Главная » Просмотр файлов » Лекции по алгебре

Лекции по алгебре (968698), страница 3

Файл №968698 Лекции по алгебре (Лекции по алгебре) 3 страницаЛекции по алгебре (968698) страница 32019-04-24СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

v + (−v) = 0).II. 1) 1 · v = v DLQ WSEH v ∈ V ;2) (rs)v = r(sv) DLQ WSEH r, s ∈ R, v ∈ V .III. 1) r(v + v ) = rv + rv DLQ WSEH r ∈ R, v , v ∈ V ;2) (r + s)v = rv + sv DLQ WSEH r, s ∈ R, v ∈ V .pRIWED<M RQD SLEDSTWIJ IZ \TIH AKSIOM (HOTQ, WOZMOVNO, W KONKRETNOM SLU^AE ONI MOGUT BYTX O^EWIDNY):1) URAWNENIE u + x = v DLQ u, v ∈ V IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE x = (−u) + v;2) ESLI x + x = x DLQ x ∈ V , TO x = 0 (DOSTATO^NO PRIBAWITX K LEWOJ I PRAWOJ ^ASTI \LEMENT −x);3) 0v = 0 DLQ 0 ∈ R, v ∈ R (ESLI x = 0v, TO x + x = 0v + 0v = (0 + 0)v = 0v = x);4) r0 = 0 DLQ r ∈ R, 0 ∈ V (ESLI x = r0, TO x + x = r0 + r0 = r(0 + 0) = r0 = x);5) (−1)v = −v DLQ v ∈ V ((−1)v + v = (−1 + 1)v = 0v = 0);6) rv = 0 DLQ r ∈ R, v ∈ V , TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA LIBO r = 0, LIBO v = 0 (ESLI r 6= 0, TO SU]ESTWUETr ∈ R, I PO\TOMU v = 1 · v = r rv = r 0 = 0);7) r(u − v) = ru − rv DLQ r ∈ R, u, v ∈ V (r(u − v) + rv = r(u − v + v) = ru);8) −(−v) = v DLQ v ∈ V (v + (−v) = 0 S TO^KI ZRENIQ \LEMENTA −v).n12−1pUSTX1n2m,n1−12−1lINEJNAQ ZAWISIMOSTX W LINEJNYH PROSTRANSTWAH.RV—LINEJNOE PROSTRANSTWO (NAD POLEM DEJSTWITELXNYH ^ISEL R).

eSLIv1 , . . . , vr ∈ V,k1 , . . . , kr ∈ R,TO \LEMENT k v1 1k 1 , . . . , kr .+ . . . + kr vr ∈ VNAZYWAETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ \LEMENTOW v , . . . , v S KO\FFICIENTAMI19rlEKCIQ 9http://mmresource.narod.ru/sISTEMU \LEMENTOW {v , . . . , v } ⊆ V NAZOW<M LINEJNO ZAWISIMOJ, ESLI SU]ESTWU@T ^ISLA k , . . . , kNE WSE RAWNYE NUL@ (T.E. HOTQ BY ODNO ^ISLO k OTLI^NO OT NULQ), I TAKIE, ^TO1r1r∈ R,ik1 v1 + k2 v2 + . .

. + kr vr = 0MY BUDEM GOWORITX, DLQ KRATKOSTI, ^TO ”NETRIWIALXNAQ” LINEJNAQ KOMBINACIQ \LEMENTOW v , . . . , v RAWNANUL@; KONE^NO, TRIWIALXNAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ WSEGDA RAWNA NUL@, T.E. 0 · v + . . . + 0 · v = 0).sISTEMA \LEMENTOW {v , . .

. , v } ⊆ V NAZYWAETSQ LINEJNO NEZAWISIMOJ, ESLI ONA NE QWLQETSQ LINEJNOZAWISIMOJ, T.E. ESLI IZ RAWENSTWA k v + . . . + k v = 0, k , . . . , k ∈ R, SLEDUET, ^TO k = k = . . . = k = 0.tEOREMA. sISTEMA \LEMENTOW {v , . . . , v } ⊆ V LINEJNO ZAWISIMA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQNEKOTOROGO i, 1 ≤ i ≤ r,X(111rrr1 1r r1r1r12rRvi =lj vjj6=iT E QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ OSTALXNYH \LEMENTOW SISTEMY {v , . . . , v }).dOKAZATELXSTWO.P1) pUSTX SISTEMA {v , . .

. , v } LINEJNO ZAWISIMA, T.E. k v + . . . + k v = 0, k 6= 0. tOGDA v =v .PP2) eSLI v =l v , TOk v + (−1)v = 0, T.E. SISTEMA {v , . . . , v } LINEJNO ZAWISIMAQ, POSKOLXKU( . . vi11r1 1r rriij6=i(−kj )jkirij jj6=ij ji1rj6=i(−1) 6= 0.pRIMERY.1) eSLI W SISTEME {v , . . . , v } ⊆ V ESTX NULEWOJ \LEMENT, SKAVEM v = 0, TO SISTEMA LINEJNO ZAWISIMA.dEJSTWITELXNO, 0 · v + . . . + 1 · v + . . .

+ 0 · v = 0 (ILI INA^E, v = 0 = P 0 · v ).2) eSLI v = v DLQ i 6= j, TO SISTEMA {v , . . . , v } ⊆ V LINEJNO ZAWISIMA.dEJSTWITELXNO, 0 · v + . . . + 1 · v + . . . + (−1) · v + . . . + 0 · v = 0 (ILI INA^E, v = v + P 0 · v ).3) sISTEMA STROK {ε , . . . , ε } ⊆ R , GDE1ri1irjij6=iij11ri1jrik6=i,k6=jnrkjε1 = (1, 0, . . . , 0),ε2 = (0, 1, . . . , 0),...εn = (0, 0, . . . , 1),LINEJNO NEZAWISIMA. kROME TOGO, L@BAQ STROKA α = (k , . .

. , k ) ∈ R QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ\LEMENTOW ε , . . . , ε (A IMENNO, α = k ε + . . . + k ε ).dEJSTWITELXNO, k ε + . . . + k ε = (k , . . . , k ), I PO\TOMU, ESLI k ε + . . . + k ε = (0, . . . , 0), TO k = k =. . . = k = 0, T.E. SISTEMA {ε , . . . , ε } LINEJNO NEZAWISIMA.11n1 11 1nn n1nnn n1n1 1n n12nlekciqpRIMER pUSTX9.12LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMA tOGDA SISTEMATAKVE LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMAdOKAZATELXSTWO eSLITOPO\TOMUOKTQBRQ 2001 G..{α1 , α2 , α3 } —.{β1 = α1 + α2 , β2 = α1 +α3 , β3 = α2 + α3 } —..k1 β1 + k2 β2 + k3 β3 = 0,0 = k1 (α1 + α2 ) + k2 (α1 + α3 ) + k3 (α2 + α3 ) = (k1 + k2 )α1 +(k1 + k3 )α2 + (k2 + k3 )α3 , k1 + k2 = 0k1 + k3 = 0k2 + k3 = 0.sLEDOWATELXNO, k1= k2 = k3 = 0.kONTROLXNYE WOPROSY:1)2)tAKIM OBRAZOM, SISTEMA {β , β , β } LINEJNO NEZAWISIMA.123PODSISTEMA LINEJNO NEZAWISIMOJ SISTEMY LINEJNO NEZAWISIMA;ESLI PODSISTEMA LINEJNO ZAWISIMA, TO LINEJNO ZAWISIMA I WSQ SISTEMA.10lEKCIQ 9http://mmresource.narod.ru/zAME^ANIE.

dLQ SISTEMY W Rnα1 = (a11 , . . . , a1n )...αr = (ar1 , . . . , arn )WOPROS O EE LINEJNOJ ZAWISIMOSTI RAWNOSILEN SU]ESTWOWANI@ NENULEWOGO RE[ENIQ U SLEDU@]EJ ODNORODNOJSISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ: a11 x1 + . . . + ar1 xr = 0...a1n x1 + . . . + arn xr = 0tAKIM OBRAZOM, METOD gAUSSA DAET NAM ALGORITMI^ESKOE RE[ENIE \TOGO WOPROSA.tEOREMA. pUSTX A = (a ) ∈ M (R) — KWADRATNAQ MATRICA.

tOGDA SLEDU@]IE USLOWIQ RAWNOSILXNY:1) |A| = 0;2) SISTEMA STROK {A , . . . , A } MATRICY A LINEJNO ZAWISIMA (W PROSTRANSTWE STROK R );b ).b ,...,Ab } MATRICY A LINEJNO ZAWISIMA (W PROSTRANSTWE STOLBCOW R3) SISTEMA STOLBCOW {AdOKAZATELXSTWO.1. eSLI STROKI MATRICY A LINEJNO ZAWISIMY, SKAVEM, i-AQ STOKA A QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJOSTALXNYH, A = P l A , TO KAK MY POKAZALI, |A| = 0, T.E. 2) ⇒ 1).2. pUSTX |A| = 0.

tOGDA k A + . . . + k A = 0 W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI (k , . . . , k ) QWLQETSQRE[ENIEM ODNORODNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJ A . tAK KAK |A | = |A| = 0, TO SU]ESTWUETNENULEWOE RE[ENIE (k , . . . , k ), T.E. SISTEMA STROK A , . . . , A MATRICY A LINEJNO ZAWISIMA. iTAK, 1) ⇒ 2).3. tAK KAK |A | = |A|, TO 1) ⇔ 3).

¤tEOREMA. l@BAQ SISTEMA m STROK W R PRI m > n LINEJNO ZAWISIMA.dOKAZATELXSTWO. eSLIijn1nn1nniiiij6=i1∗11nn∗n11∗nnnα1 = (a11 , . . . , a1n )...αm = (am1 , . . . , amn ),TO RAWENSTWO k α + . . . + k α = 0 RAWNOSILXNO TOMU, ^TO (k , . . . , k ) QWLQETSQ RE[ENIEM SLEDU@]EJODNORODNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ:1 1m m1m a11 x1 + . . . + am1 xm = 0...a1n x1 + . . . + amn xm = 0tAK KAK ^ISLO n URAWNENIJ MENX[E ^ISLA m PEREMENNYH, TO ODNORODNAQ SISTEMA OBLADAET NENULEWYMRE[ENIEM, T.E.

SISTEMA {α , . . . , α } LINEJNO ZAWISIMA. ¤sLEDSTWIE. eSLI SISTEMA {α , . . . , α } ⊆ R LINEJNO NEZAWISIMA, TO r ≤ n.lEMMA. eSLI SISTEMA {α , . . . , α } LINEJNO NEZAWISIMA, A SISTEMA {α , . . . , α , β} LINEJNO ZAWISIMA, TOβ QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ \LEMENTOW α , . . . , α .dOKAZATELXSTWO.

pUSTX k α + . . . + k α + k β = 0, GDE NE WSE k , 1 ≤ i ≤ r + 1, RAWNY NUL@. eSLIBY k = 0, TO NETRIWIALXNAQ KOMBINACIQ k α + . . . + k α = 0, RAWNAQ NUL@, OZNA^ALA BY, ^TO SISTEMA{α , . . . , α } LINEJNO ZAWISIMA, ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@.iTAK, k 6= 0, I PO\TOMU1m11nrr111 1rr+11rrrr+1i1 1rrrr+1β=(−kr )(−k1 )α1 + . . . +αr .kr+1kr+1¤lEMMA (EDINSTWENNOSTX PREDSTAWLENIQ W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII LINEJNO NEZAWISIMOJ SISTEMY\LEMENTOW).pUSTX {α , .

. . , α } — LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMA I β = k α + . . . + k α = k α + . . . + k α . tOGDAk1 =1k10 , . . . , kr=rkr0 .1 111rr01 10rrlEKCIQ 9dOKAZATELXSTWO. dEJSTWITELXNO, (k −k )α +. . .+(k −k )α01110rrrhttp://mmresource.narod.ru/= 0,I PO\TOMU k −k101= 0, . . . , kr −kr0 = 0.¤mAKSIMALXNYE LINEJNO NEZAWISIMYE PODSISTEMY.oPREDELENIE. pUSTX S ⊆ R (WOZMOVNO, S — KONE^NOE PODMNOVESTWO; WOZMOVNO, S = R ). pODSISTEMAnnW S {α , . . . , α } ⊆ S ⊆ R NAZYWAETSQ MAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJ PODSISTEMOJ W S, ESLI:1) {α , . . . , α } — LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMA;2) {α , . . .

, α , β} — LINEJNO ZAWISIMAQ SISTEMA DLQ WSQKOGO β ∈ S (ILI, ^TO \KWIWALENTNO:2 ) l@BOJ \LEMENT β ∈ S QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ \LEMENTOW α , . . . , α ).oPREDELENIE. mAKSIMALXNAQ LINEJNO NEZAWISIMAQ PODSISTEMA W S = R NAZYWAETSQ BAZISOM LINEJNOGOPROSTRANSTWA R .1nr1r1r01rnnpRIMER.ε1 =(1, 0, . . . , 0)...—εn =(0, 0, . . . , 1)lEMMA. l@BU@ LINEJNO NEZAWISIMU@ PODSISTEMUBAZIS W R .nW S ⊆ R MOVNO DOPOLNITX DOMAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJ PODSISTEMY W S ⊆ R .dOKAZATELXSTWO. eSLI {α , . . .

, α } — MAKSIMALXNAQ LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMA, TO WSE DOKAZANO. eSLINET, TO NAJDETSQ \LEMENT β ∈ S TAKOJ, ^TO {α , . . . , α , β = α } — LINEJNO NEZAWISIMAQ PODSISTEMA WS. pOSLE KONE^NOGO ^ISLA [AGOW PROCESS OSTANOWITSQ, TAK KAK UVE L@BYE n + 1 \LEMENTOW W R LINEJNOZAWISIMY. ¤sLEDSTWIQ.1) l@BOJ NENULEWOJ \LEMENT 0 6= α ∈ S DOPOLNQEM DO MAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJ PODSISTEMY W S.2) w S = R BESKONE^NO MNOGO RAZLI^NYH MAKSIMALXNYH LINEJNO NEZAWISIMYH PODSISTEM (BAZISOW).n1n{α1 , . .

. , αr }r1rr+1nnzAME^ANIE O LINEJNOJ WYRAVAEMOSTI SISTEM.bUDEM GOWORITX, ^TO SISTEMA S = {β , . . . , β } LINEJNO WYRAVAETSQ ^EREZ SISTEMU S = {α , . . . , α }, ESLIKAVDYJ\LEMENT β ∈ S , 1 ≤ i ≤ s, QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ \LEMENTOW α , . . . , α SISTEMY S , T.E.P2βi =rj=1i1s1211rr1kij αj .eSLI, K TOMU VE, SISTEMA SLINEJNO WYRAVAETSQ ^EREZ SISTEMU S , γ = P l β , TOPP PP Pγ =l β =(l k )α =( l k )α , TO ESTX SISTEMA S LINEJNO WYRAVAETSQ ^EREZ SISTEMU S .oPREDELENIE. sISTEMY S I S NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, ESLI ONI LINEJNO WYRAVA@TSQ DRUG ^EREZDRUGA.sLEDSTWIQ.1) oTNO[ENIE ”BYTX \KWIWALENTNYMI SISTEMAMI” S ∼ S QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI;2) eSLI \LEMENT γ QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ \LEMENTOW SISTEMY S I S ∼ S , TO γ LINEJNOWYRAVAETSQ ^EREZ \LEMENTY SISTEMY S ;3) l@BAQ (KONE^NAQ) SISTEMA S ⊆ R \KWIWALENTNA SWOEJ MAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJ PODSISTEME;4) l@BYE DWE MAKSIMALXNO NEZAWISIMYE PODSISTEMY W S ⊆ R \KWIWALENTNY.tEOREMA (OSNOWNAQ TEOREMA O LINEJNOJ ZAWISIMOSTI).pUSTX W R (W L@BOM LINEJNOM PROSTRANSTWE) LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMA {α , .

. . , α } LINEJNOWYRAVAETSQ ^EREZ DRUGU@ SISTEMU {β , . . . , β }. tOGDA r ≤ s.dOKAZATELXSTWO. dOPUSTIM PROTIWNOE, PUSTX r > s. w SILU PREDPOLOVENIQ,3ski=1ski iri=1 j=1rki ijj1s= {γ1 , . . . , γt }2ksj=1 i=1ki ijji=1312121122nnn11sα1 =a11 β1 + . . . + a1s βs...αr =ar1 β1 + . . . + ars βs .12ki irlEKCIQ 10http://mmresource.narod.ru/tAK KAK r > s, TO r STROK W PROSTRANSTWE Rs(a11 , . . . , a1s )...(ar1 , . .

. , ars )LINEJNO ZAWISIMY, T.E. NAJDETSQ IH LINEJNAQ KOMBINACIQ S KO\FFICIENTAMI k , . . . , k , k 6= 0,RAWNAQ NULEWOJ STROKE (0, . . . , 0). nO TOGDA I LINEJNAQ KOMBINACIQ \LEMENTOW α , . . . , α S \TIMI VEKO\FFICIENTAMI k , . . . , k , TAKVE RAWNA NUL@, T.E. SISTEMA {α , . .

. , α } LINEJNO ZAWISIMA, ^TO PRIWODITNAS K PROTIWORE^I@. ¤sLEDSTWIQ.1) dWE \KWIWALENTNYE LINEJNO NEZAWISIMYE SISTEMY SODERVAT RAWNOE ^ISLO \LEMENTOW.2) dLQ SISTEMY S ⊆ R L@BYE DWE MAKSIMALXNYE LINEJNO NEZAWISIMYE PODSISTEMY SODERVAT ODINAKOWOE^ISLO \LEMENTOW r(S), NAZYWAEMOE RANGOM SISTEMY S.3) eSLI S = R , TO \TO OZNA^AET, ^TO L@BYE DWA BAZISA W R SOSTOQT IZ ODNOGO I TOGO VE ^ISLA\LEMENTOW, RAWNOGO n, TAK KAK ODIN IZ BAZISOW {ε , . . .

, ε } SODERVIT ROWNO n \LEMENTOW. |TO ^ISLO NAZYWAETSQRAZMERNOSTX@ LINEJNOGO PROSTRANSTWA R (OBOZNA^AETSQ dim R ).iTAK, MY POKAZALI, ^TO dim R = n.uPRAVNENIE. nAJTI: dim M (R); dim{A ∈ M (R)|A = A}; dim{A ∈ M (R)|A = −A}.4) eSLI W R ODNA SISTEMA \LEMENTOW S LINEJNO WYRAVAETSQ ^EREZ DRUGU@ SISTEMU S , TO r(S ) ≤1r11r1irrnnn1nnnnm,nnn∗∗n121r(S2 ).lekciq10.15OKTQBRQ 2001 G.pUSTX A = (a ) ∈ M (R) — PRQMOUGOLXNAQ (m × n)-MATRICA. oPREDELITELX MKWADRATNOJMATRICY, SOSTOQ]EJ IZ \LEMENTOW NA PERESE^ENII k STROK c NOMERAMI i , . . . , i I k STOLBCOW S NOMERAMINAZYWAETSQ MINOROM k-GO PORQDKA MATRICY A.

nAIWYS[IJ PORQDOK NENULEWOGO MINORA MATRICYOBOZNA^IM ^EREZ r(A).tEOREMA (O RANGE MATRICY). sLEDU@]IE ^ETYRE INWARIANTA MATRICY A = (a ) ∈ M (R) SOWPADA@T:1) r(A , . . . , A ) (RANG SISTEMY STROK, W R );b ,...,Ab ) (RANG SISTEMY STOLBCOW, W Rb );2) r(A3) r(A) (NAIWYS[IJ PORQDOK NENULEWOGO MINORA);4) ^ISLO NENULEWYH STROK r W STUPEN^ATOM WIDE Ā MATRICY A.(|TO SOWPADA@]EE ^ISLO NAZYWAETSQ RANGOM MATRICY A I BUDET OBOZNA^ATXSQ W DALXNEJ[EM ^EREZ r(A).)dOKAZATELXSTWO RAZOBX<M NA ^ETYRE LEMMY.lEMMA 1.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
371,32 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее