Лекции по алгебре (968698), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

v + (−v) = 0).II. 1) 1 · v = v DLQ WSEH v ∈ V ;2) (rs)v = r(sv) DLQ WSEH r, s ∈ R, v ∈ V .III. 1) r(v + v ) = rv + rv DLQ WSEH r ∈ R, v , v ∈ V ;2) (r + s)v = rv + sv DLQ WSEH r, s ∈ R, v ∈ V .pRIWED<M RQD SLEDSTWIJ IZ \TIH AKSIOM (HOTQ, WOZMOVNO, W KONKRETNOM SLU^AE ONI MOGUT BYTX O^EWIDNY):1) URAWNENIE u + x = v DLQ u, v ∈ V IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE x = (−u) + v;2) ESLI x + x = x DLQ x ∈ V , TO x = 0 (DOSTATO^NO PRIBAWITX K LEWOJ I PRAWOJ ^ASTI \LEMENT −x);3) 0v = 0 DLQ 0 ∈ R, v ∈ R (ESLI x = 0v, TO x + x = 0v + 0v = (0 + 0)v = 0v = x);4) r0 = 0 DLQ r ∈ R, 0 ∈ V (ESLI x = r0, TO x + x = r0 + r0 = r(0 + 0) = r0 = x);5) (−1)v = −v DLQ v ∈ V ((−1)v + v = (−1 + 1)v = 0v = 0);6) rv = 0 DLQ r ∈ R, v ∈ V , TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA LIBO r = 0, LIBO v = 0 (ESLI r 6= 0, TO SU]ESTWUETr ∈ R, I PO\TOMU v = 1 · v = r rv = r 0 = 0);7) r(u − v) = ru − rv DLQ r ∈ R, u, v ∈ V (r(u − v) + rv = r(u − v + v) = ru);8) −(−v) = v DLQ v ∈ V (v + (−v) = 0 S TO^KI ZRENIQ \LEMENTA −v).n12−1pUSTX1n2m,n1−12−1lINEJNAQ ZAWISIMOSTX W LINEJNYH PROSTRANSTWAH.RV—LINEJNOE PROSTRANSTWO (NAD POLEM DEJSTWITELXNYH ^ISEL R).

eSLIv1 , . . . , vr ∈ V,k1 , . . . , kr ∈ R,TO \LEMENT k v1 1k 1 , . . . , kr .+ . . . + kr vr ∈ VNAZYWAETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ \LEMENTOW v , . . . , v S KO\FFICIENTAMI19rlEKCIQ 9http://mmresource.narod.ru/sISTEMU \LEMENTOW {v , . . . , v } ⊆ V NAZOW<M LINEJNO ZAWISIMOJ, ESLI SU]ESTWU@T ^ISLA k , . . . , kNE WSE RAWNYE NUL@ (T.E. HOTQ BY ODNO ^ISLO k OTLI^NO OT NULQ), I TAKIE, ^TO1r1r∈ R,ik1 v1 + k2 v2 + . .

. + kr vr = 0MY BUDEM GOWORITX, DLQ KRATKOSTI, ^TO ”NETRIWIALXNAQ” LINEJNAQ KOMBINACIQ \LEMENTOW v , . . . , v RAWNANUL@; KONE^NO, TRIWIALXNAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ WSEGDA RAWNA NUL@, T.E. 0 · v + . . . + 0 · v = 0).sISTEMA \LEMENTOW {v , . .

. , v } ⊆ V NAZYWAETSQ LINEJNO NEZAWISIMOJ, ESLI ONA NE QWLQETSQ LINEJNOZAWISIMOJ, T.E. ESLI IZ RAWENSTWA k v + . . . + k v = 0, k , . . . , k ∈ R, SLEDUET, ^TO k = k = . . . = k = 0.tEOREMA. sISTEMA \LEMENTOW {v , . . . , v } ⊆ V LINEJNO ZAWISIMA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQNEKOTOROGO i, 1 ≤ i ≤ r,X(111rrr1 1r r1r1r12rRvi =lj vjj6=iT E QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ OSTALXNYH \LEMENTOW SISTEMY {v , . . . , v }).dOKAZATELXSTWO.P1) pUSTX SISTEMA {v , . .

. , v } LINEJNO ZAWISIMA, T.E. k v + . . . + k v = 0, k 6= 0. tOGDA v =v .PP2) eSLI v =l v , TOk v + (−1)v = 0, T.E. SISTEMA {v , . . . , v } LINEJNO ZAWISIMAQ, POSKOLXKU( . . vi11r1 1r rriij6=i(−kj )jkirij jj6=ij ji1rj6=i(−1) 6= 0.pRIMERY.1) eSLI W SISTEME {v , . . . , v } ⊆ V ESTX NULEWOJ \LEMENT, SKAVEM v = 0, TO SISTEMA LINEJNO ZAWISIMA.dEJSTWITELXNO, 0 · v + . . . + 1 · v + . . .

+ 0 · v = 0 (ILI INA^E, v = 0 = P 0 · v ).2) eSLI v = v DLQ i 6= j, TO SISTEMA {v , . . . , v } ⊆ V LINEJNO ZAWISIMA.dEJSTWITELXNO, 0 · v + . . . + 1 · v + . . . + (−1) · v + . . . + 0 · v = 0 (ILI INA^E, v = v + P 0 · v ).3) sISTEMA STROK {ε , . . . , ε } ⊆ R , GDE1ri1irjij6=iij11ri1jrik6=i,k6=jnrkjε1 = (1, 0, . . . , 0),ε2 = (0, 1, . . . , 0),...εn = (0, 0, . . . , 1),LINEJNO NEZAWISIMA. kROME TOGO, L@BAQ STROKA α = (k , . .

. , k ) ∈ R QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ\LEMENTOW ε , . . . , ε (A IMENNO, α = k ε + . . . + k ε ).dEJSTWITELXNO, k ε + . . . + k ε = (k , . . . , k ), I PO\TOMU, ESLI k ε + . . . + k ε = (0, . . . , 0), TO k = k =. . . = k = 0, T.E. SISTEMA {ε , . . . , ε } LINEJNO NEZAWISIMA.11n1 11 1nn n1nnn n1n1 1n n12nlekciqpRIMER pUSTX9.12LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMA tOGDA SISTEMATAKVE LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMAdOKAZATELXSTWO eSLITOPO\TOMUOKTQBRQ 2001 G..{α1 , α2 , α3 } —.{β1 = α1 + α2 , β2 = α1 +α3 , β3 = α2 + α3 } —..k1 β1 + k2 β2 + k3 β3 = 0,0 = k1 (α1 + α2 ) + k2 (α1 + α3 ) + k3 (α2 + α3 ) = (k1 + k2 )α1 +(k1 + k3 )α2 + (k2 + k3 )α3 , k1 + k2 = 0k1 + k3 = 0k2 + k3 = 0.sLEDOWATELXNO, k1= k2 = k3 = 0.kONTROLXNYE WOPROSY:1)2)tAKIM OBRAZOM, SISTEMA {β , β , β } LINEJNO NEZAWISIMA.123PODSISTEMA LINEJNO NEZAWISIMOJ SISTEMY LINEJNO NEZAWISIMA;ESLI PODSISTEMA LINEJNO ZAWISIMA, TO LINEJNO ZAWISIMA I WSQ SISTEMA.10lEKCIQ 9http://mmresource.narod.ru/zAME^ANIE.

dLQ SISTEMY W Rnα1 = (a11 , . . . , a1n )...αr = (ar1 , . . . , arn )WOPROS O EE LINEJNOJ ZAWISIMOSTI RAWNOSILEN SU]ESTWOWANI@ NENULEWOGO RE[ENIQ U SLEDU@]EJ ODNORODNOJSISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ: a11 x1 + . . . + ar1 xr = 0...a1n x1 + . . . + arn xr = 0tAKIM OBRAZOM, METOD gAUSSA DAET NAM ALGORITMI^ESKOE RE[ENIE \TOGO WOPROSA.tEOREMA. pUSTX A = (a ) ∈ M (R) — KWADRATNAQ MATRICA.

tOGDA SLEDU@]IE USLOWIQ RAWNOSILXNY:1) |A| = 0;2) SISTEMA STROK {A , . . . , A } MATRICY A LINEJNO ZAWISIMA (W PROSTRANSTWE STROK R );b ).b ,...,Ab } MATRICY A LINEJNO ZAWISIMA (W PROSTRANSTWE STOLBCOW R3) SISTEMA STOLBCOW {AdOKAZATELXSTWO.1. eSLI STROKI MATRICY A LINEJNO ZAWISIMY, SKAVEM, i-AQ STOKA A QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJOSTALXNYH, A = P l A , TO KAK MY POKAZALI, |A| = 0, T.E. 2) ⇒ 1).2. pUSTX |A| = 0.

tOGDA k A + . . . + k A = 0 W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI (k , . . . , k ) QWLQETSQRE[ENIEM ODNORODNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJ A . tAK KAK |A | = |A| = 0, TO SU]ESTWUETNENULEWOE RE[ENIE (k , . . . , k ), T.E. SISTEMA STROK A , . . . , A MATRICY A LINEJNO ZAWISIMA. iTAK, 1) ⇒ 2).3. tAK KAK |A | = |A|, TO 1) ⇔ 3).

¤tEOREMA. l@BAQ SISTEMA m STROK W R PRI m > n LINEJNO ZAWISIMA.dOKAZATELXSTWO. eSLIijn1nn1nniiiij6=i1∗11nn∗n11∗nnnα1 = (a11 , . . . , a1n )...αm = (am1 , . . . , amn ),TO RAWENSTWO k α + . . . + k α = 0 RAWNOSILXNO TOMU, ^TO (k , . . . , k ) QWLQETSQ RE[ENIEM SLEDU@]EJODNORODNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ:1 1m m1m a11 x1 + . . . + am1 xm = 0...a1n x1 + . . . + amn xm = 0tAK KAK ^ISLO n URAWNENIJ MENX[E ^ISLA m PEREMENNYH, TO ODNORODNAQ SISTEMA OBLADAET NENULEWYMRE[ENIEM, T.E.

SISTEMA {α , . . . , α } LINEJNO ZAWISIMA. ¤sLEDSTWIE. eSLI SISTEMA {α , . . . , α } ⊆ R LINEJNO NEZAWISIMA, TO r ≤ n.lEMMA. eSLI SISTEMA {α , . . . , α } LINEJNO NEZAWISIMA, A SISTEMA {α , . . . , α , β} LINEJNO ZAWISIMA, TOβ QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ \LEMENTOW α , . . . , α .dOKAZATELXSTWO.

pUSTX k α + . . . + k α + k β = 0, GDE NE WSE k , 1 ≤ i ≤ r + 1, RAWNY NUL@. eSLIBY k = 0, TO NETRIWIALXNAQ KOMBINACIQ k α + . . . + k α = 0, RAWNAQ NUL@, OZNA^ALA BY, ^TO SISTEMA{α , . . . , α } LINEJNO ZAWISIMA, ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@.iTAK, k 6= 0, I PO\TOMU1m11nrr111 1rr+11rrrr+1i1 1rrrr+1β=(−kr )(−k1 )α1 + . . . +αr .kr+1kr+1¤lEMMA (EDINSTWENNOSTX PREDSTAWLENIQ W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII LINEJNO NEZAWISIMOJ SISTEMY\LEMENTOW).pUSTX {α , .

. . , α } — LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMA I β = k α + . . . + k α = k α + . . . + k α . tOGDAk1 =1k10 , . . . , kr=rkr0 .1 111rr01 10rrlEKCIQ 9dOKAZATELXSTWO. dEJSTWITELXNO, (k −k )α +. . .+(k −k )α01110rrrhttp://mmresource.narod.ru/= 0,I PO\TOMU k −k101= 0, . . . , kr −kr0 = 0.¤mAKSIMALXNYE LINEJNO NEZAWISIMYE PODSISTEMY.oPREDELENIE. pUSTX S ⊆ R (WOZMOVNO, S — KONE^NOE PODMNOVESTWO; WOZMOVNO, S = R ). pODSISTEMAnnW S {α , . . . , α } ⊆ S ⊆ R NAZYWAETSQ MAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJ PODSISTEMOJ W S, ESLI:1) {α , . . . , α } — LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMA;2) {α , . . .

, α , β} — LINEJNO ZAWISIMAQ SISTEMA DLQ WSQKOGO β ∈ S (ILI, ^TO \KWIWALENTNO:2 ) l@BOJ \LEMENT β ∈ S QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ \LEMENTOW α , . . . , α ).oPREDELENIE. mAKSIMALXNAQ LINEJNO NEZAWISIMAQ PODSISTEMA W S = R NAZYWAETSQ BAZISOM LINEJNOGOPROSTRANSTWA R .1nr1r1r01rnnpRIMER.ε1 =(1, 0, . . . , 0)...—εn =(0, 0, . . . , 1)lEMMA. l@BU@ LINEJNO NEZAWISIMU@ PODSISTEMUBAZIS W R .nW S ⊆ R MOVNO DOPOLNITX DOMAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJ PODSISTEMY W S ⊆ R .dOKAZATELXSTWO. eSLI {α , . . .

, α } — MAKSIMALXNAQ LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMA, TO WSE DOKAZANO. eSLINET, TO NAJDETSQ \LEMENT β ∈ S TAKOJ, ^TO {α , . . . , α , β = α } — LINEJNO NEZAWISIMAQ PODSISTEMA WS. pOSLE KONE^NOGO ^ISLA [AGOW PROCESS OSTANOWITSQ, TAK KAK UVE L@BYE n + 1 \LEMENTOW W R LINEJNOZAWISIMY. ¤sLEDSTWIQ.1) l@BOJ NENULEWOJ \LEMENT 0 6= α ∈ S DOPOLNQEM DO MAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJ PODSISTEMY W S.2) w S = R BESKONE^NO MNOGO RAZLI^NYH MAKSIMALXNYH LINEJNO NEZAWISIMYH PODSISTEM (BAZISOW).n1n{α1 , . .

. , αr }r1rr+1nnzAME^ANIE O LINEJNOJ WYRAVAEMOSTI SISTEM.bUDEM GOWORITX, ^TO SISTEMA S = {β , . . . , β } LINEJNO WYRAVAETSQ ^EREZ SISTEMU S = {α , . . . , α }, ESLIKAVDYJ\LEMENT β ∈ S , 1 ≤ i ≤ s, QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ \LEMENTOW α , . . . , α SISTEMY S , T.E.P2βi =rj=1i1s1211rr1kij αj .eSLI, K TOMU VE, SISTEMA SLINEJNO WYRAVAETSQ ^EREZ SISTEMU S , γ = P l β , TOPP PP Pγ =l β =(l k )α =( l k )α , TO ESTX SISTEMA S LINEJNO WYRAVAETSQ ^EREZ SISTEMU S .oPREDELENIE. sISTEMY S I S NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, ESLI ONI LINEJNO WYRAVA@TSQ DRUG ^EREZDRUGA.sLEDSTWIQ.1) oTNO[ENIE ”BYTX \KWIWALENTNYMI SISTEMAMI” S ∼ S QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI;2) eSLI \LEMENT γ QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ \LEMENTOW SISTEMY S I S ∼ S , TO γ LINEJNOWYRAVAETSQ ^EREZ \LEMENTY SISTEMY S ;3) l@BAQ (KONE^NAQ) SISTEMA S ⊆ R \KWIWALENTNA SWOEJ MAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJ PODSISTEME;4) l@BYE DWE MAKSIMALXNO NEZAWISIMYE PODSISTEMY W S ⊆ R \KWIWALENTNY.tEOREMA (OSNOWNAQ TEOREMA O LINEJNOJ ZAWISIMOSTI).pUSTX W R (W L@BOM LINEJNOM PROSTRANSTWE) LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMA {α , .

. . , α } LINEJNOWYRAVAETSQ ^EREZ DRUGU@ SISTEMU {β , . . . , β }. tOGDA r ≤ s.dOKAZATELXSTWO. dOPUSTIM PROTIWNOE, PUSTX r > s. w SILU PREDPOLOVENIQ,3ski=1ski iri=1 j=1rki ijj1s= {γ1 , . . . , γt }2ksj=1 i=1ki ijji=1312121122nnn11sα1 =a11 β1 + . . . + a1s βs...αr =ar1 β1 + . . . + ars βs .12ki irlEKCIQ 10http://mmresource.narod.ru/tAK KAK r > s, TO r STROK W PROSTRANSTWE Rs(a11 , . . . , a1s )...(ar1 , . .

. , ars )LINEJNO ZAWISIMY, T.E. NAJDETSQ IH LINEJNAQ KOMBINACIQ S KO\FFICIENTAMI k , . . . , k , k 6= 0,RAWNAQ NULEWOJ STROKE (0, . . . , 0). nO TOGDA I LINEJNAQ KOMBINACIQ \LEMENTOW α , . . . , α S \TIMI VEKO\FFICIENTAMI k , . . . , k , TAKVE RAWNA NUL@, T.E. SISTEMA {α , . .

. , α } LINEJNO ZAWISIMA, ^TO PRIWODITNAS K PROTIWORE^I@. ¤sLEDSTWIQ.1) dWE \KWIWALENTNYE LINEJNO NEZAWISIMYE SISTEMY SODERVAT RAWNOE ^ISLO \LEMENTOW.2) dLQ SISTEMY S ⊆ R L@BYE DWE MAKSIMALXNYE LINEJNO NEZAWISIMYE PODSISTEMY SODERVAT ODINAKOWOE^ISLO \LEMENTOW r(S), NAZYWAEMOE RANGOM SISTEMY S.3) eSLI S = R , TO \TO OZNA^AET, ^TO L@BYE DWA BAZISA W R SOSTOQT IZ ODNOGO I TOGO VE ^ISLA\LEMENTOW, RAWNOGO n, TAK KAK ODIN IZ BAZISOW {ε , . . .

, ε } SODERVIT ROWNO n \LEMENTOW. |TO ^ISLO NAZYWAETSQRAZMERNOSTX@ LINEJNOGO PROSTRANSTWA R (OBOZNA^AETSQ dim R ).iTAK, MY POKAZALI, ^TO dim R = n.uPRAVNENIE. nAJTI: dim M (R); dim{A ∈ M (R)|A = A}; dim{A ∈ M (R)|A = −A}.4) eSLI W R ODNA SISTEMA \LEMENTOW S LINEJNO WYRAVAETSQ ^EREZ DRUGU@ SISTEMU S , TO r(S ) ≤1r11r1irrnnn1nnnnm,nnn∗∗n121r(S2 ).lekciq10.15OKTQBRQ 2001 G.pUSTX A = (a ) ∈ M (R) — PRQMOUGOLXNAQ (m × n)-MATRICA. oPREDELITELX MKWADRATNOJMATRICY, SOSTOQ]EJ IZ \LEMENTOW NA PERESE^ENII k STROK c NOMERAMI i , . . . , i I k STOLBCOW S NOMERAMINAZYWAETSQ MINOROM k-GO PORQDKA MATRICY A.

nAIWYS[IJ PORQDOK NENULEWOGO MINORA MATRICYOBOZNA^IM ^EREZ r(A).tEOREMA (O RANGE MATRICY). sLEDU@]IE ^ETYRE INWARIANTA MATRICY A = (a ) ∈ M (R) SOWPADA@T:1) r(A , . . . , A ) (RANG SISTEMY STROK, W R );b ,...,Ab ) (RANG SISTEMY STOLBCOW, W Rb );2) r(A3) r(A) (NAIWYS[IJ PORQDOK NENULEWOGO MINORA);4) ^ISLO NENULEWYH STROK r W STUPEN^ATOM WIDE Ā MATRICY A.(|TO SOWPADA@]EE ^ISLO NAZYWAETSQ RANGOM MATRICY A I BUDET OBOZNA^ATXSQ W DALXNEJ[EM ^EREZ r(A).)dOKAZATELXSTWO RAZOBX<M NA ^ETYRE LEMMY.lEMMA 1.

Характеристики

Список файлов лекций