Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Оценив затем граничное значение этого специального решения, мы увидим, что оно лишь несущественно отличается от единицы. Отсюда мы выведем, 372 олнх стАтнстическАя задача !гл. -. что н само это специальное решение лишь несущественно, с точностью до величин более высокого порядка малости, чем е, отличается от точного решения задачи (36), (37). (38). После этого полученное специальное решение будет упро!цено путем отбрасывания некоторых членов и, таким образом, мы получим приближенное решение задачи (36), (3?), (38). Приступим к осуществлению этой программы.
Будем искать специальное решение уравнения (36), удовлетворяющее нулевому начальному условию, в виде Ф'(и, $, т) = <ро(а, $, т) + <р, (и, $, т), (75) где <р' — только что построенное решение уравнения (73), удовлетворяющее условию (74), а <р! — пока неизвестная функция. Непосредственно проверяется, что функция !р! должна удовлетворять следующему нсоднородному параболическому уравнению: И л — !+ ~ а~~ ! + ~ (Ь! — з" (о)] — ! дп д$! д$~ дй! !,! ! ! ! др„(в, 4, т) = — 7 [Ь' — хп(о)) " '.
' (76) дэ! ! ! и нулевому начальному условию: <р,(т, э, т) = О. (77) Решить задачу (76), (77) во всем пространстве Я с помощью формулы, аналогичной формуле (14) $ 38, оказывается невозможным, так как правая часть уравнения (76) при $ = О имеет полюс порядка и, получающийся при дифференцировании функции п($, е). Однако эту трудность можно обойти, так как мы желаем знать решение !р!(и, $, т) лишь вне шара, ограниченного сферой 5,. Для этого привлечем к рассмотрению функцию !7(а,х,з,у), введенную в $40 и равную плотности вероятности того, что случайная точка Я, находящаяся в момент времени а в положении х, будет в момент з % ен ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКПИОНАЛА Т В ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ 373 находиться в положении у, не встрсчаясь при этом на протяжении времени о (1 ~ з с шаром Хчи радиуса е с центром в управляемой точке г(!), Очевидно, функция е7" (о, $, з, !1)= — !7(о, $+г(о), з, !1+ г(з)) = =-д(о, к, з, у) (78) (см. формулы (32), (33)) является вне сферы 5, фундаментальным решением уравнения (36) и удовлетворяет граничному условию у'(о, 3, з, е1)с(т1! =О, (79) е а решениел! задачи (76), (77) вне сферы 5, будет функция ф,(о, $, т)= л ~дз ~~д" (о.
3, з, е1) ) (Ь! — г"(з)) ! ~сЬ~, (80) дф (е,тьт) ~ л е ! ! где 77, обозначает дополнение в Й к шару, ограничен- ному сферой 5,. Очевидно, что ф",(о, В, т)~ = О. 'е Таким образом, нами получена следующая Л ем ма 3. Функция Ф'(о, $, т) = фа(о, $, т)+ ф'!(о, в, т), (81) где ф,',(о, в, т) определена формулой (65), а ф! (о, $, т)— формулой (80), является реиьением уравнения (36), удовлетворяет нулевому начальному условшо Ф(т,$,т)=- 0 и имеет те же граничные значения на сфере 5„что и функция ф" (о, $, т). Теперь мы докажем, что функция Ф'(о, $,т) вне сферы радиуса та (т,— любое конечное, ие зависящее от е число) аппроксимирует решение задачи (36), (37), (38).
Доказательство этого фзкта базируется на одной важной лемме об оценке решений параболического уравнения. Сформулируем эту лсмму. однх стктнстичвскля злдтчл 1гл г Л ем ь! з 4 (об оценке реп!гни!1параболическогоуравнения). Пусть и(о,ь,т) — решение параболи ского урав- нения — — аи(о, В),. — ~~ Ь'(о, Р—,. = Е (и), (82) !,/ ! ! ! удовлетворян)и1ее условиям и(т, $, т) =О, и(о, Е, т) ~ = и!(о, т), е (83) сопз1 при т — о (е, в(о, т) я (84) 6(е) при т — о > е (б(е)-ьО нри е — 0).
Тогда для решения и(о,$,т) спра- ведлива оценка (и(о, е, т)) (Л($, е)+6(е)т,(о', з, т), (85) где ЛЯ, е) — положительная функция, ил!еюи4ая при всех 151) гь порядок о(е з), а Х(о,$, г) — решение уравнения (82), имеющее при о = т нулевое начальное значение и на сфере Ю, принимающее значение единица. Доказательство леммы 4 не просто и требует значительных вычислений. В них сушественно используются различные оценки для решений уравнения теплопровод- ности ди Г д!и д'и ч — = — ~ —,+ ... + —,~ = — — Ли. (86) до ~ дт~ д'" 1 1 ь!1 д(о„~~, т, Щ= „е 4"-"', (87) (4з гт — сц г Мы начнем с вывода этих оценок.
Фундаментальное решение уравнения (86) обозначим здесь через д(о,$, г,!)): Положим, как и раньше, Г($) ч/$~ + ... +В и введем следующие обозначения: свА(а, ь, т) ~ к (а, ь, т, е)) — „с[4), 1 г" (е!) Г4А(а, $, т) ~ 4[а ~ и(а, $, з, 4)) —,4[4). 1 "(ч) (88) (89) Чтобы интегралы, стоящие в правых частях формул (88) и (89), имели смысл, мы должны, конечно, считать, Чта гс < Л. Нам нужны будут следующие трн неравенства, опепинающие функции свА (а, $, т) и Йд (а, $, т) при условии, что точка 5 принадлежит сФере 5,: соА[а, $, т)[ < —, при д(в) се![а, Е, т)[ з < —, пРИ с е е (90) т — а) е, (91) т — а<в, (92) Здесь С вЂ” константа, не зависящая от е, а б(е)-ь 0 прп е — О.
Вывод неравенств (90), (91). Легко видеть, что свА (а, $', ..., $"„т) = све (а, г($), О, ..., О, т) = (ч'-г е)4+[че\е+ ... +[ч")' Г ! 4!е-и г' (ч) [444 [т — а)) (93) Положим т)! = г (В) хс, т — а = гз ($) 1. (94) Тогда из (93) мы получим: ге 1 ге (г,) (95) е 4И ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛА ! В ЧАГТНОМ СЛУЧАЕ З7Ч 376 ОднА стАтистическАЯ зАДАчА (гл 7 где (х' — г)г+(хг)г+ ...+(х")г ! Г(1) = „~ е ",~ („) г(х.
(96) (4я() Очевидно, что $'(!) — 1 при 1- О. (97) Г (() = О 1 (98) Действительно, если в (96) сделать замену 21/! У' =х', то получим: где К вЂ” константа, откуда и следует соотношение (98). Итак, мы имеем: ЫА(В, Е, т)< — (г~ ) (100) Но легко видеть, что имеют место оценки )х(, ) <й(в) при т — а>в, (101) )г ( —," ) < сопя! при т — о<в, Одновре- откуда и вытекагот неравенства (90) н (9!) меино мы видели, что всегда еА(о Ь т) < гг (й) (102) Для дальнейшего еще отметим, что при больших значениях ! функция (г(1) имеет следующую асимптотику; Ф Н) ВЫЧИСЛЕНИР ФУНКЦИОНАЛА Х В ЧАСТНОМ СЛУЧАВ 377 Вывод пер а ненств а (92).
Легко видеть, что ьеь(п, $', ..., эе, т) =Юг(о, г($), О, ..., О, т) = ы)г (чг)г+ +1, аР г" (ч) 14гг (г — а)! Полагая т1г = г(К)хг, з — о = гг(К)1, мы получим отсгода е" Ко ЯА(о, $, т)= „,, ~ Г(1)Ж, (103) е где à — функция, определенная формулой (96). В част- ности, г-а е' ье(п, $, т) ! =,~, ~ Ъ'Яг(1. е е о Учитывая теперь асимптотику функции $'(1) при больгних значениях 1 (см.
формулу (98)), мы сразу получаем неравенства е-а е' $'(1)г(1<С!!па! при Й=2, (105) о (104) ~ Р(1) (!<С о прп (г > 2, (106) из которых и следует нсранепство (92). Одновременно мы видели, что Яг(П, Э, т) < еь~, ~-'(1) ' 3 а меча ние к неравенствам (90), (91), (92). Пусть р'(п,$,т,г1) — фундаментальное рсгненне уравне- ния (82). Исходя из этого фундаментального решения, определим функции ыА(о,$,т) и ЙА(п,$,т) по формулам ~гл. ". ОДНА СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА (88), (89) (поставив в них вместо и функцию р').
Оказывается, что для определенных таким образом функций «м(а,5,т) и ЙА(а,с,т) справедливы те же неравенства (90), (91), (92). Действительно, в теории параболических уравнений доказывается, что прн ограничениях на коэффициенты уравнения (82), которые мы предположили выполненными в 9 39, фундаментальное решение уравнения (82) мажорируется фундаментальным решением некоторого уравнения теплопроводности, т. е. для него имеет место неравенство С р'(а, $, т, т!) < „е (т — а) 2 где у — константа. Эта оценка обеспечивает возможность буквального повторения вычислений, проведенных при выводе неравенств (90), (91), (92).
После этих предварительных оценок мы можем осуществить До к аз а тел ьств о л ем м ы 4. Положим ш (а, т) = й, (а, т) + ш,(а, т), (108) где функции й1(а,т) н гет(а,т) определены следующим образом: т — а~е, т — а>е; т — а<а, т — а>е. при при при при (109) (П0) (1 ! !) й(а, $, т) =й, (а, Г, т) + й,(а, $, т). Далее, на основании теоремы о максимальном значении решений параболических уравнений решение и(о, е, т) задачи (82), (83) оценивается следующим образом: и (а, $, т) ~; и (а, В, т). (112) Решения уравнения (82), имеющие нулевые начальные значения и краевые значения ш(а,т), Ы1(а,т), Уе(о,т), обозначим соответственно через й(а, $, т), й,(а, $, т), йе(о, я, т). Очевидно, что 5 и! вычисление егнкционхлх т а частном случхе 379 Оценим отдельно функпии й~(о,а,т) и йт(о,ь,т). Для йт(о,а,т) оценка сразу получается из той жс теоремы о максимальном значении решения параболического уравнения: й,(о, $, т)~б(е)!((о, $, т).
(113) Для получения оценки функции й~(о,а,т) требуются более тонкие рассуждения. Прежде всего оценим й~(о,я,т) при т — о( а. Положим у(9) =К (114) где К = сопя() С. Будем теперь искать решение уравнения (82) с начальными значениями, равными у(9), н с граничным значением на сфере 5„равным К, в виде о (о, В, т) = т 5) + но (о, К, т). (115) Тогда для функции ое(а,В,т) сразу же получаем неод- нородное уравнение — 0+ ~ оп(о', $) —,. + ~' Ь~(о, $) —.= 1 [у($)], ь/ ! ю ! (116) которое мы должны решить при нулевых начальных н прн нулевых граничных условиях. Такое решение, как мы знаем, вне сферы 5, дается формулой оа(о, $, т)= — ~ Нз ~ п(о, $, з, т))~[у(т!)[дт).
(117) а Л Итак, о (а, $, т) = у ($) — ~ и'з ~ д (а, $, з, Ч) Е [у (т!)[ Нг1, (1 18) а ае Очевидно, что и, (о„$, т) (о(о, 5, г). (119) зао ОДНА СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА !Гл 7 (121) Принимая во внимание неравенство (102), отсюда сразу же получаем: е 1,<Л,С ! в.-е-.1(з, (124) еа '($) где О < ч < 1. Следовательно, при т — о < а имеет место оценка 1, (М (125) га™ (З) т. е. (126) 1, = о (е" -') Нам остается, гаким образом, оценить лишь функцию о(о,~,т) при )$) ) га.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
