Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

Для доказательства существования такой функции предположим, что она уже построена на отрезке 1ь ~, =- 1 « ть 1 ) О, и определим ее на полуинтервале т» «с. .- 1 ==- т;+1. Точки т», 1 = 1, ..., 11, выбраны, как и выше. Пусть на полупнтервале т» (1 = т»+1 система (26) разрешалась, например, относительно первых з+1 пе-' ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 33 $33) ременных о', ..., о'РЛ Тогда для каждого ! = О, 1, ... ..., и на этом полуинтервале определим э+1 непрерывных и гладких функций Л)((), (в(!), р = 1, ..., э, как решение линейной неоднородной системы дУ((х(3), и(0) ! др(х(О, и(3В ( дчэ(и60) +Л~(!), +Х |~в(1) ~,, =0 в 1 а=1, 2, ..., э+1, (31) где д, (и), ..., (),(и) — функции (1) для точки и(т;+ 0).

(Индекс а в уравнениях (31) пробегает э+1 значений, соответствующих номерам переменных и", относительно которых разрешается система (26) на полуинтервале т; ( 1 ( таь~, в рассматриваемом случае а=1, ..., э+1) Система (31) разрешима, так как ее определитель совпадает с определителем (25) при Вб)3 = О. ВектоР-фУнкциЯ (Ла(1), ..., Л" (1)), г;(1(т;+ь и является желаемым продолжением. Независимость функции Л(1) от функции (с следует иэ независимости матрицы коэффициентов н свободных членов систем (31), ! = О, 1, ..., и, от !г. Докажем теперь формулу (30) для полуиптервала т,<(<,+ь Е (Т3.

Функция (23) имеет на полуинтервале т; < ! < Т3+3 вид о (() = и (1) + еби (1) + о (а), где би(() =(б»1 (1), ..., биа м(1), О, ..., 0), так как (32) +Л( + ~," 1~ 'б„а / д(~ др дд диа диа диа ~ а ! а ! д» +Л ди +Х(э ди би=0,1=0, 1, „и. (33) в 1 о 3 (() и 3 (1) ог (!) иг (!) Следовательно, умножая равенство (3 ! ) на биа и суммируя получающиеся соотношения по а= 1, 2, ... ..., э+1, получим: з!2 пРОцессы пРи ОГРК!и!чаппых кООРдинАтАх !Гл. 6 Определив вектор-функции Х,а (1) равенствами т.а (1) = ((иа й . lа (1))* () = 1 перепишем равенства (33) в виде с д1 др ди + Л(1) — +~ А (1) — а~6!!(1) =О.

(34) а ! В силу (26) функция о(1) = и(1) + еди(1) + о(а) удовлетворяет равенствам (а = 1, ..., з): ои(п(1), Г)=<Г (и(1)+ еби(1)+ о(е), 1) = о (и(1), 1)+е~ ' „', би(1))+о(а) =О. Но мы имеем: о,(и(1), 1) =0и(и(1)) — Г! (и(1)) =О, дии(и М), !) дди(и (!)) следовательно, ( "д„, ои(1)) — О, а 1, ..., з. и соотношение (34) сводится к равенству (~ +Л(1),~„) бп(1) =О, т! < 1~(ТГ+„ которое и является доказываемым равенством (30). Подставив выражения (23), (24) в систему (21) и приравняв члены при е, получим: д 6 ) д1(х(!), и(!)) д1(х(!), и(Ф)) д! дх ди др(х(!), и60) др(х(!), и(!)) дд(х(!),и(!),О) Умножив, далее, второе уравнение на Л(1) и сложив его с первым, получим, если учесть равенство (30), следующее соотношение; — 'и! !"!*"'"!~!! Рл!РФ вЂ” '*2'— "Ж)! .„ ~Й ~ дх дх +Л(,) дй( (), (!),О) д!л % зз1 докззлтгльство тгогемы м З1З Полученное линейное неоднородное уравнение отно- сительно бх(1) мы назовем ураенеаиелз е вариациях для системы (21).

Оно зависит только от самой си- стемы (21), и, следовательно, главная часть прираще- ния бх(1) траектории у(1) однозначно определяется начальным значением бхв и значением параметра б1л. По аналогии со сказанным в гл. 2 (стр. 97) мы бу- дем говорить, что векторы бх(1) получаются переносом вектора бх(0) = бхв, заданного в точке х(6), вдоль траектории х(1), н введем для операции переноса, зави- сящей от параметра 61л, обозначение бх (1) = Рь в (бр) бхв. Следующие формулы очевидны: Рк в(б1л) бх = Рз,(бч) Р в(бз) бх, 1)~т )О, Рк в (у бн) у б» = уРь в (бр) б», Рьв(бра + бйз) (бх~ + бхз) = Рьв(бр1) бх, + Р, в(брз) бхз. (36) Обозначим через Т(х(1) ) касательную плоскость границы д(х) = 0 в точке х(1).

Если х(1) не принад- лежит объединению окрестностей Ос,, участвующих в определении символа (17), то, как уже отмечалось, а (х (1) + е бх (1) + о (е)) О и„ следовательно, (л ~~ (х (~)) б (1)) (1 (37) т. е. бх(У) ы Т(»Я). В частности, всегда бх (1,) = Т (» (г,)). При бр = 0 уравнение (35) превращается в одно- родное уравнение ~ (бх) з Р( 11' 111 +А(ю) Р( ( 1' ( 1))б . (38) дх Наряду с этим уравнением рассмотрим сопряженное с ним уравнение д11 Т д)(х(З), а(М)) А др(х(л), и(б)) 3!4 ПРОЦЕССЫ ПРИ ОГРАИИЧГПИЪ|Х КООРДИНАТАХ [ГЛ 6 Ва избежание недоразумений запишем уравнения (38), (39) покоординатно в виде двух систем (и + 1)-го порядка: л л — "(бх')='~~',( а+Л )бх =~~',( а+)~ — „)бха а-О а 1 л /д!' а др~ д! ~ дх' дх! ) а О Если бх(!), ер(!), еа а= ! с 1е, — произвольные непрерывные решения уравнений (38), (39) соответственно, то (р(1), бх(1)) = сопе( (40) (ср.

стр. 98). Фундаментальную систему решений уравнения (38) обозначим через ерв((), ".. ет.((). (а<1<~!, а сопряженную с ней систему решений уравнения (39) — через рв (() „р е(() Имеем: Й'(О, р!(())-б! ° Решение бх(е), О! ( е ( 0м ев (Ое(0а( !» неоднородного уравнения (35), удовлетворяющее начальному условию бх(0,) — Х ~.(0,) б . (0,), а О запишется в виде бх(!) = Ре, в,(бр) бх(0!) = л -Ее".!ее~! ееее- )(е'ел, ле,)фее)е,~. (4!! а-О в, 310 ИРоцессы пРи ОГРАниченных кООРдинАтАх (Гл. ь Итак, дЯ (х (1] и ()) О) ')~ д ~ (()) ( да (х (Ь)) ь) )~ ь 1 Из определения сложения символов (17) непосредственно следует: д дйь (х. и, О) д)1ь, (х, и, О) ди (ьгь,+ь,(х и, 0)) — д + д, (43) Вариации решения и(1),х(1) В гл. 2 был определен сначала класс варьированных управлений — вариаций исходного управления и(1), а затем по заданному управлению, начальному отклонению и действительному числу б( строилась варьированная траектория (см.

$13). Теперь мы уже не сможем независимо от варьированных траекторий определить класс варьированнык управлений и потом при помощи этих последних строить варьированные траектории, тзк как они, вообще говоря, будут вылезать из замкнутой области 6 (поскольку траектория х(1) лежит на границе области). Здесь приходится варьированные управления и соответствующие варьированные траектории строить одновременно, шаг за шагом, чтобы иметь возможность в каждый момент времени предотвратить упомянутую опасность и не выпускать варьироваппую траекторию за пределы области 6. Это оказывается возможным благодаря рег у л я р н о с т и траектории. В соответствии со сказанным мы будем прн строгих формулировках говорить теперь не о вариациях управления или вариациях траектории в отдельности, а о вариациях решения иЯ, х(1), 1ь ~ 1 «= 1ь системы (21). Таким образом, мы построим класс Ф варьированных решений и'(1), х'(1) системы (2!) — вариаций решения и(1), х(1), 1ь ( 1< 1ь системы (2!) при б(ь О.

Строго говоря, каждыи элемент (и'(1), х*(1)) множества Ф будет являться не одним решением системы докхзхтвльство теОРемы м З17 (21), а целым семейством решений, зависящих от положительного бесконечно малого параметра е. Тем не менее мы для удобства часто будем говорить о варьированном решении (и*(1), х'(1)) ~Ф, а также о вариации и'(1) управления и(1) или вариации х'(1) траектории х(1), составляющих данное решение и" (1), х*(1) системы (21).

Отметим здесь же, что множество Ф будет состоять из варьированных решений не одной какой-нибудь конкретной системы (21), а из варьнрованных решений всех систем вида (21), зависящих от выбора функции )с (т. е. символа (17) ). Однако каждый данный элемент (и'(1), х'(1)) енФ будет являться семейством решений одион и той же системы вида (21). Варьированное управление строилось в гл. 2 заданием его параметров (см. опредедепне символа а на стр. !06). Точно так же и теперь каждое варьированное рсшспие и'(1), х'(1) системы (21) (точнее, семейство варьированных решений) будет строиться при помощи задания параметров этого решения. Поэтому мы определим сначала п а р а м е т р ы варьированного решения, а затем опишем способ построения самого решения по заданным параметрам. Эти параметры естественно разбить па две группы; параметры строящегося управления и'(1) и параметры строящейся траектории х'(1).

Обозначения ть ..., ть, '61ь ", Ил', 7ь ..., !ь,' оь .. п~; т, И будут иметь здесь тот же смысл, что и в 5 13. Так как управление и(1) кусочно-непрерывно, то ть ..., та — точки непрерывности управления и(1). Точку т мы всюду в дальнейшем будем считать совпадающей с концевой точкой 1~ отрезка 1, (1( 1~ (это возможно, так как управление и(1) непрерывно в точке 1,).

Далее, в качестве пь ..., од мы разрешим брать только такие точки области управления К что для любого 1 = 1, ..., и точка х(т,) траектории х(1) регулярна относительно точки пь Совокупность параметров т;,И„о;, И, входящих в определение варьированного управления и'(1), мы будем, как и в гл.

2, обозначать символом а. Однако варьнроваипое управление и'(1), соответствующее символу а, мы определим не так, как 3[3 пооцгссы пон оГРА![ичГн[!ых кооодинлтох [Гл. о в гл. 2 (см. стр. 101), а несколько иначе, проводя его построение одновременно с построением соответствующей варьированной траектории х"(1). Это объясняется тем, что при определении варьироваиного управления по способу, принятому в гл. 2, соответствующая варьированная траектория может на отрезках 1! выйти за пределы области [с. В качестве параметров строящейся варьированной траектории х'(1) мы примем величины, входящие в символ 1[ (см.

(17)). Переходим к построению решения й(1), х'(1) системы (21), определяемого символами а, 1[. Это решение будет определено на отрезке 1о =1(1[+еб1. Чтобы подчеркнуть зависимость решения й (1), х'(1) от выбора символов а, ([, мы будем обозначать функции й, х*, когда потребуется, соответственно через и'= и,' (1), х' = х,' (1). Начальное значение х" (1о) траектории х'(1) определим формулой х'(1о) =х(1о)+ ебхо (46) где бх„= — би ~, а„(х (1о)) М .

Характеристики

Список файлов книги