Лекции по алгебре (968698), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

pUSTX MATRICA Ae POLU^ENAIZ MATRICY A \LEMENTARNYM PREOBRAZOWANIEM STROK (STOLBCOW)e eSLI Ā — STUPEN^ATAQ FORMA, K KOTOROJ PRIWODITSQ MATRICA A, TO1-GO ILI 2-GO TIPA, TOGDA r(A) = r(A).r(A) = r(Ā).dOKAZATELXSTWO. pROWED<M DLQ PREOBRAZOWANIJ STROK (DLQ STOLBCOW — WS< ANALOGI^NO).sLU^AJ 1. A = A + cA , c ∈ R, i 6= j.

dLQ k > r(A) RASSMOTRIM MINOR W A:e Mf = Mf.fA) eSLI i ∈/ {i , . . . , i }, TO M = M= 0.B) eSLI i, j ∈ {i , . . . , j }, TO Mf = M= 0.W) eSLI i ∈ {i , . . . , i }, j ∈/ {i , . . . , i }, TO RAZLOVIM OPREDELITELX Mf PO i-J STROKE A = A + cA W SUMMUDWUH OPREDELITELEJ: Mf = M + c∆e = 0, TAK KAK M = M= 0, POSKOLXKU k > r(A), OPREDELITELXee OTLI^AETSQ OT MINORA MATRICY∆ W KA^ESTWE i-J STRO^KI IMEET ^ASTX STROKI A , NO j ∈/ {i , . . . , i }, I ∆eePORQDKA k PERESTANOWKOJ DWUH STROK, I PO\TOMU ∆ = 0. iTAK, r(A) ≤ r(A).

pOSKOLXKU, OT A K Ae MOVNOeWERNUTXSQ \LEMENTARNYMI PREOBRAZOWANIQMI STROK, TO r(A) ≤ r(A).¤sLU^AJ 2. A ↔ A , RAZBIRAETSQ ANALOGI^NO (i, j ∈ {i , . . . , i }; i, j ∈/ {i , . . . , i }; i ∈ {i , . . . , i }, j ∈/{i , . . . , i }). ¤lEMMA 2 (O SOHRANENII LINEJNYH SOOTNO[ENIJ MEVDU STOLBCAMI PRI \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIQHSTROK). pUSTX OT MATRICY A K MATRICE A MY PERE[LI \LEMENTARNYMI PREOBRAZOWANIQMI STROK, TOGDAijm,ni1 ,...,ik ;j1 ,...,jk(k×k)j1 , . . . , jk ,A11m1nkijnm,nm0ii1j11i1 ,...,ik ;j1 ,...,jkki1 ,...,ik ;j1 ,...,jkkki1 ,...,ik ;j1 ,...,jk10ikiji1 ,...,ik ;j1 ,...,jkji11j1k013kk1k1klEKCIQ 10http://mmresource.narod.ru/STOLBCY MATRIC A I, A IME@T ODNI I TE VE LINEJNYE SOOTNO[ENIQ, T.

E.0b1 + . . . + kn Abn = 0k1 ATOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDAb0n = 0.b01 + . . . + kn Ak1 AdOKAZATELXSTWO. qSNO, ^TO \LEMENTARNYE PREOBRAZOWANIQ 1-GO I 2-GO TIPA DLQ STROK SOHRANQ@T LINEJNOESOOTNO[ENIE DLQ STOLBCOW. ¤sLEDSTWIE 1. sISTEMA STOLBCOW {Ab , . . . , Ab } MATRICY A LINEJNO ZAWISIMA b(SOOTWETSTWENNO, LINEJNObbNEZAWISIMA, ILI QWLQETSQ MAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJ PODSISTEMOJ W S = {A , . .

. , A } ⊂ R ) TOGDA ITOLXKO TOGDA, KOGDA SOOTWETSTWU@]AQ SISTEMA STOLBCOW (T. E. S TEMI VE NOMERAMI) {Ab , . . . , Ab }) MATRICYA LINEJNO ZAWISIMA (SOOTWETSTWENNO, LINEJNO NEZAWISIMA ILI QWLQETSQ MAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJPODSISTEMOJ W S = {Ab , . . . , Ab } ⊆ Rb ).j1jr100010n1nmn0j10jrmsLEDSTWIE 2. r{Ab , . . . , Ab } = r{Ab , . . . , Ab }.lEMMA 3. eSLI Ā — STUPEN^ATAQ MATRICA, TO NAIWYS[IJ PORQDOK NENULEWOGO MINORA r(Ā) SOWPADAET S010n^ISLOM r NENULEWYH STROK.dOKAZATELXSTWO.1) mINOR r-GO PORQDKA NA PERESE^ENII r NENULEWYH STROK I STOLBCOW, PROHODQ]IH ^EREZ UGOLKI STUPENEK,QWLQETSQ OPREDELITELEM TREUGOLXNOJ MATRICY S NENULEWYMI \LEMENTAMI NA GLAWNOJ DIAGONALI, I PO\TOMUOTLI^EN OT NULQ;2) wSE MINORY, PORQDOK KOTORYH BOLX[E r, NULEWYE, TAK KAK IME@T NULEWU@ STROKU.

¤lEMMA 4. w STUPEN^ATOJ MATRICE Ā RANG SISTEMY STOLBCOW SOWPADAET S ^ISLOM r NENULEWYH STROK(A IMENNO, STOLBCY, PROHODQ]IE ^EREZ UGOLKI STUPENEK, OBRAZU@T MAKSIMALXNU@ LINEJNO NEZAWISIMU@PODSISTEMU STOLBCOW).dOKAZATELXSTWO.1) uKAZANNYE STOLBCY LINEJNO NEZAWISIMY, TAK KAK PROHODQT ^EREZ (r × r)-MATRICU S NENULEWYMOPREDELITELEM.2) l@BOJ STOLBEC STUPEN^ATOJ MATRICY QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ UKAZANNYH. ¤sLEDSTWIE (ALGORITM NAHOVDENIQ MAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJ PODSISTEMY W SISTEME STOLBCOWPRQMOUGOLXNOJ MATRICY).

oT MATRICY A PEREJD<M K STUPEN^ATOJ MATRICE Ā S POMO]X@ \LEMENTARNYHPREOBRAZOWANIJ STROK 1-GO I 2-GO TIPOW, ZAPOMNIM NOMERA STOLBCOW j , . . . , j , PROHODQ]IH ^EREZ UGOLKISTUPENEK W Ā, W MATRICE A WOZXM<M STOLBCY S \TIMI NOMERAMI Ab , . . . , Ab .1j1dOKAZATELXSTWO TEOREMY.b1 , . . . , Abn )r(AlEMMA2=c̄ , . .

. , Ac̄ )r(A1nlEMMA4=rlEMMA3=r(Ā)lEMMA1=rjrr(A) = r(A∗ )lEMMA2=r(A1 , . . . , An )GDE r(Ac̄ , . . . , Ac̄ ) — RANG STOLBCOW STUPEN^ATOJ MATRICY Ā. ¤tEOREMA. pUSTX A = (a ) ∈ M (R), B = (b ) ∈ M (R). tOGDA1nijm,nijn,rr(AB) ≤ r(A),dOKAZATELXSTWO. pUSTX C = (cij )= AB.StOGDAijI PO\TOMUr(AB) ≤ r(B).= ai1 b1j + . . . + ain bnj ,Ci = ai1 B1 + . .

. + ain Bn ,bi = Ab1 b1j + . . . + Abn bnj ,CT. E. STROKI MATRICY C LINEJNO WYRAVA@TSQ ^EREZ STROKI MATRICY B, STOLBCY MATRICY C LINEJNOWYRAVA@TSQ ^EREZ STOLBCY MATRICY A. pO\TOMU r(C) ≤ r(B) I r(C) ≤ r(A). ¤sLEDSTWIE. pRI UMNOVENII NA KWADRATNU@ MATRICU A S |A| 6= 0 RANG NE MENQETSQ.14lEKCIQ 10http://mmresource.narod.ru/dOKAZATELXSTWO.

tAK KAK |A| 6= 0, TO SU]ESTWUET OBRATNAQ MATRICA A . pO\TOMU−1(BA)A−1 = B = A−1 (AB),I SLEDOWATELXNO,r(B) ≥ r(BA),pO\TOMUr(B) = r(BA),r(B) ≥ r(AB).r(B) = r(AB).¤e]< ODIN KRITERIJ SOWMESTNOSTI (A TAKVE OPREDEL<NNOSTI)SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ (W TERMINAH RANGOW MATRIC).tEOREMA kRONEKERA-kAPELLI.pUSTX (a |b ) — SISTEMAm LINEJNYH URAWNENIJ S n NEIZWESTNYMI, A = (a ) ∈ M (R) — MATRICA ¯¯b¯ .KO\FFICIENTOW; A = A ¯¯¯ ..  — RAS[IRENNAQ MATRICA SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ.bA) sISTEMA LINEJNYH URAWNENIJ SOWMESTNA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA RANG MATRICY KO\FFICIENTOW ARAWEN RANGU RAS[IRENNOJ MATRICY A .B) sISTEMA LINEJNYH URAWNENIJ OPREDEL<NNAQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA r(A) = r(A ) = n.dOKAZATELXSTWO 1.1) iSPOLXZUQ OPREDELENIE RANGA MATRICY S POMO]X@ STOLBCOW, WIDIM, ^TO WSEGDA r(A) ≤ r(A ).2) eSLI (k , . . .

, k ) — RE[ENIE, TOijiijm,n10m0001nb1b1 + . . . + kn Abn =  ..  ,k1 A.bmT. E. STOLBCY MATRICY A LINEJNO WYRAVA@TSQ ^EREZ STOLBCY MATRICY A, SLEDOWATELXNO, r(A ) ≤ r(A), IPO\TOMU r(A ) = r(A). 3) pUSTX r(A ) = r(A) = r. tOGDA MAKSIMALXNO LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMA STOLBCOWMATRICY A SODERVIT r STOLBCOW, I PO\TOMU ONAQWLQETSQI MAKSIMALXNO LINEJNO NEZAWISIMOJ SISTEMOJbSTOLBCOW MATRICY A . tAKIM OBRAZOM, STOLBEC  ...  LINEJNO WYRAVAETSQ ^EREZ \TU SISTEMU STOLBCOWbMATRICY A, A PO\TOMU I ^EREZ WSE STOLBCY MATRICY A, T.

E.000010mb1b1 + . . . + kn Abn =  ..  ,k1 A.bmT. E. SU]ESTWUET RE[ENIE (k , . . . , k ) SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ. ¤dOKAZATELXSTWO 2.|LEMENTARNYMI PREOBRAZOWANIQMI PRIWED<M SISTEMU LINEJNYH URAWNENIJ K STUPEN^ATOMU WIDU (RANGIMATRIC NE MENQ@TSQ PRI \TOM). sOWPADENIE RANGOW OZNA^AET OTSUTSTWIE ”\KZOTI^ESKIH” URAWNENIJ WSTUPEN^ATOM WIDE, T. E. SOWMESTNOSTX SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ. ¤dOKAZATELXSTWO KRITERIQ OPREDEL<NNOSTI (W TERMINAH RANGOW).eSLI SISTEMA OPREDELENA, T. E. r(A) = r(A ), TO ONA OPREDELENA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA W STUPEN^ATOMWIDE NET SWOBODNYH NEIZWESTNYH, T. E. r(A) = r(A ) = n. ¤1n00rAZMERNOSTX PROSTRANSTWA RE[ENIJ ODNORODNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ.kAK MY OTMETILI RANEE, SOWOKUPNOSTX RE[ENIJ XODN ODNORODNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJQWLQETSQ LINEJNYM PROSTRANSTWOM.A = (aij ) ∈ Mm,n (R)15lEKCIQ 13http://mmresource.narod.ru/tEOREMA.

eSLI r = r(A) < n, TO dim XODN = n − r (T. E. RAWNO ^ISLU SWOBODNYH NEIZWESTNYH). (eSLIr(A) = n,TO SISTEMA LINEJNYH URAWNENIJ IMEET LI[X NULEWOE RE[ENIE).dOKAZATELXSTWO. dLQ UDOBSTWA ZAPISI, PEREUPORQDO^IM NEIZWESTNYE, ESLI \TO NADO, TAK, ^TOBYGLAWNYH NEIZWESTNYHx ,...,x— (n − r) SWOBODNYH NEIZWESTNYH .pUSTX E = E ∈ M (R) — EDINI^NAQ MATRICA RAZMERA (n − r) × (n − r).

wOZXM<M E< STROKI W KA^ESTWENABOROW ZNA^ENIJ DLQ SWOBODNYH NEIZWESTNYH I DOPOLNIM IH (EDINSTWENNO WOZMOVNYM SPOSOBOM) DO RE[ENIJNA[EJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJx1 , . . . , xrr+1n−r—rnn−rα1 =(c11 , . . . , c1r , 1, 0, . . . , 0)...αn−r =(c(n−r)1 , . . . , c(n−r)r , 0, 0, .

. . , 1).|TA SISTEMA n − r STROK-RE[ENIJ LINEJNO NEZAWISIMA (POSKOLXKU STROKI EDINI^NOJ MATRICY, KONE^NO,LINEJNO NEZAWISIMY). eSLI β = (β , . . . , β , β , . . . , β ) ∈ XODN — PROIZWOLXNOE RE[ENIE, TO γ =β−βα − ... − β α= (γ , . . . , γ, 0, . . . , 0) ∈ XODN .oDNAKO, KONE^NO, (0, . . . , 0, 0, . . . , 0) ∈ XODN , PRI \TOM, γ I NULEWOE RE[ENIE IME@T ODINAKOWYJ NABORZNA^ENIJ DLQ SWOBODNYH NEIZWESTNYH. tAK KAK, ZNA^ENIQ GLAWNYH NEIZWESTNYH ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ POSWOBODNYM, TO γ = 0, T. E.1n−r+1 1n n−r1n−rn−r+1nn−rβ = βn−r+1 α1 + .

. . + βn αn−r .iTAK MY POSTROILI BAZIS {α , . . . , α } LINEJNOGO PROSTRANSTWA RE[ENIJ XODN , PO\TOMU dim XODN =¤zAME^ANIE. eSLI WMESTO STROK EDINI^NOJ MATRICY E DLQ SWOBODNYH NEIZWESTNYH BRATX STROKIWSEWOZMOVNYH MATRIC C ∈ GL (R) (T. E. C ∈ M (R), |C| 6= 0), TO \TOT ALGORITM POZWOLQET POSTROITX WSEBAZISY W XODN .,n − r.1n−rn−rn−rnlekciq13.sMEVNYE KLASSY PO PODGRUPPE.H,29OKTQBRQ 2001 G.pUSTX G — GRUPPA, H — PODGRUPPA GRUPPY G, x ∈ G. lEWYM SMEVNYM KLASSOM GRUPPY G PO PODGRUPPEPOROVD<NNYM \LEMENTOM x, NAZYWAETSQ MNOVESTWOxH = {xh|h ∈ H}.aNALOGI^NO, PRAWYJ SMEVNYJ KLASS OPREDELQETSQ KAKHx = {hx|h ∈ H}.pRIMER 1. pUSTX G = R S OPERACIEJ SLOVENIQ, H = {(a, 0)|a ∈ R}, x = (1, 1).

tOGDA2x + H = {(a, b) ∈ R2 |b = 1}.wSE SMEVNYE KLASSY GRUPPY R PO H — \TO WS< PRQMYE, PARALLELXNYE PRQMOJ H.pRIMER 2. pUSTX G = C = C\{0} — GRUPPA WSEH KOMPLEKSNYH ^ISEL, OTLI^NYH OT NULQ, S OPERACIEJUMNOVENIQ, H = T = {z ∈ C||z| = 1}, x = 1 + i. tOGDA2∗xH = {w ∈ C||w| =√2}.wSE SMEVNYE KLASSY GRUPPY G PO H W \TOM SLU^AE — \TO PODMNOVESTWA, WIDA {w ∈ C||w| = r 6= 0}, T. E.KONCENTRI^ESKIE OKRUVNOSTI POLOVITELXNOGO RADIUSA S CENTROM W NULE.16lEKCIQ 13http://mmresource.narod.ru/pRIMER 3. pUSTX G = S , H = ((1, 2)) =½µ3½µxH =½µHx =132 32 1132 32 11 21 233¶¶ µ1 2,2 1µ= (1, 3),¶µ= (1, 3),1 22 31 23 133¶¾µ1 2, x = (1, 3) =3 2¶3.1tOGDA:¾= (1, 2, 3) ;¶¾3= (1, 3, 2) ;231¶zAME^ANIE. mY WIDIM W \TOM PRIMERE, ^TO xH 6= Hx (T. E. PRAWYJ I LEWYJ SMEVNYE KLASSY,POROVD<NNYE \LEMENTOM x, MOGUT NE SOWPADATX).pRIMER 4.

eSLI x = e — NEJTRALXNYJ \LEMENT GRUPPY G, TO eH = H = He.tEOREMA (SWOJSTWA LEWYH SMEVNYH KLASSOW). pUSTX G — GRUPPA I H — PODGRUPPA GRUPPY G, TOGDA:1) x ∈ xH DLQ WSEH x ∈ G.2) eSLI z ∈ xH, TO zH = xH.3) eSLI xH ∩ yH 6= ∅, TO xH = yH (T. E.

DWA LEWYH SMEVNYH KLASSA LIBO NE PERESEKA@TSQ, LIBO SOWPADA@T).4) rAWNOSILXNY SLEDU@]IE USLOWIQ:A) xH = yH;B) y x ∈ H;W) x y ∈ H.5) eSLI |H| = k < ∞, TO |xH| = k.sLEDSTWIE. gRUPPA G RAZBIWAETSQ NA NEPERESEKA@]IESQ LEWYE SMEVNYE KLASSY PO PODGRUPPE H(RAZBIENIE NA LEWYE SMEVNYE KLASSY).zAME^ANIE. aNALOGI^NOE UTWERVDENIE IMEET MESTO DLQ PRAWYH SMEVNYH KLASSOW.dOKAZATELXSTWO TEOREMY.1) x = xe ∈ xH, TAK KAK e ∈ H.2) eSLI z ∈ xH, TO z = xh , GDE h ∈ H. tOGDA x = zh , GDE h ∈ H.pUSTX h ∈ H. tOGDA:zh = (xh )h = x(h h) ∈ xH, TAK KAK h h ∈ H;xh = (zh )h = z(h h) ∈ zH, TAK KAK h h ∈ H.iTAK, zH ⊆ xH I xH ⊆ zH, T. E.

Характеристики

Список файлов лекций