELITELEJ NULQ) MOVNO SOKRA]ATX NA NENULEWOJMNOGO^LEN, T. E. IZ f (x)g(x) = f (x)h(x), f (x) 6= 0, SLEDUET, ^TO g(x) = h(x).sLEDSTWIE 3. U (P [x]) = P \{0}.dOKAZATELXSTWO. eSLI 0 6= a ∈ P , TO a ∈ P ⊆ P [x], T. E. a ∈ U (P [x]).
eSLI f (x)g(x) = 1, TO f (x) 6= 0,g(x) 6= 0, deg f (x) + deg g(x) = 0, T. E. f (x) = a 6= 0, a ∈ P . ¤0iiiik ln+sk+l=i0≤k,l≤insn+sn snsn s−10023n slEKCIQ 17http://mmresource.narod.ru/tEOREMA ALGORITM DELENIQ S OSTATKOM W KOLXCE MNOGO^LENOW). dLQ L@BYH MNOGO^LENOW f (x), g(x) ∈ P [x],(g(x) 6= 0,(1) f (x) = g(x)q(x) + r(x);2)r(x) = 0,deg r(x) < deg g(x).(:SU]ESTWUET I PRI \TOM EDINSTWENNYE) MNOGO^LENY q(x), r(x) ∈ P [x] TAKIE, ^TO:LIBOLIBOdOKAZATELXSTWO ALGORITM DELENIE MNOGO^LENOW STOLBIKOM).
pUSTXf (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ,g(x) = bs xs + . . . + b1 x + b0 , bs 6= 0.eSLI n < s, TO UTWERVDENIQ 1) I 2) O^EWIDNY: f (x) = g(x) · 0 + f (x). pUSTX n ≥ s. tOGDA:f (x) −f1 (x) −an n−sxg(x) = f1 (x) = a1,n1 xn1 + . . . , s ≤ n1 < n,bsa1,n1 n1 −sxg(x) = f2 (x) = a2,n1 xn2 + . . . , s ≤ n2 < n1 ,bs...ak−2,nk−2 nk−2 −sxg(x) = fk−1 (x) = ak−1,nk−1 xnk−1 + .
. . , s ≤ nk−1 < nk−2 ,bs½fk (x) = 0ak−1,nk−1 nk−1 −snkfk−1 (x) −xg(x) = fk (x) = ak,nk x + . . . ,.bsnk < s, nk < nk−1fk−2 (x) −ILIsKLADYWAQ WSE \TI RAWENSTWA I SOKRA]AQ, POLU^AEM:f (x) −¡ an n−sak−1,nk−1 nk−1 −s ¢x+ ... +xg(x) = fk (x),bsbsT. E.
f (x) = q(x)g(x) + r(x), GDE q(x) = x + . . . +x, r(x) = f (x), r(x) = 0 ILI deg(r(x)) <s = deg g(x).eSLI f (x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q (x) + r (x), PRI \TOM r(x), r (x) — ILI RAWNY NUL@, ILI IME@T STEPENXMENX[U@, ^EM deg g(x) = s, TOanbsn−s0ak−1,nk−1bsnk−1 −s0k0g(x)(q(x) − q 0 (x)) = r0 (x) − r(x).eSLI q(x) − q (x) 6= 0, TO POLU^AEM PROTIWORE^IE, POSKOLXKU STEPENX LEWOJ ^ASTI ≥ deg g(x), A MNOGO^LEN WPRAWOJ ^ASTI ILI NENULEWOJ, ILI EGO STEPENX < deg g(x). iTAK, q(x) = q (x), I PO\TOMU r (x) = r(x). ¤zAME^ANIE.
eSLI P — PODPOLE POLQ P (NAPRIMER P = R ⊂ C = P ), f (x), g(x) ∈ P [x] ⊆ P [x], f (x) =g(x)q(x) + r(x) — DELENIE S OSTATKOM W KOLXCE MNOGO^LENOW P [x], TO q(x), r(x) ∈ P [x].0000000dELIMOSTX W KOLXCE MNOGO^LENOW P [x].pUSTXbUDEM GOWORITX, ^TO MNOGO^LEN f (x) DELITSQ NA ϕ(x), ESLI f (x) =T E OSTATOK PRI DELENII NA ϕ(x) RAWEN NUL@).zAME^ANIE sOWOKUPNOSTXWSEH MNOGO^LENOW, DELQ]IHSQ NA ϕ(x), QWLQETSQ IDEALOM W KOLXCE P [x]NAZYWAEMOM GLAWNYM IDEALOM POROVD<NNYM ϕ(x)).oTMETIM RQD SWOJSTW DELIMOSTI MNOGO^LENOW.lEMMA 1.
eSLI f (x) DELITSQ NA g(x), g(x) DELITSQ NA h(x), TO f (x) DELITSQ NA h(x).dEJSTWITELXNO, ESLI f (x) = g(x)q(x), g(x) = h(x)eq(x), TO f (x) = h(x)eq(x)q(x). ¤lEMMA 2. eSLI f (x) I g(x) DELQTSQ NA h(x), TO f (x) + g(x), f (x) − g(x) DELQTSQ NA h(x).dEJSTWITELXNO, ESLI f (x) = h(x)q(x), g(x) = h(x)eq(x), TO f (x) ± g(x) = h(x)(q(x) ± qe(x)). ¤lEMMA 3.
eSLI MNOGO^LEN f (x) DELITSQ NA h(x), g(x) ∈ P [x], TO f (x)g(x) DELITSQ NA h(x).dEJSTWITELXNO, ESLI f (x) = h(x)q(x), TO f (x)g(x) = h(x)(q(x)g(x)). ¤lEMMA 4. eSLI f (x), . . . , f (x) DELQTSQ NA h(x), g (x), . . . , g (x) ∈ P [x], TO f (x)g (x) + . . . + f (x)g (x)DELITSQ NA h(x).dEJSTWITELXNO, \TO WYTEKAET IZ 3) I 2). ¤lEMMA 5. eSLI 0 6= c ∈ P , TO L@BOJ MNOGO^LEN f (x) ∈ P [x] DELITSQ NA c.f (x), ϕ(x) ∈ P [x], ϕ(x) 6= 0.ϕ(x)q(x) ( .
.r(x).ϕ(x)P [x](,,1k124k11kklEKCIQ 17http://mmresource.narod.ru/dEJSTWITELXNO, f (x) = c(c f (x)). ¤lEMMA 6. eSLI f (x) DELITSQ NA ϕ(x) I 0 6= c ∈ P , TO f (x) DELITSQ NA cϕ(x).dEJSTWITELXNO, ESLI f (x) = ϕ(x)q(x), TO f (x) = (cϕ(x))(c q(x)). ¤lEMMA 7. mNOGO^LENY WIDA cf (x), 0 6= c ∈ P , I TOLXKO ONI QWLQ@TSQ DELITELQMI MNOGO^LENA f (x),IME@]IMI STEPENX deg f (x).lEMMA 8. mNOGO^LEN f (x) DELITSQ NA g(x) I g(x) DELITSQ NA f (x) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA g(x) = cf (x),0 6= c ∈ P .lEMMA 9. mNOGO^LENY f (x) I cf (x), 0 6= c ∈ P , OBLADA@T ODINAKOWYM ZAPASOM DELITELEJ W KOLXCE P [x].−1−1nAIBOLX[IJ OB]IJ DELITELX DWUH MNOGO^LENOW.pUSTX f (x), g(x) ∈ P [x].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
