Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115)
Текст из файла
22.193 п вв УДК 519.6 Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В, Г в м крелн, Е. Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов.— 4.е изд.— Мл «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1983.— 392 с. Книга содержит изложение теории оптимальных процессов, основным стержнем которой является принцип максимума. Этот принцип позволяет решзть рпд задач математического и прикладного характера, которые являются варивционнымн, но не унладываются в классиюскую схему вариациониого исчисления. Между тем к задачам такого неклассического типа гриводят многие вопросы техники.
Книга представляет интерес це только как математическая монография, посвященная изложению новой теории, но и как руководство, ноторым могут пользоваться инх еиер и конструктор. первое издание книги (1961 г.) подвело итог исследованиям, удостоенным Ленинской премии. Лее Семенооич Понтрягин, Влпдимир Гриеорьееич Болтянеяид, Рееаэ Валернаноелч Гомкреяидэе, Везении Фаалоеич Мащенко МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ Реда«тары Н. Х. Раэоо, М. М. Горячая, Техн. Редактор Б. В. Морозова Корректор Н.
Б. Румянцева ИБ № 12870 Подписано к печати !6.12.82. Формат 84Х!089м. Бумага тпп. № 1, Лйеерэтурпэя гарнитура. Высокая печать. Усяази. печ. я. 20,68. Уч.-пзд. я. !8.66. Тираж 10 600 экз. Заказ № млт Цена ! р. 40 к. Издательство «Науки». Главная редакция фпэпиа-нэтемэтнчеспай литературы 117071, Москва. В-71, Льпппсппй проспект, !8.
Пенять с матриц Ордена Трудапага Крэспага Зпэиепп Лчпзпгрэдсхай тэпагрэфпп № 2 нм. Езгеппн Соколовой Союзполиграфпрома прп Гасуиэрстзепнам комитете СССР па делам издательств, паяягрэфпп н иппжнай таргоэян, э тппаграфнп № 2 нзд-ээ «нэупэ», 12!040, москва, шубписхпй пэр., !О. 1702070000 — 038 053(02)-83 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию Глава 3. Линейные оптимальные быстродействия..... !32 $17, Теоремы о числе переключений......... 132 6 !8. Теоремы единственности............ 142 19. Теоремы существования . . . . .
. . . . . . . !47 20. Синтез оптимального управления , , . . . , . . 156 6 2!. Примеры..............,... 161 3 22. Моделирование линейных оптимальных быстродействий при помощи релейиых схем......... 194 $23. Линейные уравнения с переменными коэффициентами...........,...,,... 205 Г л а в а !. Принцип максимума 6 1. Допустимые управлення 6 2. Постановка основной задачи 3. Принцип максимума $4. Обсуждение принципа максимума 6 5.
Примеры. Задача синтеза 6 6. Задача с подвижнымн концами и условия трапсверсальности . $ 7. Принцип максимума для неавтономных систем 8. Задача с закрепленным временем . 9. Связь принципа максимума с методом динамического программирования Гл а за 2. Доказательство принципа максимума 6 !О. Допустимые управления $ ! !. Формулировка принципа максимума для произвольного класса допустимых управлений $ !2. Система уранпений в вариациях и сопряженная ей система .
$ 13. Вариации управлений и траекторвй з !4. Основные леммы 15. Доказательство принципа максимума 16. Вывод условий трапсверсальпостн 13 13 16 23 27 29 53 68 76 80 86 86 91 95 100 106 !14 124 Огллвлениц Г л а в а 1. Разные задачи . 212 $24. Случай функционала, заданного несобственным интегралом , , . . . . .
, . . . 212 6 25. Оптимальные процессы с параметрами . . . 215 $ 26. Применение теории оптимальных процессов к задачам приближения функций , 221 $27. Оптимальные процессы с запазды вянем . . . . . 240 9 28 Одна задача преследования . . . . . . 254 Г л а в а 5. Принцип максимума и париаинонное исчисление . 268 $29. Основная задача вврнациоиного исчисления . . . . 269 6 30. Задача Лагранжа .......... 278 Гл а на 6 Оптимальные процессы прп ограниченных фазовых координатах 288 9 31.
Постановка задачи . . . . . . . . . 290 6 32. Оптимальные траектории, лежашие па границе области 296 9 33. Доказательстно теоремы 22 (основные построения) . 302 6 34. Доказательство теоремы 22 (окончание) . . . . 323 $35. Некоторые обобшевяя . 331 6 36. Условие скачка . . . . . . . . . . . . 333 9 37. гйормулировка основного результата Примеры . . . 345 Г л а в а 7. Одна статистическая задача опыияальпого управления 351 6 38. Понятие о марковском процессе. Дифференциальное уравнение Колмогорова .
352 з 39. Точная постановка статистической задачи . . 357 6 40. Сведение вычисления функционала .! к решеншо краевои задачи для уравнения Колмогорова . 360 $ 41. Вы шслеппе функционала 7 н случае, когда уравнение Колмогорова имеет постоянные коэффппненты 363 6 42. Вычисление функционала 7 в обшем случае . . . 386 Литература . 391 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Физические процессы, имеющие место в технике, как правило у п р а в л я е м ы, т. е. могут осуществляться различными способами в зависимости от воли человека.
В связи с этим возникает вопрос о нахождении наилучшего в том или другом смысле или, как говорят, оптимольного управления процессом. Речь может идти, например, об оптимальности в смысле быстродействия, т. е. о достижении цели процесса за кратчайшее время, о достижении этой цели с минимальной затратой энергии и т. п. Математически сформулированные, эти вопросы являются задачами вар ив цио и ного исчисления, которое и обязано им своим возникновением. В классическом вариапнонном исчислении нет, однако, решения целого ряда вариационных задач, важных для современной техники.
Коллективу авторов этой книги принадлежит излагаемое здесь решение значительного числа та* ких варнационных задач неклассического типа. Решение это в сушественных чертах объединяется одним общим математическим приемом, который мы называем п р и иципом максимума. Следует заметить, что все основные необходимые условия классического вариационного исчисления с обыкновенными производными следуют из принципа максимума (см.
главу 5). Мы рассматриваем здесь такие управляемые процессы, каждый из которых может быть описан системой обыкновенных дифференциальных уравнений — = ~' 1х', ..., х", и', ..., й), 1= 1, ..., и; 11) здесь х',, х" — величины, характеризующие процесс, т. е. фазовые координаты управляемого обьекга, в ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ определяющие его состояние в каждый момент времени 1; ис,..., сс' — параметры управления, определяющие ход процесса, и 1 — время. Для того чтобы ход управляемого процесса (1) был определен на некотором отрезке времени !А(1(1с, достаточно, чтобы на этом отрезке времени были заданы (как функции времени) параметры управления ссс,..., и': ис = ис (1), 1 = 1, ..., г.
(2) Тогда при заданных начальных значениях ( 1 О ) х 0 с ! ~ 1 (3) (4) Требуется отыскать управление й (1), 1=1, ..., г, (6) которое осуществляет переход управляемого объекта из состояния (3) в состояние (5) таким образом, чтобы функционал (4) имел минимальное значение. При этом моменты времени 1о и 1с в рассматриваемой постановке задачи не фиксируется, а требуется только, чтобы в начальный момент времени объект находился в состоянии (3), а в конечный момент — в состоянии (5) и чтобы функционал (4) достигал минимума. (Случай, когда моменты времени Гм 1с фиксированы, также представляет интерес; он легко решение системы (1) определяется однозначно. Подлежащая решению варнационная задача, связанная с управляемым процессом (1), заключается в следующем. Рассматривается интегральный функционал 1 ~~в( с л с т) с, где ~'(хс,..., х", ис,..., и') — заданная функция.
Для каждого управления (2), заданного на некотором отрезке 1З~1(1с, однозначно определяется ход управляемого процесса, и интеграл (4) принимает определенное значение. Допустим, что существуют управления (2), переводящие управляемый объект из заданного начального фазового состояния (3) в предписанное конечное фазовое состояние хс (1,) = х,', с = 1, ..., и. (5) ПРЕЛИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ сводится к задачам, упоминаемым в этом введении, см. $8.) В частном случае, когда функция)'(х',...,х", и',..., й), определяющая функционал (4), тождественно равна единице, функционал (4) имеет величину 1~ — 1м и наша вариационная задача превращается в оптимальную задачу быстродействия. В технических задачах, где параметры управления и',..., и" определяют, например, положение рулей машины, эти параметры пе могут принимать произвольных значений, а подчинены некоторым ограничениям. По самому устройсгву описываемого системой (1) механизма параметр и' может, скажем, принимать лишь значения, удовлетворяющие условию ! и'1(1.
(7) Или, например, если параметры и', из характеризуют векторную величину на плоскости, модуль которой не превосходит единицы, а направление произвольно, то эти параметры подчинены условию (и')»+ (и')з (1. (8) Вообще следует считать, что точка (и',..., и") должна принадлежать некоторому множеству (7 пространства с координатами и', ..., и', причем выбор этого множества 11 отражает специфику объекта (1). Множество (7 («область управления») в математической постановке задачи считается произвольным, но для технических задач особенно важен и характерен случай з а м к н у т о г о множества 0 (ср. неравенства (7), (8)). Это условие означает, что для руля допустимы и его крайние положения (значения и' = ~1 в неравенстве (7) нли граничные точки круга (8)), могущие, в частности, давагь оптимальное управление.
Именно это обстоятельство делает рассматриваемую вариационную задачу неклассической, так как в классическом вариациониом исчислении варьируемые параметры нс могут удовлетворять неравенствам типа (7), (8), включающим и равенства. Особенно ярко демонстрирует некласснческий характер нашей вариационной задачи оптимальная задача по быстродействшо для системы (!), правые части которой являются л и н е й н ы м и функциями относительно пявднсловнв Ко втогому изданию переменных х', ..., х", и', ..., и" с постоянными коэффициентами, а множество У представляет собой за м к путы й выпуклый м но гагр а пни к, например куб, определяемый неравенствами: ) и~ ~ ( 1, у = 1, ..., г.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
