Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Сначала заметим, что ~ 1.(у а)~ < а. — ~ "' + ' ~, (12б) где Ль Ла — достаточно большие константы, Далее, будем иметь в виду следующее неравенство: е)(а, я, т, 7!) <, (а, я, т, 7)). Тогда из формулы (118) получаем: о(а, в, т)(~у($)+ ~ е(з ~ р(а, 5, з, 7))а'-' „' е(7!+ ' '.-+ (Ч) а ае + ~ 7(з ~ р(о, $, з, т!) е"-' — 'т(7). (122) 7" (Ч) а ае Интегралы, стоящие в правой части нсравенсчва (122), обозначим соответственно через 1ь 1ь Сшеним отдельно величины 1, и 1,. Мы имеем: 1, < Л,е" '-'-' ~ Нз ~ р (о, ~, з, 7!), с(7! < ! 7 "™ (Ч) ( Л;е" 7-'~а7„-,(а, $, з)еЬ. (123)' а 5 4!1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛА Х В ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ 381 при 1$! ) ГФ Аналогично получим: Т,=о(е"->) (127) прн !з! = го Таким оГ>разом.
функция о(о,Я,т), мажорирующая на границе сферы 5, решение й>(о,~,т) прн !$1) гь и прн т — о ( е, имеет порядок о(В" — '). Отсюда следует, что и само решение й>(о,5,т) прн т — о ~ е и при '!з!) ЛВ имеет порядок о(В"-г). Несколько изменяя предыдущее построение, можно легко убедиться в том, что такая же оценка для и,(о,5,т) имеет место н при т — о ) е. Лемма доказана. Теперь мы можем доказать, что функция Ф*(о,$,т), фигурирующая в формулировке леммы 3, вне сферы любого конечного радиуса с точностью до величин порядка о(В" г) аппраксимирует решение задачи (36), (37), (38). Иными словами, справедлива следующая Лемм а 6.
Пусть >р(о, $,т) — решение уравнения (36), удовлетворяющее начальным и гранйчным условиям (37), (38), а Ф*(о, й, т) — решение уравнения (36), определенное в лемме 3. Тогда для любого гм не зависящего от е, при ~$~ » гь решение Ф*(о,$,т) с точностью до величин порядка о(е" ') аппраксимирует решение ф(о, ~, т): ф(О, К, т) — Ф'(О, $, т)=О(аь-В). (!28) Доказательство. Обозначим через и(о,$,т) разность функций ф н Ф'! и (о, 5, т) = >р (с>, $, т) — Ф'(о, А, т).
(129) Функция и(о,ч,т) является решением уравнения (36) и удовлетворяет нулевому начальному условию. Далее, из формулы (80) видно, что граничные значения функции и(о,$,т) на сфере 5, совпадают с граничными значениями функции >р(о, $, т) — ф'(о, $, т). Оценим этн последние. Для этого запишем разность ф — ф" в следу>ощем виде: ф(о, $, т) — ф'(о, $, т) = т) ~а„а а + и ($, В)~й— ~ь (о» ьь т» т)) ~В" ' „, +п(>1, е)1!(т1 (130) [Гл ОднА стАтистичгскАя ЗАдлчл (см. формулу (64)). !раннчные значения слагаемого заключенного в фигурные скобки в правой части формулы (130), равны нулю.
Остается, таким образом, оценить лишь граничные значения второго слагаемого на сфере 5, (в координатах $', ..., ал — на эллипсоиде 8,). Так как для потенциала двойного слоя й(Е, а) имеет место оценка (48), то, очевидно, мы получим: ~ а (о. $, , Ч) ~ "-' „ , , + й (Ч, )~ (Ч ~ ( ~(А~ел ~(о -г(о 5 т)+ Авил — !сОл —,(а в„т), (131) где А~ и Аз — посгоянные, а ы„з и о в — функции, определенные формулой (88) соответственно при й = =' и — 2, й = л — 1. Используя теперь неравенства (90) и (91), сразу же получаем, что граничные значения второго слагаемого в формуле (130), а следовательно, и граничные значения ш(о,т) функции и(п,~,т) удовлетворяют условиям леммы 4. Следовательно, на основании леммы 4 об оценке решений параболического уравнения мы можем заключить, что соотношение (128) справедливо. Лемма 5, таким образом, доказана.
Теперь пам остается лишь упростить полученное приближешюе решение Ф*(о,$,т), отбросив в нем величины, имеющие при ~$~ ) гв порядок о(а"-') Чтобы сделать это, выпишем решение Ф*(о, $,т) в явном виде. Вспоминая формулы (63), (64), (65), (75), (80), мы можем написать: )=~в~'~. )+б~;('~ т)+ л +)" ~'1*( ~» т!)Х(Ь' — к())Х в л в Х вЂ” !(вуо(з, Ч, т)+Ай~о)й~. (132) Прежде всего ясно, что при )с! ) гв (133) бра(о, $, т) =о(ал-'), % ЕН ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛА Т В ЧАСТНОМ СЛУЧАЙ 383 Несколько сложнее упрощается интеграл, стоящий в правой части формулы (132).
Во-первых, можно отбросить член е е даер„(е, Ч, т) 71 = ~ е(е ~ д" (о, 5, з, т() ~ [о1 — г' (е)] а яе 1 1 (134) В самом деле, 1ддр (е, ТЬ т) 1Е1а)е ~е'1,, 1.. е1 ~~ее-*" а1~ ' ', ' )ее. дче (135) Так как, далее, д АФ„' — < е" %(т() дн (136) (см. (65), (66)), где )т(т() в нуле имеет полюс порядка пе более чем и, то ) 71 1 < е"-' ' ~ е(е ~ р'(о, ч, а, т() ) 1Ь1 — г'(а)1( )т1(т1) ~е(11, а я е 1 где Р1(т() имеет теперь в пуле полюс порядка не более чем и — т (О ( т !). Таким образом, 71 =о(е" е).
(137) Нам остается теперь лишь упростить член е е 7,=~д ~ ('(С,Ь,Й, П),'Г(д — ге'(з)) — ' а(., 1, ) (Ч. а я е е 1 (138) Докажем, что при )$ ~ ) га е е 7 =~1(з ~ р'(о, Ь, а, т)) ~(Ь1 — г" (е)) —,. ЧЪ(е, 11, ) дт)+ а 1 ! + о (ее-е) (139) однт стктнстнчкскАя задАчА !Гл 7 Мы имеем: л 72=~да~, "(о, $, з, Ч) ~" (6' — а!'(з)1 . ре(з, Ч, т)6Ч+ дч! л ! л + 1 6 1 1р — 4 ) ~. !6' — ' (з)1 ~ (., Ч, ) 6Ч+ л а ! ! дт!' е л + ~ сЬ ~ р*(ет, В, з, т!) ~ 16! — г! (з)1 —,ере(з, т1, )г(Ч, яе ! ! (!4О) Последнее слагаемое в формуле (140) имеет, очевидно, порядок о(е 2).
Обозначим второе слагаемое через и(о, $, т). Функция и(о, 5, т) при о = т имеет нулевые начальные значения и является в области !т, решением уравнения (36). Так как !"' < ал -2Я (т!) (141) дт!7 где Й(Ч) имеет полюс порядка не более чем п — 1, то граничные значения функции и(о,5,т) оцениваются сле- дуютцим образом: !и(а 6 т)!!~-~ < 6(а"-'11.-~(о, $, т)1,., (142) е е Из неравенств (142), (92) мы ааключаем, что !и(о„5, т) !! < 6(е), где 6(е)- О при е-т О.
Следовательно, во!оду в обла- сти Р, ! и(о, $, т) ! < 6(е) ер(о, $, т). (143) Лемма 5 и полученные неравенства (133), (137), (143) доказыватот следующую лемму. Л ем ма 6. Функция Ф(о, $, т) = ере(о., 5, т)+ л +~ттз~р (о, 6, з, Ч)~ 16е — г! (з)) ""тч'т т!Ч, (144) 0 ! ! А «п Вычисление ФункциОБАлА х В чкстном случАВ 888 где ~рь(о,а, с) определена формулой (71), при ~$)) гь (ть — произвольное полоясительное не зависящее от е число) с точностью до величин порядка малости о(е" ') аппраксимирует решение Ф (о, Е, т) уравнения (36), удовлетворяющее начальному и граничному условиям (37), (38).
Чтобы подвести итог всем рассмотрениям настоящего параграфа, остается вновь возвратиться к старым координатам х и у согласно формулам (32), (33). 1!роведя соответствующие замены, мы можем на основании леммы 6 сформулировать следующее предложение. Теор ем а 26. Пусть двиясение управляемой точки г, имеющей в начальный момент времени о положение г(о), описьчвиется систелгой дифференциальных уравнений (15), Пусть, далее, в пространстве )г движется также случайная точка Я, плотность вероятности перехода которой р(о,х, з, у) удовлетворяет параболическому дифференциальному уривнению (29) с постоянными козффициентами.
Обозначим через Х, шар радиуса е с центром в точке г, движущийся вместе с г. Обознаш м через ф (о, х, т) вероятность того, что случайная точка Я, находящаяся в момент о в положении х, на отрезке времени о ( (( т будет «накрыта» шаром Х,. Тогда вероятность ф(о, х, т), являющаяся функционалом над управлением и(!), представляется при !х — г(о) )) гь, где гь — произвольное положительное число, в следующем виде: ф (о, х, т) = В" ' [Фь (в, х, т) + Ф, (в, х, т)! + о (В" ').
(! 45) Чтобы выписать явные выражения для функций ~рь(о, х, т) и ф1(о, х, т), введем обозначения: а) Х', )Р,..., Х" — собственные значения матрицьс (аи). б) (ап) — матрииа, обратная матрице (ац); в) 6 (о, х, г, т)) = д (в, х — г (в), т, т)) = 2 а,,(п~ — х' + е (в))(п) — х)+г~(е)) ех 4 (т — в) 1 [4л (т — о)]е г) сс — константа, не зависящая от системы уравнений (15) и определенная формулой (61). (ГЛ. 7 ОДНА СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА Тогда Ф(а, х,т)— с л а, (лг — г'(а]) (х( — гс (ЯВ~ с, с ! о,г/Лгхг Ал ~ С-' (Ог Хг Хг Ч), 7 С(Ч [х "Г г л гЬс(а, х, т)= ~ с(з~Р(а, х, з, У) ~~ [Ьс — з'(з)] " ',' с(У.
л Таким образом, теорема 26 дает явное выражение для главного члена вероятности ф(о,х,т) и, следовательно, для главного члена функционала (16). 2 42. Вычисление функционала Х в общем случае Здесь вероятность ф(а, х, т), а следовательно, и функционал (16) будут вычислены в случае, когда коэффициенты уравнения Колмогорова зависят от а н х. Предполагается, что этн коэффициенты удовлетворяют условиям, указанным в з 39 Вычисления я значительной степени воспроизводят схему, изложенную в $ 41. Мы часто будем отсылать читателя к этому параграфу, проводя подробно лишь существенно новые построения.
Итак, нужно решить уравнение (25) при условиях г)(т, х, х)=0, ф(а, х, т) 1„з =1. (146) Как и в 2 41, с помощью замен (32), (33), (35) приведем эту задачу к задаче решения уравнения л — + ~~ а с ($+ г (о), а) — + д47 д$( с, с-с + ~ (Ь( К + г (а), о) — з' (а)) — ~ = 0 (147) г ! д$' 4 4г! вычисление еункционклк > и оьшгм слтчкв ззт при условиях >р(т, -, с)=0, ф(о, $, т)т з =1. (148) е Перепишем уравнение (!47) в несколько иной форме: л и — и+ ~~> ап!о, г(о)) — + ~~~ [ан(о, $+г(о))— >, ! ! !. >-! л — ин(о, г(о))) —.
+ ~ [(>>(о, в+г(о)) — г' (о)) — =О. »-! д""! д1> ! ! 1!аншм первым шагом Г>удет конструкция некоторого специального решения фьь(о, $, т) уравнения >> ~' + ~ а >(6, г(6)) — ~-т-' — = 0 (149) >,/ ! с начальным условием фьа(т, в, т) =О. Чтобы получить это решение, как и в 5 41, перейдем с помо>цью линейного прсобразования от координат $>, ..., ~" к координатам $>, ..., Г, в которых уравнение (!49) примет вид Такое преобразование координат теперь уже зависит от параметра О. То~да сфера 3, перейдет в эллипсоид 3, 7,! (0) (вч!)з + ... + !!~ (0) (Ц~)~ = а~ (150) причем Х>(6), ..., РР(0) — собственные значения матрицы (ам(О,г(0))).
Почти буквальным повторением рассуждений 5 41 доказывается Л е м м а 1', Исчеза>ои(ее в бесконечности решение внешней задачи Дирихле для уравнения д>ь в>в =,+ ... +=,=0 вйп' с граничным условием б(в) (! — —— 1, еде Я, — эллипе саид (150), имеет вид б(В)=е -'- +п(В, е). » — 2 (й) Здесь а(0) — положительная константа, гладко завися- и!ая от параметра 8 и однозначно очределяел>ая разме- ОДНА СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ~гл 7 р ами эллипсоида 5;1 г($) =~/$')2+... +(О")2, а для функциин(О, е) иве производньск верны неравенства (48). Константа и(0) вычисляется по формуле (61), если под 3 понимать эллипсоид Л!(О) (Ч!)2+ ... + Л" (0) (Чл)2=1.
Введем функцию йо(о, Р„т, 21) по формуле (63) н положим и (01 2реэ(О, Ь, т)=ал-2 +Л(Е, З1— о ' ' «-2(ь) — ~ до(в, Ц, т, 21) ~з" ' — + я (т(, а)~дГ1, или иначе Фо Фо+йфо где -*о -о -о фо(а, 5, т)=ел-' „,, — ~Лт (в, й, т, ц)зл 2, г(й. а(01 Г о — и(О) О ' ',л2~2) ) ' ' ' л 211 Очевидно, что функция фоо(о, О, т) является решением уравнения (149) и удовлетворяет начальному условию фо (т, О, т) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
