Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 45
Текст из файла (страница 45)
также будем рассматривать как операторы, действую- щие на векторы ф, х, и по формулам: 304 пРОцсссы пРи ОГРлничвннык кООРдннАтлх [Гл. л Построение функции Я(х, и, н) Приступаем теперь к построеншо скалярной функции Я(х, н, р), играющей основную роль при доказательстве теоремы 22. Зафиксируем з точек Ьь 1 = 1, ..., з (з ) О), на траектории х(1), нк одна из которых не совпадает с концом траектории х(1,); равенства Ь, =х(1Р) и ~~ = ь; при 1Ф 1 возможны. Через й1; обозначим вектор, не касающийся границы и(х) = 0 в точке ~; и направленный во впе области 6; в остальном вектор М, произволен. Так как область 6 в окрестности границы задается неравенством д(х) ~ е:';О, то (цгпб а(ь~), й1,) > О. Пусть Ос,— достаточно малая окрестность точки ~, в Х, замыкание которой не содержит точки х(11); единственное дополнительное требование, накладываемое на Оги заключается в том, что при й; чл х(1,) замыкание окрестности Ос, не содержит также точки х(1д) «Достаточная малость» окрестности характезнруется тем, что скалярное произведение ( а, Ж~))с>0 (15) при х ~ ОСР 1= 1, ..., з.
Через а;(х) обозначим непрерывно диффсрснцирусмую скалярную функцию, удовлетворяющую условиям а;(х) =1 в некоторой окрестности точки ~ь содержащейся в ОСИ а;(х) > 0 при х~ ОСР а;(х) = 0 впс ОС Введем скалярную функцшо ы* Р)=а(*'~-»г,(*)у). (16) где 1л — скалярный параметр. функция Ь(х, р) зависит, очевидно, от выбора элементов а;(х) и Мь участвующих в ее построении. Если 1л ) 0 достаточно мало и точка х, лежащая вблизи границы области 6, удовлетворяет уравнению Ь(х, И) =О, доклзАТГльгтво геоякмы 22 зоб то х ~ О; если, кроме того, х не принадлежит объединеншо окрестностей Ос или если р = О, то х лежит па границе д(х) = О.
Если х нс принадлежит объединению окрестностей Ог., 1= 1, ..., з, или если р = О, то ! й(х, р) = д(х) = О, и утверждение справедливо. Пусть х е= О~,. Тогда Но при достаточно малом р в силу неравенств (15) имеем: следовательно, д(х) ( О В дальнейшем параметр р будет принимать близкие к нулю значения вида ебр, где е имеет тот же смысл, что и в главс 2, а бр — неотрицательное число.
В определение функции й(х, ебр) входят точки ~„..., ~ь функции а((х), ..., а,(х), векторы ()(), ..., Ж, и число бр. Совокупность всех этих величин обозначим теперь через б: 6 =(ь„а((х), й1„бр). (17) Чтобы подчеркнуть зависимость функции !((х, ебр) от эгих величин, мы будем теперь обозначать ее через й( (х, ебр).
Пусть 9( и 62 — два символа вида (!7); запишем их в виде ())=(и(, а((х), б!(, бр), 2 1, ..., з„ $ =(Ь(, а((х), М„бр), 2 =э, + 1, ..., з, +з2. Символ $ ф, а;(х), Лг(, бр), г = 1, ..., з) + зь мы будем называть суммой символов Ф( и ))2 и писать б=б) + Ь2. зов ПРОисссь! пРи ОГРАИ|и!енных кООРдинАТАх |Гл. е Произведение символа $ = Ць а;(х), б||, б|!) на произвольное неотрицательное число Л определим формулой Л11 = (ь|, а! (х), М|, Лби), т. е. точки Ь|, функции а|(х) и векторы б|! остаются прежними, а число б|! умно>кается на Л. Таким образом, если $' и 6" — два символа вида (17), а Л' и Л" — произвольные неотрицательные числа, то определен символ Л'б'+ Л"Ь".
Функцн|о )е(х, и, еб|!), зависящую от выбора символа (17), определим равенством » А'(х, и, еби) ~~~ '," 1'(х, и)= дх =('"',„""', ~(..)) (1б) дд! (», ебн) (т. е. Р(х,и,еб|!) есть производная „' ' в силу уравнения (5)). Из (16) следует, что при б|е = 0 1|(х, и, 0)=( —, !'(х, и)) =р(х, и). (19) Чтобы подчеркнуть зависимость функции !((х, и, еб|!) от выбора символа (17), мы будем обозначать ее также через 1|е.' ГдАе (х, еби) Яе(х, и, ебр) =( ', г(х, и)). (20) Пусть функции о(1), у(1), (е -1(1И где о(1) — допустимое управление, у(!) — непрерывная функция (не обязательно принадлежащая области О), удовлетворяют при некоторых е и б|л системе †'" =1(у, о), д! (21) Р(у, о, ебц) =О. 3 В дальнейц|ем, говоря о решении о(1), у(1) этой системы, мы всегда будем предполагать, что о(1) — допустимое управление, у(1) — непрерывная функция.
локхзхтвльство твогвмы ж 307 Если у(») лежит достаточно близко от х(1) н б(у(10), еб1») = О, то у(1) ~ 6 при любом 1, так как а 3ъ(у(1), еб»») Й(уй о(1), аб»») =О и, следовательно, 7» (у (1), зб»») = — 6 (у (га), еб1») = О. Управление и(1) и траектория х(1) удовлетворяют системе (21) при бр = О. Ниже мы опишем способ, позволяющий по заданной начальной точке вида у(8) =х(8)+абха+о(а), 4„~8~1»1 (22) стандартным образом строить решенис о(1), у(1), О »-,1 ~ 1ь системы (21), имеющее вид о (1) = и (1) + еби (1) + о (е), (23) у(1) =х(Ю)+ ебх(1) + о(е), (24) где би(1) — кусочно-непрерывная, кусочно-гладкая функция, бх(1) — непрерывная функция.
Как уже отмечалось выше, если начальное значение (22) удовлетворяет уравнению б(у(8),ебр) О, то вся траектория у(7), 8 < 1~ 1ь принадлежит замкнутой области б. Те участки траектории, которые не принадлежат объединению окрестностей Осп входящих в определение функции Й(у,еб»»), лежат на границе д(х) О; если же у(1) ен Ос, то у(1) принадлежит открытому ядру области »т. Следует в заключение отметить, что формулой (21) определяется ие одна система, а целое множество систем, зависящих от выбора символа Ь (см.
(17)). Построение решения системы (21) по начальному значению вида (22) Отрезок 10 < 1 < 1, подразделим точками (а = т0 < т» « ... ть < т„+» Ф„ на частичные отрезки т» - 7(»»+ь 1 О, 1, ..., й, до. статочно малой длины. Точки т» выберем так, чтобы ЗОЗ ПРОЦЕССЫ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ КООРДИНАТАХ (ГЛ.
Е среди них содержались все точки разрыва управления и его производной. «Достаточная малость» длин частичных отрезков характеризуется требованием выполнимости всех описанных ниже построений. Будет непосредственно видно, что, в силу регулярности траектории х(1), такой выбор точек деления (естественио, неоднозна чный) возможен. Допустим, что решение О(1), у(1) системы (21), представимое в виде (23), (24) и удовлетворяющее начальному условию (22),уже построено на отрезке 6 (((т;. Продолжим это решение, сохранив непрерывность траектории у(1) и выраженные в равенствах (23), (24) свойства, до точки тс м включительно. Пусть д;(и), 1= 1, ..., з(з ) О),— функции (1) для точки и(т;+ О). В силу (19) и регулярности траектории х(() векторы д)1(х(т), и(т +0), еди) дд,(и(т +0)) дд (и(т,.+О)) ди линейно независимы.
Так как длина отрезка т; «1~, (тГЫ мала, то линейно независимы и векторы д(1(х(0, и(Г), еди) дд1(и(0) дел(и(0) ди ди ' ' ди на полуинтервале т; (1( т;+ь Пусть, например, д)1 ди' ди, ди, ди' ' ди' Ф О. (25) д(1 дд, дя е ди +' ди'+' дит ы де а~(о, г) = ~7~(о) — у~(и(1)), (= 1, ..., з, однозначно «азрешима относительно з + 1 переменных О', ...
от+ ь в' =е)'(у, о'+', ..., с', еб)А, 1), 1=1, ..., г-) 1, (27] Следовательно, вблизи системы значений ть и(т;+О), «(т~), еб(А = 0 система уравнений Я(у, о, вб(А) о,(в, 1) = ... =О,(о, ()=О, (26) докхзхтельство теогкмы и где »1*, » = 1, ..., з + 1, — непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов. Подставив в (27) вместо о"+з, ..., о" соответственно и»»»(!)...,, и'(!), получим а+ 1 функций 0»(у, ебр, !), » = 1, ..., з+ 1. Определим теперь вектор-функцию п(у, з81», !) равенством п(у, еб!», !) = = (д~ (у ебр, !), . ° ., 0 + (У, ебр, !), и +~(!), ..., й(!)). (28) Подставим, наконец, в уравнение л» =7(У, о) вместо о функцию (28). Взяв решение полученного таким образом дифференциального уравнения на отрезке т» < ! < т»+» с уже име»ощимся начальным значением у(т»), мы получим желаемое продолжение решения у(!).
Продолжением управления о (!) на полуинтервал т» < ! < т»+» служит функция о (!) = о (у (!), еб!», !), т» < ! < т,+„(29) которая получается подстановкой в (28) вместо у продолжения д(!), т» < ! < т»+». Свойства, выраженные в равенствах (23), (24), проверяются для полученных нами продолжений непосредственно. Допустимость управления (29) следует из равенств (26). В самом деле, для любого»=1, ..., з о;(о(!), !)»!»(о(!)) — »7»(и(!))=О, т.
е »7» (о(!)) = »7» (и (!)) < О, т» < ! < т»+о 3 а м е ч а н и е. Описанная конструкция определяет решение системы (21) по заданному начальному значению (22) неоднозначно, так как выбор точек т„! =1, ..., й, а также выбор з+ 1 переменных о', относительно которых разрешается система (26), неоднозначен. Легко, однако, видеть, что эту неоднозначность можно устранить, зафиксировав для заданного управления и(!) и регулярной траектории х(!), !а < ! < !ь зщ пРОцессы пРН О1РАниче!и!ых кООРдпнАТАх [Гл. ь как точки деления т», так и те э+ 1 переменных (для каждого отрезка т» (1( т»+1), относительно которых разрешается система (26).
После этого решение О(1), у(1) системы (21) можно уже строить стандартным образом по начальному значению (22). Во всех дальнейших построениях этого параграфа, в которых применяется описанная здесь конструкция, упомянутая стандартизация будет предполагаться выполненной. Уравнение в вариациях для системы (21) Пусть О(1), у(1), 8 < 1 < 1ь — решение системы (21), построенное при помощи указанной выше конструкции и удовлетворяющее начальному значению (22).
Мы докажем сейчас, что главная часть приращения у(1) — х(1) или, что то же саь(ое, вектор-функция бх(1), 8 ~ 1 ~ 1н однозначно определяется главной частью начального смещения (т. е. вектором бхэ) и удовлетворяет некоторому линейному дифференциальному уравнению (см. уравнение (35)) с начальным значением бкь. Для этого докажем прежде всего существование такой кусочно-непрерывной, кусочно-гладкой вектор- функции Л (1) (Л (1) ... А,"(1)) определенной на всем отрезке 1ь ь-1 ~ 11 и зависящей только от и(1), х(1) (и, следовательно, не зависящей от вида функции 11), что главная (по з) часть би(1) разности О(1) — и(1) удовлетворяет на отрезке 8 ~ ~ 1 ~ 11 уравнению д)("("'""))+Л()" *' "(1))) „(1) ди д»» Тот факт что Л(1), 1ь б: 1 ~ 11, не зависит не только от в(1), но и от 1(, играет в дальнейшем важную роль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
