Лекции по алгебре (968698), страница 5
Текст из файла (страница 5)
zH = xH.3) pUSTX z ∈ xH ∩ yH. w SILU 2), xH = zH = yH.4) eSLI xH = yH, TO x ∈ xH = yH, I PO\TOMU x = yh, h ∈ H, T. E. y x = h ∈ H. aNALOGI^NO,y ∈ yH = xH, y = xh , h ∈ H, T. E. x y = h ∈ H. eSLI y x = h ∈ H, TO x = yh ∈ yH. w SILU 2),xH = yH. eSLI x y = h ∈ H, TO y = xh ∈ xH. w SILU 2), yH = xH.5) eSLI xh = xh , TO, UMNOVAQ NA x , WIDIM, ^TO h = h . ¤uPRAVNENIE. wYPISATX QWNO RAZBIENIQ NA LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY GRUPPY S PO PODGRUPPEH = ((1, 2)) (\TI RAZBIENIQ, KAK MY WIDELI, RAZLI^NY).tEOREMA (lAGRANV).
eSLI H — PODGRUPPA GRUPPY G, |G| = n < ∞, |H| = k, TO k — DELITELX ^ISLA n,A IMENNO, n = kj, GDE j — ^ISLO LEWYH (PRAWYH) SMEVNYH KLASSOW (NAZYWAEMOE INDEKSOM PODGRUPPY H W G;OBOZNA^ENIE: j = (G : H)).dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM RAZBIENIE GRUPPY G NA j RAZLI^NYH SMEVNYH KLASSOW xH. tAK KAK |xH| =|H| = k, TO n = kj. ¤sLEDSTWIE 1. eSLI a ∈ G, |G| = n, TO PORQDOK O(a) \LEMENTA a QWLQETSQ DELITELEM ^ISLA n.dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM H = (a). tOGDA |H| = O(a). w SILU TEOREMY lAGRANVA n = O(a) · j. ¤sLEDSTWIE 2. eSLI |G| = n I a ∈ G, TO a = e.dOKAZATELXSTWO. w SILU 1), n = O(a) · j.
tOGDA a = (a ) = e = e. ¤sLEDSTWIE 3. eSLI |G| = p — PROSTOE ^ISLO, TO G — CIKLI^ESKAQ GRUPPA (W KA^ESTWE CIKLI^ESKOGOOBRAZU@]EGO MOVNO WZQTX L@BOJ NEEDINI^NYJ \LEMENT).dOKAZATELXSTWO. pUSTX e 6= a ∈ G. tOGDA k = O(a) = |(a)| =6 1 QWLQETSQ DELITELEM PROSTOGO ^ISLA p.pO\TOMU k = p, T. E. G = (a), T. E. G — CIKLI^ESKAQ GRUPPA. ¤−1−10−1000−100−100−10−10−10−100−100−10−103nnO(a) j17jlEKCIQ 13Hhttp://mmresource.narod.ru/sLEDSTWIE 4. ~ISLO LEWYH SMEVNYH KLASSOW I ^ISLO PRAWYH SMEVNYH KLASSOW GRUPPY G PO PODGRUPPESOWPADA@T.dOKAZATELXSTWO. dLQ KONE^NOJ GRUPPY G, |G| = n < ∞, |H| = k, \TI ^ISLA RAWNY j =nk=|G||H| .¤dRUGOE RASSUVDENIE PRIMENIMO I DLQ BESKONE^NYH GRUPP: BIEKCIQ x → x , G → G, OSU]ESTWLQETBIEKCI@ MEVDU MNOVESTWAMI LEWYH I PRAWYH SMEVNYH KLASSOW: xH → Hx .zAME^ANIE.
oBRA]ENIE TEOREMY lAGRANVA NE IMEET MESTA (W KLASSE WSEH KONE^NYH GRUPP), T. E. DLQDELITELQ k ^ISLA n = |G| MOVET NE NAJTISX PODGRUPPY IZ k \LEMENTOW.pRIMER 1. |A | = 12 = 6 · 2, NO W A NET PODGRUPP IZ 6 \LEMENTOW.pRIMER 2. |A | = 60 = 30 · 2, NO W A NET PODGRUPP IZ 30 \LEMENTOW.uPRAVNENIE. eSLI G = (a) — KONE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA, |G| = n = kj, TO W G SU]ESTWUETI EDINSTWENNAQ PODGRUPPA H, |H| = k (T.
E. OBRA]ENIE TEOREMY lAGRANVA WERNO W KLASSE KONE^NYHCIKLI^ESKIH GRUPP).−1−14455nORMALXNAQ PODGRUPPA.pODGRUPPA H GRUPPY G NAZYWAETSQ NORMALXNOJ, ESLI xH = Hx DLQ WSEH x ∈ G (T. E. ESLI RAZBIENIQNA LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY SOWPADA@T). bUDEM ISPOLXZOWATX OBOZNA^ENIE H / G W \TOM SLU^AE.pRIWED<M RQD USLOWIJ, \KWIWALENTNYH USLOWI@ NORMALXNOSTI.tEOREMA. pUSTX H — PODGRUPPA GRUPPY G. tOGDA \KWIWALENTNY SLEDU@]IE USLOWIQ:1) xH = Hx DLQ WSEH x ∈ G;2) g Hg ⊆ H DLQ WSEH g ∈ G (T. E. g hg ∈ H DLQ WSEH g ∈ G, h ∈ H);3) g Hg = H DLQ WSEH g ∈ G.dOKAZATELXSTWO.
1) ⇒ 2). tAK KAK Hg = gH, TO hg = gh , h ∈ H, I PO\TOMU g hg = h ∈ H.2) ⇒ 3). tAK KAK h = g (ghg )g ∈ g Hg, POSKOLXKU ghg= (g ) h(g ) ∈ H, TO H ⊆ g Hg, IPO\TOMU H = g Hg.3) ⇒ 1). eSLI g Hg = H DLQ WSEH g ∈ G, TO, UMNOVAQ SLEWA NA g, POLU^AEM, ^TO Hg = gH. ¤pRIMER 1. kAK MY WIDELI, ((1, 2)) 6 S (T. E. CIKLI^ESKAQ PODGRUPPA ((1, 2)) NE QWLQETSQ NORMALXNOJ WGRUPPE S ), POSKOLXKU RAZBIENIQ NA LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY RAZLI^NY.pRIMER 2.
eSLI G — ABELEWA GRUPPA, TO, KONE^NO, L@BAQ PODGRUPPA H W G NORMALXNA (T. E. xH = HxDLQ WSEH x ∈ G).pRIMER 3. eSLI |G| = 2|H|, T. E. H — PODGRUPPA INDEKSA 2 W GRUPPE G, TO H NORMALXNA W G.dOKAZATELXSTWO. rAZBIENIQ NA LEWYE I PRAWYE KLASSY SOWPADA@T, \TO eH = H = He I G\H. ¤sLEDSTWIE. A / S (T. E. PODGRUPPA ^<TNYH PODSTANOWOK NORMALXNA).pRIMER 4. SL (R) / GL (R). (sPECIALXNAQ LINEJNAQ PODGRUPPA NORMALXNA W LINEJNOJ GRUPPE).dOKAZATELXSTWO. pUSTX A ∈ SL (R), T. E. |A| = 1, I C ∈ GL (R), T. E. |C| 6= 0. tOGDA |C AC| =|C ||A||C| = |C| |C| = 1, T. E. C SL (R)C ⊆ SL (R).
¤pRIMER 5. oRTOGONALXNAQ PODGRUPPA O (R) = {A ∈ M (R)|A = A } NE QWLQETSQ NORMALXNOJPODGRUPPOJ W LINEJNOJ GRUPPE GLµ (R) PRI¶ n ≥ 2.0dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO 10 −1∈ O (R), NO−1−1−10−1−10−1−1−1−1 −10−1−1−1−133nnn−1nn−1−1−1nnnn∗n−1n2µ2111¶−1 µ100−1¶µ2 11 1¶µ=3−42−3¶∈/ O2 (R).¤pRIMER 6. cENTR Z(G) GRUPPY G — NORMALXNAQ PODGRUPPA.dOKAZATELXSTWO. tAK KAKZ(G) = {a ∈ G|ag = ga∀g ∈ G},TO QSNO, ^TO g Z(G)g ⊆ Z(G) DLQ WSEH g ∈ G, T.
E. Z(G) / G. ¤uPRAVNENIE. pUSTX [a, b] = aba b DLQ a, b ∈ G (KOMMUTATOR \LEMENTOW a I b). qSNO, ^TO:A) [a, b]ba = ab;B) [a, b] = [b, a].−1−1 −1−118lEKCIQ 13http://mmresource.narod.ru/pUSTX H = [G, G] — KOMMUTANT GRUPPY G, T. E. SOWOKUPNOSTX WSEH KONE^NYH PROIZWEDENIJ KOMMUTATOROW\LEMENTOW GRUPPY G. tOGDA [G, G] / G (T. E. KOMMUTANT [G, G] QWLQETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ GRUPPY G).dOKAZATX, W ^ASTNOSTI, ^TO [S , S ] = A .nnngOMOMORFIZMY GRUPP.pUSTX G I G — GRUPPY. oTOBRAVENIE f : G → G , DLQ KOTOROGO f (ab) = f (a)f (b) DLQ WSEH \LEMENTOWNAZOW<M GOMOMORFIZMOM.pRIMER 1. pUSTX G = R = {r ∈ R|r > 0} S OPERACIEJ UMNOVENIQ, G = R S OPERACIEJ SLOVENIQ.
tAKKAK DLQ OTOBRAVENIQ ln : R → R IMEEM ln(ab) = ln(a) + ln(b) DLQ WSEH a, b ∈ R , TO, ln — GOMOMORFIZMGRUPP.pRIMER 2. eSLI G = S I G = {1, −1} S OPERACIEJ UMNOVENIQ, TO OTOBRAVENIE ε : S → {1, −1}, DLQKOTOROGO ε(σ) = 1, ESLI σ ∈ A , T. E. σ — ^<TNAQ PODSTANOWKA, I ε(σ) = −1 DLQ σ ∈ S \A , T. E. DLQ NE^<TNOJPODSTANOWKI σ, QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP, POSKOLXKU ε(στ ) = ε(σ)ε(τ ) DLQ WSEH σ, τ ∈ S .pRIMER 3.
pUSTX G = GL (R), G = R = R\{0} S OPERACIEJ UMNOVENIQ. tAK KAK |AB| = |A||B| DLQA, B ∈ GL (R), TO OTOBRAVENIE A → |A| IZ GL (R) W R QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP.uPRAVNENIE 1. nAJTI WSE GOMOMORFIZMY f : G → G , GDE G = (a), O(a) = m, G = (b), O(b) = n.dLQ GOMOMORFIZMOW f : G → G OPREDELIM:I f = {g ∈ G |g = f (g) DLQ g ∈ G}(OBRAZ GOMOMORFIZMA f );00a, b ∈ G,+0++0nnnnnn0n∗n∗n0000mGDE e00Ker f = {g ∈ G|f (g) = e0 },NEJTRALXNYJ \LEMENT GRUPPY G (QDRO GOMOMORFIZMA f ).uPRAVNENIE 2. w RASSMOTRENNYH WY[E PRIMERAH NAJTI OBRAZ I QDRO GOMOMORFIZMA.tEOREMA (SWOJSTWA GOMOMORFIZMA GRUPP).
. pUSTX G I G — GRUPPY, e I e — IH NEJTRALXNYE \LEMENTY,SOOTWETSTWENNO, f : G → G — GOMOMORFIZM GRUPP. tOGDA:1) f (e) = e ;2) f (x ) = (f (x)) DLQ WSEH x ∈ G;3) H = Im f — PODGRUPPA GRUPPY G ;4) eSLI G = (a) — CIKLI^ESKAQ GRUPPA, TO Im f = (f (a)) — TAKVE CIKLI^ESKAQ GRUPPA.5) Ker f — NORMALXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G.dOKAZATELXSTWO.1) tAK KAK u = f (e) = f (e ) = f (e)f (e) = u , TO u = e , T. E.
f (e) = e .2) tAK KAK f (x )f (x) = f (x x) = f (e) = e I f (x)f (x ) = f (xx ) = f (e) = e , TO f (x ) = (f (x)) .3) eSLI h = f (g ) I h = f (g ) — \LEMENTY IZ Im f , GDE g , g ∈ G, TO00—0000−1−10022−101−1021000−12−110−1−12h01 h02 = f (g1 )f (g2 ) = f (g1 g2 ) ∈ Im f.eSLI h = f (g) ∈ Im f , g ∈ G, TO0(h0 )−1 = (f (g))−1 = f (g −1 ) ∈ Im f.iTAK, Im f — PODGRUPPA GRUPPY G .4) eSLI G = (a) I h ∈ Im f , h = f (g), g ∈ G, TO g = a , n ∈ Z, I PO\TOMU000nh0 = f (g) = f (an ) = (f (a))n .iTAK, Im f = (f (a)) — CIKLI^ESKAQ GRUPPA S OBRAZU@]IM f (a).5) eSLI h , h ∈ H = Ker f , TO f (h ) = e , f (h ) = e . pO\TOMU f (h h ) = f (h )f (h ) = e · e = e , T. E.h h ∈ Ker f .eSLI h ∈ Ker f , TO f (h) = e , I PO\TOMU f (h ) = (f (h)) = (e ) = e , T.
E. h ∈ Ker f . tAKIM OBRAZOM,Ker f — PODGRUPPA GRUPPY G.eSLI h ∈ H = Ker f , TO f (h) = e . dLQ L@BOGO \LEMENTA g ∈ G IMEEM11 2210002−11 2−10 −100f (g −1 hg) = f (g −1 )f (h)f (g) = f (g)−1 e0 f (g) = e0 .191−12000lEKCIQ 13http://mmresource.narod.ru/tAKIM OBRAZOM,GRUPPY G. ¤DLQ WSEH \LEMENTOW gg −1 Ker f g ⊆ Ker fT. E.∈ G,Ker f —NORMALXNAQ PODGRUPPAfAKTORGRUPPA PO NORMALXNOJ PODGRUPPE, KANONI^ESKIJ GOMOMORFIZM.pUSTX G — GRUPPA, H — E< NORMALXNAQ PODGRUPPA, G/H = {xH = Hx|x ∈ G} — MNOVESTWO SMEVNYHKLASSOW PO PODGRUPPE H.
oPREDELIM NA MNOVESTWE G/H OPERACI@ UMNOVENIQ, POLAGAQ xH · yH = xyH.pROWERIM KORREKTNOSTX \TOGO OPREDELENIQ (T. E., ^TO UMNOVENIE SMEVNYH KLASSOW NE ZAWISIT OT WYBORAIH PREDSTAWITELEJ).dEJSTWITELXNO, PUSTX xH = x H, yH = y H. tOGDA x = xh , y = yh , GDE h , h ∈ H. sLEDOWATELXNO,x y = xh yh = xyh h , GDE h y = yh (POSKOLXKU Hy = yH) DLQ h ∈ H. tAK KAK h h ∈ H, TO x y H = xyH.dLQ L@BYH x, y, z ∈ G IMEEM00 01201 200011100121201 20 0(xHyH)zH = (xy)zH = x(yz)H = xH(yHzH),T. E. OPERACIQ UMNOVENIQ SMEVNYH KLASSOW ASSOCIATIWNA.qSNO, ^TO DLQ H = eH IMEEMeHxH = exH = xH = xeH = xHeHDLQ WSEH xH ∈ G/H, T. E.
H = eH — NEJTRALXNYJ \LEMENT.dLQ WSQKOGO xH ∈ G/H IZ(xH)(x−1 H) = xx−1 H = eH = H,(x−1 H)(xH) = x−1 xH = eH = H,POLU^AEM, ^TO (xH) = x H, T. E. U KAVDOGO SMEVNOGO KLASSA xH IMEETSQ OBRATNYJ \LEMENT (xH) =x H.tAKIM OBRAZOM, MY DOKAZALI 1-E UTWERVDENIE SLEDU@]EJ TEOREMY.tEOREMA. eSLI H / G, TO:1) G/H — GRUPPA (NAZYWAEMAQ FAKTORGRUPPOJ GRUPPY G, PO NORMALXNOJ PODGRUPPE H).2) oTOBRAVENIE π = π : G → G/H, DLQ KOTOROGO π(x) = xH, x ∈ G, QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM(NAZYWAEMYM KANONI^ESKIM GOMOMORFIZMOM)3) Ker π = H.dOKAZATELXSTWO.
oSTALOSX PROWERITX 2) I 3). dEJSTWITELXNO, DLQ a, b ∈ G IMEEM−1−1−1−1HHπ(ab) = abH = aH · bH = π(a)π(b),T. E. π = π — GOMOMORFIZM.eSLI a ∈ G, TO a ∈ Ker π TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA π(a) = aH = H. nO \TO RAWNOSILXNO TOMU, ^TOa ∈ H. iTAK, Ker π = H. ¤sLEDSTWIE. nORMALXNYE PODGRUPPY H GRUPPY G I TOLXKO ONI QWLQ@TSQ QDRAMI GOMOMORFIZMOW f : G →G IZ GRUPPY G WO WSE GRUPPY G .HHH00wAVNYJ PRIMER FAKTORGRUPPY — GRUPPA WY^ETOW Z PO MODUL@ npUSTX G = Z — GRUPPA CELYH ^ISEL S OPERACIEJ SLOVENIQ, n — NATURALXNOE ^ISLO I H = nZ = {nq|q ∈ Z}— PODGRUPPA CELYH ^ISEL, DELQ]IHSQ NA n.
dLQ k ∈ Z RASSMOTRIM SMEVNYJ KLASSnCk = k + nZ = {k + nq|q ∈ Z}.qSNO ^TODLQTOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDAtAK KAKGDETOtAKIM OBRAZOM MNOVESTWO WSEH RAZLI^NYH SMEVNYH KLASSOW WNAHODITSQ W BIEKTIWNOM SOOTWETSTWII S OSTATKAMIPRI DELENIINA ^ISLO eSLIITOtAKIM OBRAZOM OPERACIQ SLOVENIQ FAKTORGRUPPYW TO^NOSTI SOOTWETSTWUET OPERACII SLOVENIQOSTATKOW PRI DELENII NA PO MODUL@ ^ISLA T E SNA^ALA NADO SLOVITX OSTATKI KAK CELYE ^ISLA A ZATEM,Ck = Cll ∈ Z,k − l = nq.k = nq + r,q ∈ Z,0 ≤ r < n,Ck = Cr .,Zn = G/H =Z/nZ = {C0 , C1 , . . .
, Cn−1 }{0, 1, 2, . . . , n − 1}n.k, l ∈ Z k + l = nq + r,Ck + Cl = (k + nZ) + (l + nZ) = (k + l) + nZ = r + nZ = Cr .,Zn = Z/nZnn( . .,20lEKCIQ 16http://mmresource.narod.ru/OT SUMMY WZQTX OSTATOK PRI E< DELENII NA n). tAKIM OBRAZOM, Z = Z/nZ — GRUPPA, BOLEE TOGO, Z = (C )— CIKLI^ESKAQ GRUPPA, |Z | = n. kONE^NO, \TO MOVNO BYLO BY PROWERITX I NEPOSREDSTWENNO DLQ GRUPPYOSTATKOW (WY^ETOW) {0, 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
