Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Перейдем теперь от координат ~',..., ~" к координатам а', ..., 5". Пусть при этом функции фо (в, ь, т), фо, бфоо, Но перейдут соответственно в функции ~роо(о,5,т), <р,", Ьро, во. Выпишем функцию <роо(о, 5, т) в явном виде. Обозна. чим через ац(0, а(0)) элементы матрицы, обратной матрице (ап(0, а(0))). Тогда (рэ(В, $, т) = а'в — 2 а (О) л .1 2 а, (О, 2 (01) ЕвЕ2~ и~ ! ЬО( ~ ) л 2 (~).Ъ~Л'(О) ... Лл(О) [ Г е,ве. *вевев2~ до(о, $, т, 21)= 1 1 ч и л ви (О, 2 (ОВ (ч' — 11(ч! — ~(1 4 (т — о) 14н 1т — в)1 5 тз! Вычнслвниг ФункпионАЛА с в овшвм случяв 389 Рассмотрим теперь фупкцнюср,"'(о, ~, т), т.
е. построенную функцию при значении параметра 6, равном о. Функция ф„(о, $, т) уже не удовлетворяет уравнению (149), в коэффициентак которого вместо 8 подставлено о. Однако, очевидно, справедлива следующая Лемма 2'. Функция ср„'"(о, $, т)=ср~(о, $, т)+Ьср" является решением дифференциального уравнения я л с, с-! и имеет начальное значение ср"'(т, $, т) =О.
Как и в ф 41, можно искать специальное решение уравнения (147), имеющее нулевые начальные значения, в виде Ф" (о, $, т) =4~*'(о, $, т) + ср,'(о, в, т), где ср*'(о, $, т) — построенная функция, а ср! — пока неизвестная функция, Подставляя с)с*(о, $, т) в уравнение (147) и учитывая лемму 2', получим для ср',(о, $, т) неоднородное параболическое уравнение и * —;.'+ ~„.и(,~+ ()) —.",+ ! л + ) [Ь' (о, $ + з (о)) — ар (о)[ — = д4с о( — [а'с(о, К+ я(о)) — ац(о, а(о))[ " ., + с,с ! л + ! [Ьс(а(о), ~+а(о)) — я' (о)[, 4- с ! д$с + — в[ср,"(о, Е, тЦ), и начальное условнеср,'(т, $, т) = О. Так как правая часть '390 ОДНА СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 1гл. г этого уравнения имеет при я = 0 полюс порядка лишь и (а не и+!), то мы можем почти буквально повторить все рассуждения и доказать леммы, аналогичные леммам 3, 5, 6.
Лемма, соответствующая лемме 6, формулируется следующим образом: Л с м м а 6'. Функция Ф(а, $, т) =ц'(а, 9, т) + а + ~ дз ~ р (о, $+ г (а), з, т1+ г (з)) ~ ~ [ан (з, Т1 + г (з))— а с( 1 д кь(ать т) — ан (з, г(з))[, + дч'о (з. и т) +~[6( + ()); ()) о + 1 ! дч' да ~Р~( 1 )ЗМ ~1 при [$[ ) гь (га — произвольное положительное число, не зависящее от а) с точностью до величин порядка малости о(е" т) аппраксимирует решение ~р(о, $, т) уравнения (147), удовлетворяющее начальному и граничному условиям (148). Чтобы сформулировать теперь окончательный результат, мы вновь должны перейти к координатам х и у по формулам (32), (33).
Тогда из леммы 6' следует теорема, аналогичная теореме 26 предыдущего параграфа. Мы не будсм здесь выписывать окончательные формулы, так как при желании читатель легко может сделать это сам. ЛИТЕРАТУРА К главе ! 1. Белл м а н Р., Динамическое программирование, ИЛ, 1960. 2. Белл ма н Р., Гл и к сберг И., Гросс О., Некоторые вопросы математической теории процессов управления, ИЛ, 1962. 3. Болтянский В. Г., Гамкрелидзс Р. В., Поитр- яг н Л. С., К теории оптимальных процессов, ДА11 СССР, 110, № 1 (1956), стр.
7 — !О. 4. Болт я иски й В. Г., Принцип максимума в теории оптимальных процессов, ДАП СССР, 119, № 6 (1958), стр. 1070 — 1073. 5. Болтянск на В. Г., Гамкрслидзе Р. В., Понтряг н н Л. С„Теория оптимальных процессов. Принцип максимума, Иза. АН СССР, серия матем., 24, !й 1 (1960), стр. 3 — 42. 6. Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф., Пои т р н гик Л. С., Принцип максимума в теории оптимальных процессов, Первый конгресс ИФАК, !960.
7. Га мк реп и две Р. В., К обшей теории оптимальных процессов, ДАН СССР, 123, № 2 (1958), стр. 223 — 226. 8. Красовский Н. Н., К теории оптимального регулирования, Автоматика и телемеханнка, 18, № 1! (1957), стр. 960 — 970. 9.
П о и т р я г и н Л, С., Оптимальные процессы регулирования, Успехи матем. наук, 14, вып. 1 (1959), стр. 3 — 20. 10. Р оз он о ар Л. И.. Принцип максимума Л, С. Понтрягина в теории оптимальных систем, Автоматика и телемеханика, 20, №№ 10 — 12 (!959), стр. 1320 — 1334, 144! — 1458, 1561 — 1578. К главе 2 См. [41, [5], [71, [91. К главе 3 См. [21, [61, [9]. 11.
Б о л т я н с к и й В. Г., Моделирование линейных оптимальных быстродействий при помоши релейных схем, ДАП СССР, !39, № 2 (1961), стр. 19 — 22. 12. В и з'и а чг (7. %, РЬ. (7. Трез(з, ()ераг!лапен! о( Ма(й., РПпсе1оп (lп!т., 1952. !3. Г ам к реп идзе Р. В., К теории оптимальных процессов в линейных системах, ДА(1 СССР, 116, № 1 (1957), стр. 9 — 11. 14. Га икре пидне Р. В., Теория оптимальных по быстродействню процессов в линейных системах, Изв. АН СССР, серия матем., 22, № 4 (1958), стр. 449 — 474, 392 литнрлтмпл 15. Ь а 5 а! 1е Л Р., ТЬе Типе Ор!!гпа! Сои!го! РгоЫегп, СопгпйпБопз 1о Гпе ТЬеогу о( Ноп!1пеаг Озс)!)а(1опз, У, Рг!псе1оп, 1959. 16. Ф ел ьд б а ум А.
А., О синтезе оптимальных систем с помощью фазового пространства, Автоматика и тслсмсханика, 16, № 2 (!955), стр. !29 в !49. К главе 4 См (5). 17. Болтянский В. Г., Оптимальные процессы с параметрами, Доклады Ак. наук Узб. ССР, № !О (!959), стр. 9 — !3. !8. Болт я п с к ий В. Г., Применение тсории оптимальных процессов к задачам приблигксния функций, Труды Матем. ин-та им. В.
А. Стеклова, 60 (1961), стр, 82 — 9о. !9. Х арах ишв ил и Г. Л., Принцип максимума в теории оптимальных процессов с запаздыванием, ДАН СССР, 136, № 1 (196! ), стр. 39 — 42. К главе 5 20. Бл пс Г. А.. Лекции по вариационному исчисленюо, ИЛ, !950 21. М с 5 Ь а и е, Оп МпКбр!!егз 1ог Ьангапбе РгоЫеш, Ашег. 3опггь Ма! Ь., 61 (1939). стр. 809 — 8! 9. К главе 6 22.
!' ам кр ел идее Р. В., Оптимальные по быстродсиствию процессы при ограниченных фазовых коодринатах, ДАН СССР, 125, № 3 (!959), стр. 475 †4. 23. Г ам к реп идзе Р. В., Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых коорлинатах, Изв. АН СССР, ссрия матем., 24, № 3 (! 960), стр. 315 — 356. 24. Л е р и е р А. Я., О предельном быстродействии систем автоматического управления, Автоматика и телемеханика, 15, № 6 (1954), стр. 46! — 477.
25. Розен м а и Е. А., О предельном быстродействии следящих систем с ограниченным по мощности, моменту и скорости исполнительным элсмсагом, Автоматика и телеыеханика, !9, № 7 (1958), стр. 633 — 653. К главе 7 26. Ко !'ш о н ог о11 А., ОЬег гБе апа1п()асйеп Мербодеп (п бег ьЧапгзсЬс(п)!с)гйе1(згесЬпцпд, Ма!Ь. Апп., 104 (1931), стр. 415 — 458. 27. Мищенко Е. Ф., Понтрягин Л. С., Одна статистичесхаи задача оптимального управления, ДАН СССР, 128, № 5 (!959), отр. 890 — 892. 28. М и щ е н к о Е.
Ф., П о н т р я г и и Л. С., Об одной статистической задаче оптимального управления, Иза. АП СССР, серия матом.. 25 (1961), стр. 477 †4. 29, Колмогоров А. Н., Мищенко Е. Ф., Понтрягин Л. С., Об одной вероятностной задаче оптималыюго управления, ДАН СССР, 145, № 5 (!962), стр. 993 — 995. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
