Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(4О) От координат ~!, ..., $" перейдем специальным линейным преобразованием к координатам К ..., $" 5', ..., 5"= Р, ..., $", (41) в которых уравнение (39) имеет вид дФ' + й~=О, (42) (43) где Ь вЂ” оператор Лапласа. При таком преобразовании координат сфера Я, псрсйдет, очевидно, в эллипсоид Я, с уравнением 7'(У)'+ + Л й")А=а" з 4и вычислвнив 4>гнкцнонллк т в частном слзчхв звз где (44) )!... Ли — собственные значения матрицы (а'!). Докажем сначала следук>щее предложение. Л е м л! а 1.
Исчеза>ои!ее в бесконечности решение внешней задачи Дирихле для уравнения Д2В д20 М===,+ ... += —,=0 (45) дй>2 ' ' ' д~и2 с граничным уел!>виел! на зллипсоиде (43) бф) )зт = 1 (46) имеет вид 6(ь) =е" 2, =+ й ($, е), (47) >и 2 (Х) где 2х — положительная константа, однозначно определяемая размерами зллипсоида (43); тД) — расстояние от точки $ до начала координат; с)>ункг(ия й(~г) при Я~(! удовлетворяет следующим неравенствам: и — 1 ! д е" ! й ($, г) ! < М вЂ”,, ~=,. й ф, г) ~ < М ти (В) дх> ти (Й) (48) 1=1, ..., и (М=сопз!). Функция Д! и — 2) п(х) = 1 р(у) 5, ди (50) Прн доказательстве этой леммы нам понадобится понятие потенциала двойного слоя. Напомним читателю определение этого потенциала, а также некоторые его свойства. Пусть 5 — гладкая замкнутая поверхность, расположенная в и-мерном пространстве, и х = (х',, х")— точка вне поверхности 5, Координаты точек, лежащих на поверхности 5, мы всегда будем обозначать через у', ..., у".
Положим р (х, у) =.)>(х! — у')'+ ... + (х" — у")2. (49) однл стлтистичвскля злллчл !гл т д где —, обозначает производную по внешней нормали дп к поверхности 5, называется потенциалом двойного слоя, создаваемым поверхностью 5 в точке х, а функция р(у) — его плотностью. Легко доказываются следующие свойства потенциала двойного слоя: 1. Всюду вне поверхности 5 функция й(х) является гарлюиической: Ьй(х) =О. (51) 2. Потенциал двойного слоя имеет смысл, если вместо х подставить любую точку у поверхности 5. Величину функции й(х) на поверхности 5 будем обозначать через йь(у).
3. срупкция й(х) пмсст предел при стрсмлепии точки х к любой точке поверхности 5 извне. Если этот предел обозначать через й,(у), то имеет место формула й,(у) = — у(п)!л(у)+ йь(у), у(п) =сонэ( > О. (52) 4. Обозначим через Ф(п, р) угол, составлениьш направлением внешней нормали в произвольной точке у поверхности 5 с радиусом-вектором р, проведенным из этой точки у в точку х. Тогда потенциал двойного слоя может быть представлен в виде 2)~ ( ) солФ Р Все эти свойства непосредственно выводятся из определения потенциала двойного слоя. Доказательства читатель может провести сам или прочесть их в каком- либо учебнике по теории уравнений с частными производными, например, в цитированной книге С. Л.
Соболева. Доказательство леммы !. Будем искать решение уравнения (45) с граничным условием (46) в следующем виде: (53) о($) — вл — 2 + й (э) си-з (т! $ еп вычт!сление Функцт!ОнАлА 2 в чАстнОм случАе зет где а — пока неопределенная константа, а й $) — потенциал двойного слоя, создаваемый эллипсондом (43) в точке $ с неизвестной пока плотностью 12(т!) (через 21 мы обозначаем координаты точек, лежащих на эллипсоиде Я,).
Так как й(ь), в силу свойства 1, является решением уравнения (45), а функция 1 Гл 2 (2) также удовлетворяет уравнению (45) (что легко проверить простым дифференцированием), то функция 5$), определяемая формулой (53), удовлетворяег уравнению (45) . Граничное условие (46) дает нам л-2 тт,(21) = 1 — а (54) для лтобого 21 вел,. Но, в силу свойства 3, по формуле (52) имеем: л — 2 "т' (н) 12 (21) + по 121) = 1 — а . (55) л-2 (-1 Вводя обозначения К (т), 21!) = — „,, т1, т1! ее 5„ ! (П вЂ” 2) Сье !Е у (л) ел '(ч, ч!) ' (56) Ф(т1) = — ~а 2 — 11, получаем неоднородное интегральное уравнение для неизвестной плотности р( П): р(;)= ~Кж.
Ч,) (ц,) ю.+р(й). зе Уравнение (57) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода. Для таких уравнений имеет место Теорема Ф р ед голь ма. Для разрешимости уравнения (57) необходимо и достаточно, чтобы его свободный член был ортогонален ко всем собственньт однл стлтистичвскля злдлчл (гл. ! функииям сопряженного однородного интегрального уравнения (Ч) = ~ К (Ч, Ч) р (Ч ) дб.. (58) — — ') [а „, — 11'чо(Ч)д5,=0 т(п) т (ч) Отсюда "(ч) А (59) а= о — 2 ( 1'о (ч) ) т" '(Ч) В этой формуле величина а, казалось бы, зависит от е.
Зависимость эта, однако, лишь кажущаяся В самом деле, обозначим через Я эллипсоид Л'(Ч')э+Лг(ч)'+ ° . +Л (Ч ) =1 (60) получающийся из эллппсоида Я, увеличением всех осей в — раз. Мы без труда обнаружим, что 1 о 1.,(ч) ню а=- (61) "(ч) а г.-~ (ч) "' в вв Доказательство этой теоремы читатель может найти в уже цитированной книге. Там же доказано, что если ядро К(Ч, Ч1) определяется формулой (56), то уравнение (58) имеет только одну собственную функи,ию.
Обозначим эту функцию через то(Ч) и будем считать ее известной. Условие ортогональности, о котором идет речь в формулировке теоремы Фредгольма, дает возможность определить значение константы х, при котором уравнение (57) разрешимо относительно р(Ч). В самом деле, запишем это условие ортогональности: $411 Вычисление ФункциОнАлА т В чАстном слу4!Ае ВВ9 Таким образом, число с4 не зависит от е и полностью определяется собственными значениями матрицы (ан). В формуле (6!) под уе(41) мы понимаем собственную функцию интегрального уравнения (58), записанного для поверхности 5. Итак, функция 5($), заданная формулой (53) (см.
(47)) при значении а, определяемом из (61), является решением задачи (45), (46). Неравенства (48) могут быть доказаны на основании более подробного изучения свойств потенциала двойного слоя й (е), определяемого формулой (50) . А(оказанная лемма будет использована позже. Сейчас же мы воспользуемся лишь константой а, определенной в холе доказательства леммы. Константу а мы назовем размером эллиасоида (60); размер зллипсонла, таким образом, глалко зависит о1 собственных значений матниць4 (ап). Переходим к построению одного специального решения уравнения (39), удовлетворяюшего начальному условию (40). Обозначим через а(а, л„т, 41) фундаментальное решение а-мерного уравнения теплопроводности (62) Ле 4ТЕН ' ' ' айл' Извсстпо, что зто фунламентальное решенно имеет следуюшее явное выражение: АТ(а, Е, т, т)) = Положим теперь 4Р'(а, Е, т) = Ел-Š—, + Л ($, Е)— о —,.-'1Е) — ~ д(а, Е, т, 41) ~ел е + й(Ч, е)1 414), (64) или иначе ~~',(а, $, т) =ф,(а, Е, т)+ 54р,(а, $, т), (65) одно статистическая злдлчл ~гл 7 370 где фо(о, е, т)=ео-о " — (л д(а $, т й)ео-' а'т~.
(66) Очевидно, что функция ~,"(а, $, т) является решением уравнения (62) и удовлетворяет начальному условию Фо(о, Е т)=0 ири а= (67) Перейдем теперь от координат $', ...,~' к координатам ~', . Пусть при этом функции фо(а, ~, т), Фо(а, ~, т), бяо(а, ~, г), д(а, Ь г, Ч) перейдут соответственно в функции 'ро(а' ь' т)' ро(а' ь' т)' б'ро(а' ь' т)' 4(а' ь' т' '))' а а =б'„. уй= о.
(68) Тогда без труда можно убедиться, что ! и 'л о в=~1 „й'), ь! ! ! л 1о ~ т) — ~1= ~ ~ ага(т~ — я~) (т~~ — $~)~ ь| ! (69) Учтем еще, что йй = ~/л'л' ... л" а ). (70) Нам впоследствии понадобится явное выражение для функции ~ро(а,5,т). Чтобы выписать его, надо знать, как запишутся в координатах $', ..., $" функции г(о) н д (а, 5, т, й). Это легко выяснить. В самом деле, обозначим через ан элементы матрицы, обратной матрице (ан): 44Н вычисление еункнионллА т в чкотиом СЛучкв Зт! Таким образом, функция фе(о, $, т) имеет следующее явное выражение: фе(а, 5, с) =вн-г с-г где у(в, 5, т, т[)= ь [4я(т — в)! г Итак, доказана следующая Л ем м а 2.
Функция ф'„= ф„[а, 5, т)+ бф', определенная дгормулал!и (бб), (71), (72), является решением уравнения вфч г~;- вфо — + ~ а" —.=0 ао Ваго„у !,! 1 (73) и удовлетворяет нулевому начальному условию ф' (т, $, т) = О. (74) Следует отмстить, что функция ф„'(о, $, т) не равна единице на сфере 5,. Однако, как будет выяснено впоследствии, ее граничное значение в некотором смысле лишь несущественно отличается от единицы. Теперь уже все подготовлено для решения уравнения (Зб). Сначала мы найдем некоторое специальное решение уравнения (Зб), удовлетворяющее нулевому начальному условию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
