Лекции по алгебре (968698), страница 2
Текст из файла (страница 2)
dLQ L@BOGO MESTA (i, j) IMEEMm,nn,nnnnnX(caik )bkj = ck=1nXaik bkj =k=1nXaik (cbkj ).k=1tEOREMA (O TRANSPONIROWANII PROIZWEDENIQ MATRIC).pUSTX A ∈ Mm,n (R),B ∈ Mn,r (R),TOGDA:(AB)∗ = B ∗ A∗ .dOKAZATELXSTWO. qSNO, ^TO G = AB ∈ Mm,r (R)∗ ∗I L = G = (AB) ∈ MSU]ESTWUET I LEVIT W MI C = A = M (R), TO PROIZWEDENIE U = B AdLQ L@BOGO MESTA (i, j) IMEEM DLQ U = B A = DC:∗n,m∗uij =nXdik ckj =k=1∗nXbki ajk =k=1∗∗r,mnXajk bki = gji = hij .k=1iTAK, B A = U = H = (AB) . ¤tEOREMA (OB OPREDELITELE PROIZWEDENIQ MATRIC).dLQ L@BYH KWADRATNYH MATRIC A, B ∈ M (R) IMEEM: |AB| = |A||B|.∗∗∗n5tAK KAK D = B ∈ M (R)(R), KAK I (AB) ∈ M (R).r,m (R).∗∗r,nr,mlEKCIQ 7dOKAZATELXSTWO.
pUSTX C = AB. rASSMOTRIM OPREDELITELX RAZMERA 2n × 2n:¯¯ A¯¯ −1 . .¯.−1¯ ¯¯¯ 0¯¯¯ ¯¯A¯ ¯ =¯¯ B¯¯0http://mmresource.narod.ru/¯¯¯ −1 . . ¯. ¯¯¯−1 ¯ = |A| · |B|.¯¯Bs DRUGOJ STORONY, PRIBAWLQQ K KAVDOMU STOLBCU, PROHODQ]EMU ^EREZ MATRICU B, SOOTWETSTWU@]U@LINEJNU@ KOMBINACI@ STOLBCOW, PROHODQ]IH ^EREZ MATRICU A, T.E.a110 .. . . .. 0 an1 b1j + b1j −1 . . ... . 0bnjPOLU^AEM, ^TO¯¯ A¯¯ −1 . .¯.−1¯ ¯¯¯ A¯ 0¯¯¯ ¯¯ ¯ = ¯ −1 .
.¯¯ B¯.−1 a1nc11 .. .. . . ann cn1 + . . . + bnj = 0 0 . . .. ..−10,¯ ¯¯¯¯¯ ¯¯ C = AB ¯¯ −1 . ..¯ 0¯¯¯¯¯ = (−1)2n |C| = |C| = |AB|.¯¯ = (−1)n ¯−1 ¯¯ ¯¯¯¯0AC¤oPREDELENIE. pUSTX A ∈ M (R) — KWADRATNAQ MATRICA. bUDEM GOWORITX, ^TO MATRICA B ∈ M (R)QWLQETSQ OBRATNOJ K A, ESLI AB = E = BA.zAME^ANIE. eSLI OBRATNAQ MATRICA B K MATRICE A SU]ESTWUET, TO ONA ODNOZNA^NO OPREDELENA (T.E.EDINSTWENNAQ). dEJSTWITELXNO, PUSTX AB = E = BA I AC = E = CA, TOGDA C = EC = (BA)C =B(AC) = BE = B (\TO POWTOR TOGO, ^TO MY UVE OTME^ALI RANEE: EDINSTWENNOSTX OBRATNOGO \LEMENTA(ESLI ON SU]ESTWUET) DLQ L@BOGO \LEMENTA MONOIDA).
w \TOM SLU^AE \TU ODNOZNA^NO OPREDEL<NNU@ OBRATNU@MATRICU B MY BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ A , T.E. AA = E = A A.tEOREMA (OB OBRATNOJ MATRICE).pUSTX A ∈ M (R) — KWADRATNAQ (n × n)-MATRICA. tOGDA:1) OBRATNAQ MATRICA B = (b ) = A SU]ESTWUET TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA |A| 6= 0;2) W \TOM SLU^AE b =(FORMULA DLQ \LEMENTA OBRATNOJ MATRICY);nn−1nij3) |A−1|=1|A| .−1−1ijAji|A|−1dOKAZATELXSTWO.A) eSLI AB = E, TO 1 = |E| = |AB| = |A||B|, PO\TOMU |A| 6= 0, I BOLEE TOGO, |A | = |B| = .B) eSLI |A| 6= 0, TO RASSMOTRIM B = (b ), GDE b = .
qSNO, ^TO AB = E = BA (PRINIMAQ WO WNIMANIERAZLOVENIE OPREDELITELQ PO STROKAM I STOLBCAM, A TAKVE ”FALX[IWOE” RAZLOVENIE), T.E. B = A . ¤sLEDSTWIE 1. dLQ A, B ∈ M (R) |AB| = |A||B|, PO\TOMU |AB| 6= 0 TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA |A| 6= 0I |B| 6= 0, T.E. OBRATNAQ MATRICA (AB) SU]ESTWUET TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWU@T A I B .bOLEE TOGO, W \TOM SLU^AE (AB) = B A .dOKAZATELXSTWO. (AB)(B A ) = E = (B A )(AB).
¤sLEDSTWIE 2. eSLI SU]ESTWU@T OBRATNYE MATRICY A , . . . , A DLQ A , . . . , A ∈ M (R), TO (A A ·... · A ) = A · ... · A A .sLEDSTWIE 3. eSLI SU]ESTWUET OBRATNAQ MATRICA A DLQ A ∈ M (R), TO (A ) = A.dOKAZATELXSTWO. A A = E = A · A (S TO^KI ZRENIQ MATRICY A ). ¤sLEDSTWIE 4 (TEOREMA O LINEJNYH GRUPPAH).A) mNOVESTWO OBRATIMYH MATRICijn−1−1r−11|A|−1−12−1rijAji|A|−1−1−1−1−1−1−1−11−11−1r−1−1−1−1−1−1GLn (R) = {A ∈ Mn (R)| |A| 6= 0}S OPERACIEJ UMNOVENIQ QWLQETSQ GRUPPOJ (LINEJNAQ GRUPPA);B) MNOVESTWO MATRIC S EDINI^NYM OPREDELITELEMSLn (R) = {A ∈ Mn (R)| |A| = 1}6n1r−1 −1n12lEKCIQ 8http://mmresource.narod.ru/S OPERACIEJ UMNOVENIQ QWLQETSQ GRUPPOJ (SPECIALXNAQ LINEJNAQ GRUPPA).dOKAZATELXSTWO.A) wSE PROWERKI DLQ GL (R) PROWEDENY.B) eSLI A, B ∈ SL (R), TO |A| = 1, |B| = 1, PO\TOMU |AB| = |A||B| = 1 · 1 = 1, T.E.
AB ∈ SL (R). qSNO, ^TO|E| = 1, T.E. E ∈ SL (R). eSLI A ∈ SL (R), TO |A| = 1 6= 0, T.E. SU]ESTWUET A , PRI \TOM |A | == 1,T.E. A ∈ SL (R).lEMMA. eSLI A ∈ GL (R) (T.E. A ∈ M (R) I |A| 6= 0), TO |A | = |A| 6= 0, I BOLEE TOGO, (A ) = (A ) .dOKAZATELXSTWO. (A ) A = (AA ) = E = E; A (A ) = (A A) = E = E (S TO^KI ZRENIQ MATRICYA ). ¤oPREDELENIE. kWADRATNAQ MATRICA A ∈ M (R) NAZYWAETSQ ORTOGONALXNOJ, ESLI A = A .tEOREMA. sOWOKUPNOSTX ORTOGONALXNYH MATRIC O (R) = {A ∈ M (R)|A = A } OTNOSITELXNOUMNOVENIQ MATRIC QWLQETSQ GRUPPOJ (ORTOGONALXNAQ GRUPPA).dOKAZATELXSTWO.A) eSLI A, B ∈ O (R), TO A = A I B = B .
tOGDA (AB) = B A = B A = (AB) , T.E.AB ∈ O (R).B) E = E = E , T.E. E ∈ O (R).W) eSLI A ∈ O (R), TO DLQ B = A IMEEM B = (A ) = (A ) = (A ) = B , T.E. B = A ∈O (R). ¤tRUDNAQ ZADA^A. dLQ A, B ∈ M (R) RAWNOSILXNY USLOWIQ:1) MATRICA E + AB OBRATIMA;2) MATRICA E + BA OBRATIMA (\TOT FAKT POLEZEN PRI POSTROENII TEORII OPREDELITELEJ NAD PROIZWOLXNYMKOLXCOM R: W ALGEBRAI^ESKOJ K-TEORII — FUNKTORA K (R)).nnn−1n−1n1|A|−1nn−1 ∗ ∗m−1 ∗∗∗∗∗ −1−1 ∗−1∗−1 ∗∗∗−1nn−1nn−1∗∗n−1−1n∗−1−1−1n−1 −1−1∗ −1∗∗−1∗−1 ∗∗∗∗−1nnkONTROLXNYE WOPROSY1:1) i 6= j, (ecij )−1 = (E + cEij )−1 = E − cEij = e−cij ;2) i =6 j, t−1=t;ijij−13) λ1 =6 0, .
. . , λn 6= 0, d(λ1 , . . . , λn )−1 = d(λ−11 , . . . , λn ).lEMMA. eSLI A, B ∈ M (R), TO IZ AB = E SLEDUET, ^TO BA = E (T.E. MATRICA, IME@]AQ PRAWU@OBRATNU@, OBRATIMA (DWUSTORONNE)).dOKAZATELXSTWO. eSLI AB = E, TO |A||B| = |AB| = |E| = 1, PO\TOMU |A| 6= 0, NO TOGDA SU]ESTWUETDWUSTORONNQQ OBRATNAQ MATRICA A . tAKIM OBRAZOM, A = A E = A AB = B, SLEDOWATELXNO, BA =n−1−1AA = E.−1−1−1¤lekciq8.nAHOVDENIE OBRATNOJ MATRICY A8−1OKTQBRQ 2001 G..pUSTX DANA KWADRATNAQ MATRICA A ∈ M (R) TAKAQ, ^TO |A| 6= 0.pERWYJ SPOSOB: A = B = (b ), b = (K SOVALENI@, NADO WY^ISLQTX n OPREDELITELEJ A RAZMERA−1ijijnAji|A|2ji(n − 1) × (n − 1)).wTOROJ SPOSOB: NAJD<M MATRICU X ∈ M (R) TAKU@, ^TO AX = E (TOGDA PO LEMME, XA = E, T.E.
X = A|TO RAWNOSILXNO NAHOVDENI@ STOLBCOW Xb , . . . , Xb TAKIH, ^TO−1n1).nb1 = Eb1 , . . . , AXbn = Ebn ,AXT.E. RE[ENI@ n SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJ A DLQ KO\FFICIENTOW I STOLBCAMI SWOBODNYH ^LENOWb ,...,Eb (STOLBCY EDINI^NOJ MATRICY). tAK KAK |A| 6= 0, TO \LEMENTARNYMI PREOBRAZOWANIQMI STROK 1-GO,E2-GO I 3-GO TIPOW MY MOVEM MATRICU A PRIWESTI K EDINI^NOJ MATRICE E. pRIMENQQ \TI PREOBRAZOWANIQODNOWREMENNO K n NA[IM SISTEMAM, POLU^AEM1n(A|E) −→ . .
. −→ (E|B).nO TOGDA STOLBCY MATRICY B — RE[ENIQ NA[IH n SISTEM, T.E. AB = E (KAK MY UVE OTMETILI, W \TOMSLU^AE BA = E, T.E. B = A ).−17lEKCIQ 8http://mmresource.narod.ru/zAME^ANIE. mOVNO PREDLOVITX DRUGOE OBOSNOWANIE \TOGO ALGORITMA. nAJDUTSQ \LEMENTARNYE MATRICYGO GO ILI 3-GO TIPA TAKIE, ^TO T · . . . · T T A = E, T.E. T A = E DLQ T = T · . . .
· T I SLEDOWATELXNO,nO TOGDAµB = T¶· E = T = A .Ti 1- , 2T = A−1 .r−1pRIMER. A =µT.E. A−1=1010m, |A| = 1 6= 0,1µ1 m0 12 1¯¯1¯¯001r¶µ−→1001¯¯1¯¯0−m11¶,¶−m.1zAME^ANIQ O MATRI^NYH URAWNENIQH AX = B (SLU^AJ Y A = B SWODITSQ K \TOMU, A Y∗∗= B ∗ ).sLU^AJ 1. A ∈ M (R), |A| 6= 0. tOGDA SU]ESTWUET OBRATNAQ MATRICA A , PO\TOMU SU]ESTWUET IEDINSTWENNOE RE[ENIE X = A B (DLQ URAWNENIQ Y A = B SU]ESTWUET I EDINSTWENNOE RE[ENIE Y = BA ).oB]IJ SLU^AJ MATRI^NOGO URAWNENIQ AX = B, A ∈ M (R), X ∈ M (R), B ∈ M (R), RAWNOSILENRASSMOTRENI@ r SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJ A I STOLBCAMI Bb , .
. . , Bb W KA^ESTWE STOLBCOWSWOBODNYH ^LENOW. pRIWEDENIE MATRICY A K STUPEN^ATOMU WIDU Ā,−1n−1−1m,nn,rm,r1r(A|B) −→ (Ā|B̄),SWODIT ZADA^U K ANALIZU r STUPEN^ATYH SISTEM.zAME^ANIE OB OBRATIMOM (BIEKTIWNOM) LINEJNOM OTOBRAVENII.pUSTX U, V — LINEJNYE PROSTRANSTWA, f : U → V — LINEJNOE OTOBRAVENIE (T.E. f (u + u ) = f (u ) +I f (ru) = rf (u) DLQ WSEH u, u , u ∈ U I r ∈ R). eSLI OTOBRAVENIE f — BIEKTIWNO, TO EGO OBRATNOEOTOBRAVENIE f TAKVE QWLQETSQ LINEJNYM OTOBRAVENIEM.dOKAZATELXSTWO. dLQ WSEH v , v ∈ V1)f (u2 )11−112122f (f −1 (v1 + v2 )) = v1 + v2 = f (f −1 (v1 )) + f (f −1 (v2 )) = f (f −1 (v1 ) + f −1 (v2 )).tAK KAK OTOBRAVENIE f — IN_EKTIWNO, TO f (v + v ) = f (v ) + f (v ).
aNALOGI^NO, DLQ v ∈ V I r ∈ RIZ f (f (rv)) = rv = rf (f (v)) = f (rf (v)), SLEDUET, ^TO f (rs) = rf (s). iTAK, f — LINEJNOEOTOBRAVENIE. ¤b −→ Rb — LINEJNOE OTOBRAVENIE S MATRICEJ F = (f ) ∈ M (R), TO f — BIEKTIWNOE2) eSLI f : ROTOBRAVENIE TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA:A) m = n;B) |F | 6= 0.pRI \TOM MATRICA LINEJNOGO OTOBRAVENIQ g = f RAWNA G = F .dOKAZATELXSTWO.I. eSLI m = n I |F | 6= 0, TO DLQ−1−1−1n−112−11−1−1m2−1ij−1−1m,n−1 f11 x1 + . . . + f1n xn = y1...fn1 x1 + . .
. + fnn xn = ynW SILU PRAWILA kRAMERA IMEEM, ^TO RE[ENIE SU]ESTWUET I EDINSTWENNO, PRI \TOMxi =F1iFniDi=y1 + . . . +yn = gi1 y1 + . . . + gin yn ,|F ||F ||F |GDE G = (g ) = F . iTAK, g = f SU]ESTWUET I QWLQETSQ LINEJNYM OTOBRAVENIEM S MATRICEJ G = Fb →Rb S MATRICEJ F = (f ) ∈ M (R), GDEII. dLQ LINEJNOGO OTOBRAVENIQ f : Rij−1−1nmy1x1.f .. = ... ,xnymijm,n f11 x1 + . . . + f1n xn = y1...,fm1 x1 + .
. . + fmn xn = ym8−1.lEKCIQ 8http://mmresource.narod.ru/IZ NA[EGO ISSLEDOWANIQ SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ (METOD gAUSSA) IMEEM:A) ESLI m < n, TO OTOBRAVENIE f NE QWLQETSQ IN_EKTIWNYM (DAVE U NULEWOGO STOLBCA ESTX OTLI^NYJ OTNULQ PROOBRAZ (NENULEWOE RE[ENIE));B) ESLI m > n, TO OTOBRAVENIE f NE QWLQETSQ S@R_EKTIWNYM TAK KAK m > n ≥ r, W STUPEN^ATOJ FORME F̄NA[EJ SISTEMY DLQ STOLBCA PRAWYH ^ISEL, DA@]EGO ”\KZOTI^ESKOE” URAWNENIE 0x + .
. . + 0x = ȳ 6= 0, UVENET PROOBRAZA (RE[ENIQ)).iTAK, ESLI OTOBRAVENIE f — BIEKTIWNO, TO m = n, T.E. f : U → U , GDE U = Rb . eSLI g = f , TO g —LINEJNOE OTOBRAVENIE. pUSTX G = (g ) — EGO MATRICA. tAK KAK f g = 1 = gf , TO F G = E = GF , I PO\TOMU|F | 6= 0 I G = F .1nnm−1ij−1uPRAVNENIE.e]< ODNA O^ENX HORO[AQ FUNKCIQ OT MATRIC.pUSTX A = (a ) ∈ M (R). pOLOVIM Tr(A) = a + a + . . . + a = P a (SLED MATRICY A). tOGDA:A) Tr — LINEJNAQ FUNKCIQ, T.E.
Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B), T r(λA) = λ Tr(A) DLQ WSEH A, B ∈ M (R) Iλ ∈ R;B) Tr(E) = n;W) Tr(AB) = Tr(BA)2) fUNKCIQ Tr : M (R) → R ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SWOJSTWAMI A ), B ) I W ).3) w ALGEBRE MATRIC M (R) EDINI^NAQ MATRICA E NE PREDSTAWIMA W WIDE AB − BA DLQ A, B ∈ M (R).1)nijn1122nni=1iinnnnwYWOD SWOJSTW LINEJNOGO PROSTRANSTWA (IZ AKSIOM).pROSTRANSTWA STROK R , STOLBCOW Rb , PRQMOUGOLXNYH MATRIC M (R), MNOGO^LENOW R[x], FORMALXNYHSTEPENNYH RQDOW R[[x]], NEPRERYWNYH FUNKCIJ C[0, 1] QWLQ@TSQ LINEJNYMI PROSTRANSTWAMI, T.E. UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM AKSIOMAM DLQ OPERACIJ SLOVENIQ I UMNOVENIQ NA ^ISLO c ∈ R LINEJNOGO PROSTRANSTWAV:I. 1) ASSOCIATIWNOSTX SLOVENIQ;2) KOMMUTATIWNOSTX SLOVENIQ;3) SU]ESTWOWANIE NEJTRALXNOGO \LEMENTA 0 (OTNOSITELXNO OPERACII SLOVENIQ, T.E. α + 0 = α DLQ WSEHα∈V;4) SU]ESTWOWANIE PROTIWOPOLOVNOGO \LEMENTA −v DLQ WSQKOGO v ∈ V (T.E.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
