Главная » Просмотр файлов » Лекции по алгебре

Лекции по алгебре (968698), страница 4

Файл №968698 Лекции по алгебре (Лекции по алгебре) 4 страницаЛекции по алгебре (968698) страница 42019-04-24СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

pUSTX MATRICA Ae POLU^ENAIZ MATRICY A \LEMENTARNYM PREOBRAZOWANIEM STROK (STOLBCOW)e eSLI Ā — STUPEN^ATAQ FORMA, K KOTOROJ PRIWODITSQ MATRICA A, TO1-GO ILI 2-GO TIPA, TOGDA r(A) = r(A).r(A) = r(Ā).dOKAZATELXSTWO. pROWED<M DLQ PREOBRAZOWANIJ STROK (DLQ STOLBCOW — WS< ANALOGI^NO).sLU^AJ 1. A = A + cA , c ∈ R, i 6= j.

dLQ k > r(A) RASSMOTRIM MINOR W A:e Mf = Mf.fA) eSLI i ∈/ {i , . . . , i }, TO M = M= 0.B) eSLI i, j ∈ {i , . . . , j }, TO Mf = M= 0.W) eSLI i ∈ {i , . . . , i }, j ∈/ {i , . . . , i }, TO RAZLOVIM OPREDELITELX Mf PO i-J STROKE A = A + cA W SUMMUDWUH OPREDELITELEJ: Mf = M + c∆e = 0, TAK KAK M = M= 0, POSKOLXKU k > r(A), OPREDELITELXee OTLI^AETSQ OT MINORA MATRICY∆ W KA^ESTWE i-J STRO^KI IMEET ^ASTX STROKI A , NO j ∈/ {i , . . . , i }, I ∆eePORQDKA k PERESTANOWKOJ DWUH STROK, I PO\TOMU ∆ = 0. iTAK, r(A) ≤ r(A).

pOSKOLXKU, OT A K Ae MOVNOeWERNUTXSQ \LEMENTARNYMI PREOBRAZOWANIQMI STROK, TO r(A) ≤ r(A).¤sLU^AJ 2. A ↔ A , RAZBIRAETSQ ANALOGI^NO (i, j ∈ {i , . . . , i }; i, j ∈/ {i , . . . , i }; i ∈ {i , . . . , i }, j ∈/{i , . . . , i }). ¤lEMMA 2 (O SOHRANENII LINEJNYH SOOTNO[ENIJ MEVDU STOLBCAMI PRI \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIQHSTROK). pUSTX OT MATRICY A K MATRICE A MY PERE[LI \LEMENTARNYMI PREOBRAZOWANIQMI STROK, TOGDAijm,ni1 ,...,ik ;j1 ,...,jk(k×k)j1 , . . . , jk ,A11m1nkijnm,nm0ii1j11i1 ,...,ik ;j1 ,...,jkki1 ,...,ik ;j1 ,...,jkkki1 ,...,ik ;j1 ,...,jk10ikiji1 ,...,ik ;j1 ,...,jkji11j1k013kk1k1klEKCIQ 10http://mmresource.narod.ru/STOLBCY MATRIC A I, A IME@T ODNI I TE VE LINEJNYE SOOTNO[ENIQ, T.

E.0b1 + . . . + kn Abn = 0k1 ATOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDAb0n = 0.b01 + . . . + kn Ak1 AdOKAZATELXSTWO. qSNO, ^TO \LEMENTARNYE PREOBRAZOWANIQ 1-GO I 2-GO TIPA DLQ STROK SOHRANQ@T LINEJNOESOOTNO[ENIE DLQ STOLBCOW. ¤sLEDSTWIE 1. sISTEMA STOLBCOW {Ab , . . . , Ab } MATRICY A LINEJNO ZAWISIMA b(SOOTWETSTWENNO, LINEJNObbNEZAWISIMA, ILI QWLQETSQ MAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJ PODSISTEMOJ W S = {A , . .

. , A } ⊂ R ) TOGDA ITOLXKO TOGDA, KOGDA SOOTWETSTWU@]AQ SISTEMA STOLBCOW (T. E. S TEMI VE NOMERAMI) {Ab , . . . , Ab }) MATRICYA LINEJNO ZAWISIMA (SOOTWETSTWENNO, LINEJNO NEZAWISIMA ILI QWLQETSQ MAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJPODSISTEMOJ W S = {Ab , . . . , Ab } ⊆ Rb ).j1jr100010n1nmn0j10jrmsLEDSTWIE 2. r{Ab , . . . , Ab } = r{Ab , . . . , Ab }.lEMMA 3. eSLI Ā — STUPEN^ATAQ MATRICA, TO NAIWYS[IJ PORQDOK NENULEWOGO MINORA r(Ā) SOWPADAET S010n^ISLOM r NENULEWYH STROK.dOKAZATELXSTWO.1) mINOR r-GO PORQDKA NA PERESE^ENII r NENULEWYH STROK I STOLBCOW, PROHODQ]IH ^EREZ UGOLKI STUPENEK,QWLQETSQ OPREDELITELEM TREUGOLXNOJ MATRICY S NENULEWYMI \LEMENTAMI NA GLAWNOJ DIAGONALI, I PO\TOMUOTLI^EN OT NULQ;2) wSE MINORY, PORQDOK KOTORYH BOLX[E r, NULEWYE, TAK KAK IME@T NULEWU@ STROKU.

¤lEMMA 4. w STUPEN^ATOJ MATRICE Ā RANG SISTEMY STOLBCOW SOWPADAET S ^ISLOM r NENULEWYH STROK(A IMENNO, STOLBCY, PROHODQ]IE ^EREZ UGOLKI STUPENEK, OBRAZU@T MAKSIMALXNU@ LINEJNO NEZAWISIMU@PODSISTEMU STOLBCOW).dOKAZATELXSTWO.1) uKAZANNYE STOLBCY LINEJNO NEZAWISIMY, TAK KAK PROHODQT ^EREZ (r × r)-MATRICU S NENULEWYMOPREDELITELEM.2) l@BOJ STOLBEC STUPEN^ATOJ MATRICY QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ UKAZANNYH. ¤sLEDSTWIE (ALGORITM NAHOVDENIQ MAKSIMALXNOJ LINEJNO NEZAWISIMOJ PODSISTEMY W SISTEME STOLBCOWPRQMOUGOLXNOJ MATRICY).

oT MATRICY A PEREJD<M K STUPEN^ATOJ MATRICE Ā S POMO]X@ \LEMENTARNYHPREOBRAZOWANIJ STROK 1-GO I 2-GO TIPOW, ZAPOMNIM NOMERA STOLBCOW j , . . . , j , PROHODQ]IH ^EREZ UGOLKISTUPENEK W Ā, W MATRICE A WOZXM<M STOLBCY S \TIMI NOMERAMI Ab , . . . , Ab .1j1dOKAZATELXSTWO TEOREMY.b1 , . . . , Abn )r(AlEMMA2=c̄ , . .

. , Ac̄ )r(A1nlEMMA4=rlEMMA3=r(Ā)lEMMA1=rjrr(A) = r(A∗ )lEMMA2=r(A1 , . . . , An )GDE r(Ac̄ , . . . , Ac̄ ) — RANG STOLBCOW STUPEN^ATOJ MATRICY Ā. ¤tEOREMA. pUSTX A = (a ) ∈ M (R), B = (b ) ∈ M (R). tOGDA1nijm,nijn,rr(AB) ≤ r(A),dOKAZATELXSTWO. pUSTX C = (cij )= AB.StOGDAijI PO\TOMUr(AB) ≤ r(B).= ai1 b1j + . . . + ain bnj ,Ci = ai1 B1 + . .

. + ain Bn ,bi = Ab1 b1j + . . . + Abn bnj ,CT. E. STROKI MATRICY C LINEJNO WYRAVA@TSQ ^EREZ STROKI MATRICY B, STOLBCY MATRICY C LINEJNOWYRAVA@TSQ ^EREZ STOLBCY MATRICY A. pO\TOMU r(C) ≤ r(B) I r(C) ≤ r(A). ¤sLEDSTWIE. pRI UMNOVENII NA KWADRATNU@ MATRICU A S |A| 6= 0 RANG NE MENQETSQ.14lEKCIQ 10http://mmresource.narod.ru/dOKAZATELXSTWO.

tAK KAK |A| 6= 0, TO SU]ESTWUET OBRATNAQ MATRICA A . pO\TOMU−1(BA)A−1 = B = A−1 (AB),I SLEDOWATELXNO,r(B) ≥ r(BA),pO\TOMUr(B) = r(BA),r(B) ≥ r(AB).r(B) = r(AB).¤e]< ODIN KRITERIJ SOWMESTNOSTI (A TAKVE OPREDEL<NNOSTI)SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ (W TERMINAH RANGOW MATRIC).tEOREMA kRONEKERA-kAPELLI.pUSTX (a |b ) — SISTEMAm LINEJNYH URAWNENIJ S n NEIZWESTNYMI, A = (a ) ∈ M (R) — MATRICA ¯¯b¯ .KO\FFICIENTOW; A = A ¯¯¯ ..  — RAS[IRENNAQ MATRICA SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ.bA) sISTEMA LINEJNYH URAWNENIJ SOWMESTNA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA RANG MATRICY KO\FFICIENTOW ARAWEN RANGU RAS[IRENNOJ MATRICY A .B) sISTEMA LINEJNYH URAWNENIJ OPREDEL<NNAQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA r(A) = r(A ) = n.dOKAZATELXSTWO 1.1) iSPOLXZUQ OPREDELENIE RANGA MATRICY S POMO]X@ STOLBCOW, WIDIM, ^TO WSEGDA r(A) ≤ r(A ).2) eSLI (k , . . .

, k ) — RE[ENIE, TOijiijm,n10m0001nb1b1 + . . . + kn Abn =  ..  ,k1 A.bmT. E. STOLBCY MATRICY A LINEJNO WYRAVA@TSQ ^EREZ STOLBCY MATRICY A, SLEDOWATELXNO, r(A ) ≤ r(A), IPO\TOMU r(A ) = r(A). 3) pUSTX r(A ) = r(A) = r. tOGDA MAKSIMALXNO LINEJNO NEZAWISIMAQ SISTEMA STOLBCOWMATRICY A SODERVIT r STOLBCOW, I PO\TOMU ONAQWLQETSQI MAKSIMALXNO LINEJNO NEZAWISIMOJ SISTEMOJbSTOLBCOW MATRICY A . tAKIM OBRAZOM, STOLBEC  ...  LINEJNO WYRAVAETSQ ^EREZ \TU SISTEMU STOLBCOWbMATRICY A, A PO\TOMU I ^EREZ WSE STOLBCY MATRICY A, T.

E.000010mb1b1 + . . . + kn Abn =  ..  ,k1 A.bmT. E. SU]ESTWUET RE[ENIE (k , . . . , k ) SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ. ¤dOKAZATELXSTWO 2.|LEMENTARNYMI PREOBRAZOWANIQMI PRIWED<M SISTEMU LINEJNYH URAWNENIJ K STUPEN^ATOMU WIDU (RANGIMATRIC NE MENQ@TSQ PRI \TOM). sOWPADENIE RANGOW OZNA^AET OTSUTSTWIE ”\KZOTI^ESKIH” URAWNENIJ WSTUPEN^ATOM WIDE, T. E. SOWMESTNOSTX SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ. ¤dOKAZATELXSTWO KRITERIQ OPREDEL<NNOSTI (W TERMINAH RANGOW).eSLI SISTEMA OPREDELENA, T. E. r(A) = r(A ), TO ONA OPREDELENA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA W STUPEN^ATOMWIDE NET SWOBODNYH NEIZWESTNYH, T. E. r(A) = r(A ) = n. ¤1n00rAZMERNOSTX PROSTRANSTWA RE[ENIJ ODNORODNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ.kAK MY OTMETILI RANEE, SOWOKUPNOSTX RE[ENIJ XODN ODNORODNOJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ S MATRICEJQWLQETSQ LINEJNYM PROSTRANSTWOM.A = (aij ) ∈ Mm,n (R)15lEKCIQ 13http://mmresource.narod.ru/tEOREMA.

eSLI r = r(A) < n, TO dim XODN = n − r (T. E. RAWNO ^ISLU SWOBODNYH NEIZWESTNYH). (eSLIr(A) = n,TO SISTEMA LINEJNYH URAWNENIJ IMEET LI[X NULEWOE RE[ENIE).dOKAZATELXSTWO. dLQ UDOBSTWA ZAPISI, PEREUPORQDO^IM NEIZWESTNYE, ESLI \TO NADO, TAK, ^TOBYGLAWNYH NEIZWESTNYHx ,...,x— (n − r) SWOBODNYH NEIZWESTNYH .pUSTX E = E ∈ M (R) — EDINI^NAQ MATRICA RAZMERA (n − r) × (n − r).

wOZXM<M E< STROKI W KA^ESTWENABOROW ZNA^ENIJ DLQ SWOBODNYH NEIZWESTNYH I DOPOLNIM IH (EDINSTWENNO WOZMOVNYM SPOSOBOM) DO RE[ENIJNA[EJ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJx1 , . . . , xrr+1n−r—rnn−rα1 =(c11 , . . . , c1r , 1, 0, . . . , 0)...αn−r =(c(n−r)1 , . . . , c(n−r)r , 0, 0, .

. . , 1).|TA SISTEMA n − r STROK-RE[ENIJ LINEJNO NEZAWISIMA (POSKOLXKU STROKI EDINI^NOJ MATRICY, KONE^NO,LINEJNO NEZAWISIMY). eSLI β = (β , . . . , β , β , . . . , β ) ∈ XODN — PROIZWOLXNOE RE[ENIE, TO γ =β−βα − ... − β α= (γ , . . . , γ, 0, . . . , 0) ∈ XODN .oDNAKO, KONE^NO, (0, . . . , 0, 0, . . . , 0) ∈ XODN , PRI \TOM, γ I NULEWOE RE[ENIE IME@T ODINAKOWYJ NABORZNA^ENIJ DLQ SWOBODNYH NEIZWESTNYH. tAK KAK, ZNA^ENIQ GLAWNYH NEIZWESTNYH ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ POSWOBODNYM, TO γ = 0, T. E.1n−r+1 1n n−r1n−rn−r+1nn−rβ = βn−r+1 α1 + .

. . + βn αn−r .iTAK MY POSTROILI BAZIS {α , . . . , α } LINEJNOGO PROSTRANSTWA RE[ENIJ XODN , PO\TOMU dim XODN =¤zAME^ANIE. eSLI WMESTO STROK EDINI^NOJ MATRICY E DLQ SWOBODNYH NEIZWESTNYH BRATX STROKIWSEWOZMOVNYH MATRIC C ∈ GL (R) (T. E. C ∈ M (R), |C| 6= 0), TO \TOT ALGORITM POZWOLQET POSTROITX WSEBAZISY W XODN .,n − r.1n−rn−rn−rnlekciq13.sMEVNYE KLASSY PO PODGRUPPE.H,29OKTQBRQ 2001 G.pUSTX G — GRUPPA, H — PODGRUPPA GRUPPY G, x ∈ G. lEWYM SMEVNYM KLASSOM GRUPPY G PO PODGRUPPEPOROVD<NNYM \LEMENTOM x, NAZYWAETSQ MNOVESTWOxH = {xh|h ∈ H}.aNALOGI^NO, PRAWYJ SMEVNYJ KLASS OPREDELQETSQ KAKHx = {hx|h ∈ H}.pRIMER 1. pUSTX G = R S OPERACIEJ SLOVENIQ, H = {(a, 0)|a ∈ R}, x = (1, 1).

tOGDA2x + H = {(a, b) ∈ R2 |b = 1}.wSE SMEVNYE KLASSY GRUPPY R PO H — \TO WS< PRQMYE, PARALLELXNYE PRQMOJ H.pRIMER 2. pUSTX G = C = C\{0} — GRUPPA WSEH KOMPLEKSNYH ^ISEL, OTLI^NYH OT NULQ, S OPERACIEJUMNOVENIQ, H = T = {z ∈ C||z| = 1}, x = 1 + i. tOGDA2∗xH = {w ∈ C||w| =√2}.wSE SMEVNYE KLASSY GRUPPY G PO H W \TOM SLU^AE — \TO PODMNOVESTWA, WIDA {w ∈ C||w| = r 6= 0}, T. E.KONCENTRI^ESKIE OKRUVNOSTI POLOVITELXNOGO RADIUSA S CENTROM W NULE.16lEKCIQ 13http://mmresource.narod.ru/pRIMER 3. pUSTX G = S , H = ((1, 2)) =½µ3½µxH =½µHx =132 32 1132 32 11 21 233¶¶ µ1 2,2 1µ= (1, 3),¶µ= (1, 3),1 22 31 23 133¶¾µ1 2, x = (1, 3) =3 2¶3.1tOGDA:¾= (1, 2, 3) ;¶¾3= (1, 3, 2) ;231¶zAME^ANIE. mY WIDIM W \TOM PRIMERE, ^TO xH 6= Hx (T. E. PRAWYJ I LEWYJ SMEVNYE KLASSY,POROVD<NNYE \LEMENTOM x, MOGUT NE SOWPADATX).pRIMER 4.

eSLI x = e — NEJTRALXNYJ \LEMENT GRUPPY G, TO eH = H = He.tEOREMA (SWOJSTWA LEWYH SMEVNYH KLASSOW). pUSTX G — GRUPPA I H — PODGRUPPA GRUPPY G, TOGDA:1) x ∈ xH DLQ WSEH x ∈ G.2) eSLI z ∈ xH, TO zH = xH.3) eSLI xH ∩ yH 6= ∅, TO xH = yH (T. E.

DWA LEWYH SMEVNYH KLASSA LIBO NE PERESEKA@TSQ, LIBO SOWPADA@T).4) rAWNOSILXNY SLEDU@]IE USLOWIQ:A) xH = yH;B) y x ∈ H;W) x y ∈ H.5) eSLI |H| = k < ∞, TO |xH| = k.sLEDSTWIE. gRUPPA G RAZBIWAETSQ NA NEPERESEKA@]IESQ LEWYE SMEVNYE KLASSY PO PODGRUPPE H(RAZBIENIE NA LEWYE SMEVNYE KLASSY).zAME^ANIE. aNALOGI^NOE UTWERVDENIE IMEET MESTO DLQ PRAWYH SMEVNYH KLASSOW.dOKAZATELXSTWO TEOREMY.1) x = xe ∈ xH, TAK KAK e ∈ H.2) eSLI z ∈ xH, TO z = xh , GDE h ∈ H. tOGDA x = zh , GDE h ∈ H.pUSTX h ∈ H. tOGDA:zh = (xh )h = x(h h) ∈ xH, TAK KAK h h ∈ H;xh = (zh )h = z(h h) ∈ zH, TAK KAK h h ∈ H.iTAK, zH ⊆ xH I xH ⊆ zH, T. E.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
371,32 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее