Главная » Просмотр файлов » Лекции по алгебре

Лекции по алгебре (968698), страница 2

Файл №968698 Лекции по алгебре (Лекции по алгебре) 2 страницаЛекции по алгебре (968698) страница 22019-04-24СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

dLQ L@BOGO MESTA (i, j) IMEEMm,nn,nnnnnX(caik )bkj = ck=1nXaik bkj =k=1nXaik (cbkj ).k=1tEOREMA (O TRANSPONIROWANII PROIZWEDENIQ MATRIC).pUSTX A ∈ Mm,n (R),B ∈ Mn,r (R),TOGDA:(AB)∗ = B ∗ A∗ .dOKAZATELXSTWO. qSNO, ^TO G = AB ∈ Mm,r (R)∗ ∗I L = G = (AB) ∈ MSU]ESTWUET I LEVIT W MI C = A = M (R), TO PROIZWEDENIE U = B AdLQ L@BOGO MESTA (i, j) IMEEM DLQ U = B A = DC:∗n,m∗uij =nXdik ckj =k=1∗nXbki ajk =k=1∗∗r,mnXajk bki = gji = hij .k=1iTAK, B A = U = H = (AB) . ¤tEOREMA (OB OPREDELITELE PROIZWEDENIQ MATRIC).dLQ L@BYH KWADRATNYH MATRIC A, B ∈ M (R) IMEEM: |AB| = |A||B|.∗∗∗n5tAK KAK D = B ∈ M (R)(R), KAK I (AB) ∈ M (R).r,m (R).∗∗r,nr,mlEKCIQ 7dOKAZATELXSTWO.

pUSTX C = AB. rASSMOTRIM OPREDELITELX RAZMERA 2n × 2n:¯¯ A¯¯ −1 . .¯.−1¯ ¯¯¯ 0¯¯¯ ¯¯A¯ ¯ =¯¯ B¯¯0http://mmresource.narod.ru/¯¯¯ −1 . . ¯. ¯¯¯−1 ¯ = |A| · |B|.¯¯Bs DRUGOJ STORONY, PRIBAWLQQ K KAVDOMU STOLBCU, PROHODQ]EMU ^EREZ MATRICU B, SOOTWETSTWU@]U@LINEJNU@ KOMBINACI@ STOLBCOW, PROHODQ]IH ^EREZ MATRICU A, T.E.a110 .. . .  .. 0  an1 b1j  + b1j  −1 . .  ... . 0bnjPOLU^AEM, ^TO¯¯ A¯¯ −1 . .¯.−1¯ ¯¯¯ A¯ 0¯¯¯ ¯¯ ¯ = ¯ −1 .

.¯¯ B¯.−1 a1nc11 ..   .. .   .  ann   cn1 + . . . + bnj = 0   0 .   . ..   ..−10,¯ ¯¯¯¯¯ ¯¯ C = AB ¯¯ −1 . ..¯ 0¯¯¯¯¯ = (−1)2n |C| = |C| = |AB|.¯¯ = (−1)n ¯−1 ¯¯ ¯¯¯¯0AC¤oPREDELENIE. pUSTX A ∈ M (R) — KWADRATNAQ MATRICA. bUDEM GOWORITX, ^TO MATRICA B ∈ M (R)QWLQETSQ OBRATNOJ K A, ESLI AB = E = BA.zAME^ANIE. eSLI OBRATNAQ MATRICA B K MATRICE A SU]ESTWUET, TO ONA ODNOZNA^NO OPREDELENA (T.E.EDINSTWENNAQ). dEJSTWITELXNO, PUSTX AB = E = BA I AC = E = CA, TOGDA C = EC = (BA)C =B(AC) = BE = B (\TO POWTOR TOGO, ^TO MY UVE OTME^ALI RANEE: EDINSTWENNOSTX OBRATNOGO \LEMENTA(ESLI ON SU]ESTWUET) DLQ L@BOGO \LEMENTA MONOIDA).

w \TOM SLU^AE \TU ODNOZNA^NO OPREDEL<NNU@ OBRATNU@MATRICU B MY BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ A , T.E. AA = E = A A.tEOREMA (OB OBRATNOJ MATRICE).pUSTX A ∈ M (R) — KWADRATNAQ (n × n)-MATRICA. tOGDA:1) OBRATNAQ MATRICA B = (b ) = A SU]ESTWUET TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA |A| 6= 0;2) W \TOM SLU^AE b =(FORMULA DLQ \LEMENTA OBRATNOJ MATRICY);nn−1nij3) |A−1|=1|A| .−1−1ijAji|A|−1dOKAZATELXSTWO.A) eSLI AB = E, TO 1 = |E| = |AB| = |A||B|, PO\TOMU |A| 6= 0, I BOLEE TOGO, |A | = |B| = .B) eSLI |A| 6= 0, TO RASSMOTRIM B = (b ), GDE b = .

qSNO, ^TO AB = E = BA (PRINIMAQ WO WNIMANIERAZLOVENIE OPREDELITELQ PO STROKAM I STOLBCAM, A TAKVE ”FALX[IWOE” RAZLOVENIE), T.E. B = A . ¤sLEDSTWIE 1. dLQ A, B ∈ M (R) |AB| = |A||B|, PO\TOMU |AB| 6= 0 TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA |A| 6= 0I |B| 6= 0, T.E. OBRATNAQ MATRICA (AB) SU]ESTWUET TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWU@T A I B .bOLEE TOGO, W \TOM SLU^AE (AB) = B A .dOKAZATELXSTWO. (AB)(B A ) = E = (B A )(AB).

¤sLEDSTWIE 2. eSLI SU]ESTWU@T OBRATNYE MATRICY A , . . . , A DLQ A , . . . , A ∈ M (R), TO (A A ·... · A ) = A · ... · A A .sLEDSTWIE 3. eSLI SU]ESTWUET OBRATNAQ MATRICA A DLQ A ∈ M (R), TO (A ) = A.dOKAZATELXSTWO. A A = E = A · A (S TO^KI ZRENIQ MATRICY A ). ¤sLEDSTWIE 4 (TEOREMA O LINEJNYH GRUPPAH).A) mNOVESTWO OBRATIMYH MATRICijn−1−1r−11|A|−1−12−1rijAji|A|−1−1−1−1−1−1−1−11−11−1r−1−1−1−1−1−1GLn (R) = {A ∈ Mn (R)| |A| 6= 0}S OPERACIEJ UMNOVENIQ QWLQETSQ GRUPPOJ (LINEJNAQ GRUPPA);B) MNOVESTWO MATRIC S EDINI^NYM OPREDELITELEMSLn (R) = {A ∈ Mn (R)| |A| = 1}6n1r−1 −1n12lEKCIQ 8http://mmresource.narod.ru/S OPERACIEJ UMNOVENIQ QWLQETSQ GRUPPOJ (SPECIALXNAQ LINEJNAQ GRUPPA).dOKAZATELXSTWO.A) wSE PROWERKI DLQ GL (R) PROWEDENY.B) eSLI A, B ∈ SL (R), TO |A| = 1, |B| = 1, PO\TOMU |AB| = |A||B| = 1 · 1 = 1, T.E.

AB ∈ SL (R). qSNO, ^TO|E| = 1, T.E. E ∈ SL (R). eSLI A ∈ SL (R), TO |A| = 1 6= 0, T.E. SU]ESTWUET A , PRI \TOM |A | == 1,T.E. A ∈ SL (R).lEMMA. eSLI A ∈ GL (R) (T.E. A ∈ M (R) I |A| 6= 0), TO |A | = |A| 6= 0, I BOLEE TOGO, (A ) = (A ) .dOKAZATELXSTWO. (A ) A = (AA ) = E = E; A (A ) = (A A) = E = E (S TO^KI ZRENIQ MATRICYA ). ¤oPREDELENIE. kWADRATNAQ MATRICA A ∈ M (R) NAZYWAETSQ ORTOGONALXNOJ, ESLI A = A .tEOREMA. sOWOKUPNOSTX ORTOGONALXNYH MATRIC O (R) = {A ∈ M (R)|A = A } OTNOSITELXNOUMNOVENIQ MATRIC QWLQETSQ GRUPPOJ (ORTOGONALXNAQ GRUPPA).dOKAZATELXSTWO.A) eSLI A, B ∈ O (R), TO A = A I B = B .

tOGDA (AB) = B A = B A = (AB) , T.E.AB ∈ O (R).B) E = E = E , T.E. E ∈ O (R).W) eSLI A ∈ O (R), TO DLQ B = A IMEEM B = (A ) = (A ) = (A ) = B , T.E. B = A ∈O (R). ¤tRUDNAQ ZADA^A. dLQ A, B ∈ M (R) RAWNOSILXNY USLOWIQ:1) MATRICA E + AB OBRATIMA;2) MATRICA E + BA OBRATIMA (\TOT FAKT POLEZEN PRI POSTROENII TEORII OPREDELITELEJ NAD PROIZWOLXNYMKOLXCOM R: W ALGEBRAI^ESKOJ K-TEORII — FUNKTORA K (R)).nnn−1n−1n1|A|−1nn−1 ∗ ∗m−1 ∗∗∗∗∗ −1−1 ∗−1∗−1 ∗∗∗−1nn−1nn−1∗∗n−1−1n∗−1−1−1n−1 −1−1∗ −1∗∗−1∗−1 ∗∗∗∗−1nnkONTROLXNYE WOPROSY1:1) i 6= j, (ecij )−1 = (E + cEij )−1 = E − cEij = e−cij ;2) i =6 j, t−1=t;ijij−13) λ1 =6 0, .

. . , λn 6= 0, d(λ1 , . . . , λn )−1 = d(λ−11 , . . . , λn ).lEMMA. eSLI A, B ∈ M (R), TO IZ AB = E SLEDUET, ^TO BA = E (T.E. MATRICA, IME@]AQ PRAWU@OBRATNU@, OBRATIMA (DWUSTORONNE)).dOKAZATELXSTWO. eSLI AB = E, TO |A||B| = |AB| = |E| = 1, PO\TOMU |A| 6= 0, NO TOGDA SU]ESTWUETDWUSTORONNQQ OBRATNAQ MATRICA A . tAKIM OBRAZOM, A = A E = A AB = B, SLEDOWATELXNO, BA =n−1−1AA = E.−1−1−1¤lekciq8.nAHOVDENIE OBRATNOJ MATRICY A8−1OKTQBRQ 2001 G..pUSTX DANA KWADRATNAQ MATRICA A ∈ M (R) TAKAQ, ^TO |A| 6= 0.pERWYJ SPOSOB: A = B = (b ), b = (K SOVALENI@, NADO WY^ISLQTX n OPREDELITELEJ A RAZMERA−1ijijnAji|A|2ji(n − 1) × (n − 1)).wTOROJ SPOSOB: NAJD<M MATRICU X ∈ M (R) TAKU@, ^TO AX = E (TOGDA PO LEMME, XA = E, T.E.

X = A|TO RAWNOSILXNO NAHOVDENI@ STOLBCOW Xb , . . . , Xb TAKIH, ^TO−1n1).nb1 = Eb1 , . . . , AXbn = Ebn ,AXT.E. RE[ENI@ n SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJ A DLQ KO\FFICIENTOW I STOLBCAMI SWOBODNYH ^LENOWb ,...,Eb (STOLBCY EDINI^NOJ MATRICY). tAK KAK |A| 6= 0, TO \LEMENTARNYMI PREOBRAZOWANIQMI STROK 1-GO,E2-GO I 3-GO TIPOW MY MOVEM MATRICU A PRIWESTI K EDINI^NOJ MATRICE E. pRIMENQQ \TI PREOBRAZOWANIQODNOWREMENNO K n NA[IM SISTEMAM, POLU^AEM1n(A|E) −→ . .

. −→ (E|B).nO TOGDA STOLBCY MATRICY B — RE[ENIQ NA[IH n SISTEM, T.E. AB = E (KAK MY UVE OTMETILI, W \TOMSLU^AE BA = E, T.E. B = A ).−17lEKCIQ 8http://mmresource.narod.ru/zAME^ANIE. mOVNO PREDLOVITX DRUGOE OBOSNOWANIE \TOGO ALGORITMA. nAJDUTSQ \LEMENTARNYE MATRICYGO GO ILI 3-GO TIPA TAKIE, ^TO T · . . . · T T A = E, T.E. T A = E DLQ T = T · . . .

· T I SLEDOWATELXNO,nO TOGDAµB = T¶· E = T = A .Ti 1- , 2T = A−1 .r−1pRIMER. A =µT.E. A−1=1010m, |A| = 1 6= 0,1µ1 m0 12 1¯¯1¯¯001r¶µ−→1001¯¯1¯¯0−m11¶,¶−m.1zAME^ANIQ O MATRI^NYH URAWNENIQH AX = B (SLU^AJ Y A = B SWODITSQ K \TOMU, A Y∗∗= B ∗ ).sLU^AJ 1. A ∈ M (R), |A| 6= 0. tOGDA SU]ESTWUET OBRATNAQ MATRICA A , PO\TOMU SU]ESTWUET IEDINSTWENNOE RE[ENIE X = A B (DLQ URAWNENIQ Y A = B SU]ESTWUET I EDINSTWENNOE RE[ENIE Y = BA ).oB]IJ SLU^AJ MATRI^NOGO URAWNENIQ AX = B, A ∈ M (R), X ∈ M (R), B ∈ M (R), RAWNOSILENRASSMOTRENI@ r SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJ A I STOLBCAMI Bb , .

. . , Bb W KA^ESTWE STOLBCOWSWOBODNYH ^LENOW. pRIWEDENIE MATRICY A K STUPEN^ATOMU WIDU Ā,−1n−1−1m,nn,rm,r1r(A|B) −→ (Ā|B̄),SWODIT ZADA^U K ANALIZU r STUPEN^ATYH SISTEM.zAME^ANIE OB OBRATIMOM (BIEKTIWNOM) LINEJNOM OTOBRAVENII.pUSTX U, V — LINEJNYE PROSTRANSTWA, f : U → V — LINEJNOE OTOBRAVENIE (T.E. f (u + u ) = f (u ) +I f (ru) = rf (u) DLQ WSEH u, u , u ∈ U I r ∈ R). eSLI OTOBRAVENIE f — BIEKTIWNO, TO EGO OBRATNOEOTOBRAVENIE f TAKVE QWLQETSQ LINEJNYM OTOBRAVENIEM.dOKAZATELXSTWO. dLQ WSEH v , v ∈ V1)f (u2 )11−112122f (f −1 (v1 + v2 )) = v1 + v2 = f (f −1 (v1 )) + f (f −1 (v2 )) = f (f −1 (v1 ) + f −1 (v2 )).tAK KAK OTOBRAVENIE f — IN_EKTIWNO, TO f (v + v ) = f (v ) + f (v ).

aNALOGI^NO, DLQ v ∈ V I r ∈ RIZ f (f (rv)) = rv = rf (f (v)) = f (rf (v)), SLEDUET, ^TO f (rs) = rf (s). iTAK, f — LINEJNOEOTOBRAVENIE. ¤b −→ Rb — LINEJNOE OTOBRAVENIE S MATRICEJ F = (f ) ∈ M (R), TO f — BIEKTIWNOE2) eSLI f : ROTOBRAVENIE TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA:A) m = n;B) |F | 6= 0.pRI \TOM MATRICA LINEJNOGO OTOBRAVENIQ g = f RAWNA G = F .dOKAZATELXSTWO.I. eSLI m = n I |F | 6= 0, TO DLQ−1−1−1n−112−11−1−1m2−1ij−1−1m,n−1 f11 x1 + . . . + f1n xn = y1...fn1 x1 + . .

. + fnn xn = ynW SILU PRAWILA kRAMERA IMEEM, ^TO RE[ENIE SU]ESTWUET I EDINSTWENNO, PRI \TOMxi =F1iFniDi=y1 + . . . +yn = gi1 y1 + . . . + gin yn ,|F ||F ||F |GDE G = (g ) = F . iTAK, g = f SU]ESTWUET I QWLQETSQ LINEJNYM OTOBRAVENIEM S MATRICEJ G = Fb →Rb S MATRICEJ F = (f ) ∈ M (R), GDEII. dLQ LINEJNOGO OTOBRAVENIQ f : Rij−1−1nmy1x1.f  ..  =  ...  ,xnymijm,n f11 x1 + . . . + f1n xn = y1...,fm1 x1 + .

. . + fmn xn = ym8−1.lEKCIQ 8http://mmresource.narod.ru/IZ NA[EGO ISSLEDOWANIQ SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ (METOD gAUSSA) IMEEM:A) ESLI m < n, TO OTOBRAVENIE f NE QWLQETSQ IN_EKTIWNYM (DAVE U NULEWOGO STOLBCA ESTX OTLI^NYJ OTNULQ PROOBRAZ (NENULEWOE RE[ENIE));B) ESLI m > n, TO OTOBRAVENIE f NE QWLQETSQ S@R_EKTIWNYM TAK KAK m > n ≥ r, W STUPEN^ATOJ FORME F̄NA[EJ SISTEMY DLQ STOLBCA PRAWYH ^ISEL, DA@]EGO ”\KZOTI^ESKOE” URAWNENIE 0x + .

. . + 0x = ȳ 6= 0, UVENET PROOBRAZA (RE[ENIQ)).iTAK, ESLI OTOBRAVENIE f — BIEKTIWNO, TO m = n, T.E. f : U → U , GDE U = Rb . eSLI g = f , TO g —LINEJNOE OTOBRAVENIE. pUSTX G = (g ) — EGO MATRICA. tAK KAK f g = 1 = gf , TO F G = E = GF , I PO\TOMU|F | 6= 0 I G = F .1nnm−1ij−1uPRAVNENIE.e]< ODNA O^ENX HORO[AQ FUNKCIQ OT MATRIC.pUSTX A = (a ) ∈ M (R). pOLOVIM Tr(A) = a + a + . . . + a = P a (SLED MATRICY A). tOGDA:A) Tr — LINEJNAQ FUNKCIQ, T.E.

Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B), T r(λA) = λ Tr(A) DLQ WSEH A, B ∈ M (R) Iλ ∈ R;B) Tr(E) = n;W) Tr(AB) = Tr(BA)2) fUNKCIQ Tr : M (R) → R ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SWOJSTWAMI A ), B ) I W ).3) w ALGEBRE MATRIC M (R) EDINI^NAQ MATRICA E NE PREDSTAWIMA W WIDE AB − BA DLQ A, B ∈ M (R).1)nijn1122nni=1iinnnnwYWOD SWOJSTW LINEJNOGO PROSTRANSTWA (IZ AKSIOM).pROSTRANSTWA STROK R , STOLBCOW Rb , PRQMOUGOLXNYH MATRIC M (R), MNOGO^LENOW R[x], FORMALXNYHSTEPENNYH RQDOW R[[x]], NEPRERYWNYH FUNKCIJ C[0, 1] QWLQ@TSQ LINEJNYMI PROSTRANSTWAMI, T.E. UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM AKSIOMAM DLQ OPERACIJ SLOVENIQ I UMNOVENIQ NA ^ISLO c ∈ R LINEJNOGO PROSTRANSTWAV:I. 1) ASSOCIATIWNOSTX SLOVENIQ;2) KOMMUTATIWNOSTX SLOVENIQ;3) SU]ESTWOWANIE NEJTRALXNOGO \LEMENTA 0 (OTNOSITELXNO OPERACII SLOVENIQ, T.E. α + 0 = α DLQ WSEHα∈V;4) SU]ESTWOWANIE PROTIWOPOLOVNOGO \LEMENTA −v DLQ WSQKOGO v ∈ V (T.E.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
371,32 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее