Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Некоторые участки траектории могут лежать па границе области 6, некоторые — внутри области, т. е. в открытом ядре области 6. Точку х(т) траектории, лежащую на границе области 6, назовем точкой стыки, если |ь т |! и существует такое о ) О, что хотя бы один из участков траектории х(!) при т — о(! (т или при т <! (т+о лежит в открытом ядре области 6. В дальнейшем для определенности будем всегда считать, что внутри области 6 лежит участок траектории при т — о ( г (т.
Время т назовем моментом стыка. Мы будем рассматривать траектории с ко н е ч и ы м числом точек стыка, не оговаривая этого особо. условиГ склчкА 333 Траекторию х(1), 1, < ! < 1ь целиком лежащую в замкнутой области 6, назовем регулярной, если рсгулярен всякий ее участок, лежащий на границе д(х) =О области 6. Предположим, что и(1), 10 < ( <1ь — оптимальное управление, а х(1), (е ( 1 < (ь — соответствующая оптимальная регулярная траектория уравнения (5), лежащая целиком в области 6. Пусть х(т) — точка стыка траектории х(1), 10 < 1 < (ь Обозначим через т~ < ! < < тз максимальный интервал отрезка (0 < 1 (1ь содержащий единственный момент стыка т. Таким образом, участок траектории х(!) при ц <1< т лежит в открытом ядре области 6; что же касается участка этой траектории при т < ! < те, то он либо целиком лежит на границе д(х) = О, либо также принадлежит открытому ядру области 6, н тогда х(т) — единственная точка участка х((), т~ < 1< гя, лежащая на границе области 6.
Следовательно, участок х(!), т~ ( ! ( т, удовлетворяет принципу максимума (ср. стр. 295). Соответствующая этому участку ненулевая функция (г)=(фа (г), ту, (г), ..., ф„(г)), т,<1(т, (72) непрсрывпа и удовлетворяет системс уравнений (15) гл. 1. Участок х(1), т < 1 < ть удовлетворяет либо требованиям теоремы 22 (еслн он лежит па границе а(х) = = О), либо принципу максимума (если он лежит внутри ' области 6).
Соответствующая непрерывная ненулевая функция тг+(!)=(ф0 (1), ф, (1), ..., ф (()), т<~(<т, (73) удовлетворяет либо системе (!О), (11) и условиям а)— в) теоремы 22, либо системе (15) гл. 1. Мы будем говорить, что в точке стыка х(т) оптимальной регулярной траектории х(1), (в <1< !ь целиком лежащей в замкнутой области 6, выполняется условие скачка, если существует такой участок х(1), т~ < < ! < гм траектории, что т~ < ! <' тз является м а к с им альиым интервалом отрезка (в<1< !ь содержащим единственный момент стыка т, и если для участков х(1), т~ < г к, г, х(1), т < 1 < тз, определенные Ззв пвоцвссь> пни огвхничвнных коогдинлткх [гл.
ь выше функции (72), (73) можно подобрать таким образом, чтобы выполнялось одно из следующих двух (как легко видеть, не совместных между собой) условий: 1(> (т) = 4> (т) + р пгад д (х (т)), (74) $ (т)+ в агадир(х(т)) =О, р ~0, (75) где р — действительное число. Если участок х((), т ( ( 1 < тм лсжн1 на границе д(х) =О, то условие (74) эквивалентна условию Ф (т)=Ф (т) так как начальное значение >у+(т) функции ф+((), т ( 1 ( ть можно изменять на произвольный всктор вида р угад д(х(т) ) (см. замечание 4 к теореме 22).
Теорема 24 (условие скачка). Пусть регулярная оптимпльная траектория уравнения (5), лежащая в замкнутой области 6, содержит конечное число точек стыка, Тогда в каждой точке стыка выполняется условие скачка. Доказательство. Пусть и(1), (ь< (((ь — оптимальное управление, х(() — соответствующая оптимальная траектория, х(т) — точка стыка, т> ( Г (чав максимальный интервал, содер>кащий единственный момент стыка т. Для определенности считаем, что участок х(1), т~ ( 1 ( т, принадлежит открытому ядру области 6, а участок х(г), т ( Г ( тг, лежит на границе у(х) =О. Точка х(т>) может лежать как внутри области 6, так и на ее границе.
Мы предположим сначала, что х(т~) лежит внутри 6; в этом случае, очевидно, т> — — 1ы Введем уравнение †„, = — 1(в, и) а'в (76) н будем рассматривать его решение на отрсзке 0 ( ( (( т — т, + е60, где 60 — любое действительное число. Очевидно, решением уравнения (76) являются функции в(() =и(т — С), ~(О =х(т — (), 0<с(т — т, + еЬО. (77) Обозначим чсрез А... ь оператор переноса вдоль траектории (77) уравнения (76) (см.
стр. 97). Далее, ЗЗ7 УСЛОВИЕ СКАЧКА 6= А, я,а(Цо)+Лз, (78) который мы будем считать исходящим из точки х(т~). Множество всех векторов (78) образует выпуклый конус К с вершиной в точке х(т~) = ф(т — т,) (ср. стр. 107). Через К* обозначим конус, определенный в ~ 33, рассматривая его для траектории х(1), т ( ! с тв Точка х(тз) является вершиной конуса К*.
Конус К* лежит в касательной плоскости т(х(тз)) гранины д(х) = О, проведенной в точке х(тз), и образован всевозможными векторами вида Ь'= Р„, (б 0(бх(т)) + Лхп, ь (79) (см, формулу (53) ), исходящими из точки х(т2). Важно заметить, что варьированная траектория ~"(!) при достаточно малом а лсжнт вся в замкнутой области 6. В самом деле, если Яе = О, то начальный кусок траектории $" (1) совпадает с траекторией $(1), и потому точки траектории й'(!) при ! ) 0 являются внутренними точками области 6. Если же Яе ~ О, то, в силу выбора вектора бфм наше утверждение следует из леммы (стр. 333).
Траектория х*(1) также лежит в замкнутой области 6 (см. 5 33). Рассмотрим теперь прямое произведение КХК ХХт(х(т,)) (80) конусов К и К'. Это прямое произведение Кк', К* также является выпуклым конусом. Через Л' обозначим содержащийся в Кр,'К* выпуклый конус, образованный всевозможными парами векторов (78), (79), для которых б)е = бх(т). (81) пусть ЛЗ означает вектор смещения (ср. формулу (22) гл. 2) при произвольном варьировании траектории (77) уравнения (7б). 11аконсп, пусть бахав произвольный вектор, исходящий нз точки х(т) и либо направленный внутрь области 6 (пе касательный к гранипе области 6), либо равный нулино.
Тогда определен всктор 333 пгсцессы пгп Оггхничпи!ых еооглннитхх !Гл 6 Далее, обозначим через й выпуклый конус, определенный в ~ !4 и рассматриваемый для траектории я(1), 0 ( с ( т — ть а через й' — конус, определенный в $ 33 и рассматриваемый для траектории х(1), т < 1 < тм Очевидно, что й ~ К, й* с: К", и потому УТ:з й Х х (т2), ~:з х (т,) Х А*. (82) Обозначим через Е луч, выходящий из х(тс) и направленный вдоль отрицательной полуоси х'.
Покажем, что луч х(т1) Х Е, лежащий в прямом произведении КХ Т(х(тс)), не является внутренним лучом конуса,Ж'. Допустим обратное. Тогда совершенно так же, как в $ 34, для любого достаточно малого е ) 0 можно доказать существование таких варьированных траекторий $(Е), О <1< т — т, + еб0, х'(1), т(Е(~тс+ еб1, (83) начальные смещения которых удовлетворяют условию (81), что точка $ (с — т, +еб8), х (с,+ей!) (84) лежит на луче х(т~) Х Ь и не совпадает с его началом х (т~) Х х (тс) . Иначе говоря, В (т — т + Б0) = (т,), х'(те+ еб1)=х(т~)+Л( — 1, О, ..., 0), (85) где Б)0. Определим допустимое управление й(1), т, — еб0 = ( 1 < те+ еб(, и соответствующую траекторию х(1), т~ — еб0 < С ( те+ еб1, уравнения (5) формулами: й(1) =о" (т — 1), х(1) =в (т — Ю) при с, — еб0--Л ~ с, й(1) = и*(1), х(1) =х*(с) при т <1(те+ еб1, где $'(!), х'(Е) — варьированные траектории (83), о'(1), ие(1) — соответствующие им управления. Очевидно, функции й(1), х(1), т~ — еб0 < 1 < те+ еб1, удовлетвовяют уравнению (5), и, в силу условия (81), граектория ХЯ, т~ — Еб0 ~1ч=,та+ Ебс, НЕПрЕрЫВна В ТОЧКЕ т И, УСЛОВИЕ СКАЧКА 339 следовательно, на всем отрезке т1 — ВЬО ( ( ( та+ ВЬЬ Кроме того, согласно (85) имеем: х (т, — ВЬЭ) = х (т,), х(т,+ ВЬ>)=(хе(т.,) — Х, х'(тт), ..., х" (т,)), Х) О.
Но эти неравенства противоречат тому факту, что уча- сток х((), т1 < Г ( тм оптимальной траектории х(Г), (о (1( Г» также оптимален. Итак, луч х((1) к', Т, пе является внутренним лучом для конуса 7Т. Из включения (80) следует, что размер- ность б)тХ конуса Х удовлетворяет неравенству б(ш,л," = 2л+ 1. Следовательно, существует опорная 2п-мерная плос- кость к конусу Х в его вершине х(т1) )(х(тз), лежащая в Х;~ Т(х(тз)) и отделяющая конус Ж' от луча х(т1) Р, Р,' Т..
Обозначим через (Х, Х') исходящий нз точки х(т1) Р', х(тз) вектор, ортогональный к этой плоскости, лежащий в Х;к', Т(х(та)) и направленный таким обра- зом, что луч х(т|) у,' г. лежит В том же замкнутом полу- пространстве,что и вектор (Х,Х'), а конус Л' — в другом. Мы имеем: Х =(Хо~ Х1 ° " ХА) е=Т(х(т,)), (86) ((Х, Х'), (Ь, Ь')) = (Х, Ь) + (Х', Ь ) (О, Х' (О, (87) где векторы Ь, Ь' определяются формулами (78), (79) (прн условии (81)).
Далее, (7, Х")ФО (88) и потому векторы Х, Х' одновременно в нуль не обращаю гся. Обозначим через «(!), 0((: г — ть решение уравнсния гц~ дг ($ (О. о (0) вЬ э удовлетворяющее краевому условию в(т — т ) у„ 340 ПРОЦЕССЫ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ КООРДИНАТАХ [ГЛ 6 где функция ф(!) определена формулой (83), а о(!)— соответствующее управление. Через 1р (!) т ~~!~ ~х2 (90) обозначим решение уравнения д1Г д((х Г!), и(!)) д! дх с краевым условием 2Р(тх) = Х". Используя включения (82), так же как в гл, 2 и в 5 34, получаем: ( — ~ (!), Т (~ (!), е (!))) = М( — Ц!), И), (!)) = = ~~ — Р!), В (Е = О, О < ! < т— У6 (2р+ (!), х (!), и (!)) = т (2р' (!), х (!)) = О, (91) т<(<тх Кроме второго равенства (91), функция ф+(!), т < ! < < Т2, удовлетворяет всем условиям теоремы 22, за искл~очением, быть может, условия б), так как равенство Х* = О н, следовательно, равенство ф+(!) = — О не исключены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
