Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(47) а ! Из (46) следует, что при достаточно малом е имеют место соотношения а,(х(1,))=а,(х (1,[)), 1 1, ..., е, (48) причем (при достаточно малом е) ас(х'(1о))=а!(х(1о)) =0 при ьс Фх(1о). а, (х" (1о)) =а! (х(1о)) = 1 при Сс = х(1,). Из (47) и (46) мы получаем: а[.'[о[. ь[-о(*[о[;~, !-ар к..[ [о[[о)= и ! ь"- (х (1о)) = О.
(49) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 22 319 Из способа построения траектории (45) будет непосредственно следовать, что при е-~-0 траектория х'(1) равномерно по 1 стремится к х(1) на отрезкс 12 ( 1 < 1ь Поэтому из (49) следует, что х*(1) целиком лежит в замкнутой области гг (см. стр. 307). Как и в гл. 2 (ср. сгр. (00), мы записываем полуинтервал 1; неравенствами т, + е1; (1(т;+ е(1;+ 512).
По заданному начальному значению (46) построим теперь на отрезке 12 ~'. 1 т1+ е1, (т. е. от начальной точки 12 до левого конца полуинтсрвала 12) при помощи конструкции, описанной на стр. 307 — 3!О, решение системы (2!) вида (23), (24) и положим функции (44), (45) равными этому решению на отрезке 1В ( 1 = т2+ + е!ь Таким образом, и' (1) = и (1) + еби (1) + о (е), х*(1) =х(1) + ебх(1) + о,'е), 1В ~~1 т, + е1,. Следовательно, при 12 ( 1( т~+е1, функция бх(1) является решением уравнения в вариациях (35): бх (1) = Ри и (ба) бх (1,). Мы продолжим теперь решение и" (1), х'(1) с сохранением непрерывности функции х'(1) на полуинтервал 12 (предполагая, что оп пе являстся пустым, т.
е. 512 Ф ~ 0) при помощи следующей конструкции. Точка х(т1) по условию регулярна относительно Оь Обозначим через д,(и), ..., г),(п), з) О, функции (!) для точки оь Тогда мы имеем (обозначая через )т функцию !Тм где $ — символ, входящий в определение строящегося варьированного решения): Я (х (т,), О„О) = д, (е,) = ... = г), (о,) О, и система тг(У е ебр) %(п) ° ° ° г),(е) *0 (50) разрешима относительно некоторых з+ ! координат вектора О вблизи значений х(тг), ан ебр = О, например, 3ОО ПРОЦЕССЫ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ КООРДИНАТАХ [ГЛ Ь относительно первых з+ 1 координат: О2 л (у о +2 ог ебн) 1=1, ..., э+1, 1(~з+1~г, где функции 6', 1=1, ..., з+1, непрерывно дифферснцируемы по всем аргументам. Очевидно, аргумент у в функциях бо может принимать значение х'(т~), так как при е-~0 полуинтервал 12 стягивается к точке т, и х*(т, + а1,) х (г, + а(,) + ебх (т, + а1,) + о (н) — ~ х (т,), Подставив функции 6', 1= 1, ..., а+1, в первое из уравнений системы (21), получим: У ! (у ф (у О2+2 Ог аб12) Ог) и У~(у, о'+2, ..., О", ебр).
(51) Подставим теперь в правую часть вместо параметров О'+', ..., о' соответствующие координаты О',+', точки о~ и возьмем решение полученного дифференциального уравнения с начальным значением х'(т1+ з1~) на полуинтервале 1ь Это решение х'(1) и будет служить иа полуинтервале 12 продолжением решения х*(1), Гоо 1(~т, + е1О Продолжение управления и'(1), 12 ( ! ( Т2+ е1ь на полуинтервал (, зададим формулой й(1) (6!(х'(1), о',+2, ..., 62ц ебц), ... ..., Ф'+'(х'(!), о~+~, ..., о;, ебн), о;+2, ..., О~), 1~ОН Допустимость управления й(1), 1е= (ь и равенство Я(х'(1), й(1), ебр) О, !ее (н очевидны.
Из построения, кроме того, следует, что й(1) — непрерывная на полуинтервале 12 функция, равномерно стремящаяся на этом полуинтервале к значению о, при е-+ О. Если т1 =то — — ... =Т2( г;+ь то мы проделаем аналогичное построение на полуинтервалах ..., 12 (взяв вместо о2 соответственно точки о2, ... ..., о!) и определим таким образом решение и*(1), х'(1) на отрезке 12 (1 ( ть докхзлтельство твогвмы зз зз! Затем функции и*(1)„л*(1) вновь продолжаются на отрезок т; (1 < тгм+а!;+~ (т. е.
вплоть до левого конца нолуинтервала 1лм) при помощи конструкции, изложенной на стр. 307 — 3!О (с уже имеющимся начальным значением х*(т!)) и т. д. вплоть до точки 1ь Таким образом, если б1 ~ О, то семейство варьированных решений и" (1), л" (1), 1, <1(1~+еб1, системы (2 ! ) определено. Пусть 51) О. Решение и*(1), х*(1) уже построено на отрезке 1с (1« '1ь Легко видеть, что точка х*(1~) регулярна относительно точки и" (1~) = й(1~ — 0). В самом дсле, первое условие регулярности следует из того, что для значений 1, близких к 1ь имеем: Я (л* (1), й (1), ебр) = р (х* (1), й (1)) = О, ибо при этих значениях 1 точка х*(1) лежит на границе области 6: д (х*(1)) =- О. Второе и третье условия регулярности следуют из регулярности точки х(1~) относительно и(1~) = и(1~ — 0) и из соотношений х*(1,) -+-л(1~), й (1~) -+- и(1,) при е-+- О. Следовательно, конструкция, при помощи которой мы определили решение и*(1), х*(1) на полуинтсрвалах 1ь позволяет иам непрерывно продолжить функции и*(1), л" (1) за 1~ вплоть до точки 1~ + вб1.
Таким образом, по заданным параметрам а, Ф мы построили семейство варьированных решений системы (2!). Равенство (5!), очевидно, выполняется и при 1~ ( 1-- 1~+ еб1. Отметим, что траектория (45) пе определяется параметрами а, $ однозначно. В самом деле, она зависит от выбора переменных о*', относительно которых разрешается система уравнений (50) во время построения варьированиого решения на полуинтервалах 1ь Аналогичный произвол имеется при продолжении решения на отрезок 1~ ( 1 ~ 1~ +аб1 в случае 51~ О.
Этот произвол легко устранить, зафиксировав для каждой точки и(1) те переменные о*', относительно которых разрешается система (50) вблизи системы значений л(1), и(1), 1/ !! л, с понтрягии и др, зэз ПРОцессы пРи ОГРАничгинык кООРдинАтАх !Гл а еб1» = О, где дь ° °, »1„з ) О,— функции (1) для точки и(1) (В случае, сели 1 — точка разрыва управления и(1), то переменные и», относительно которых разрешается система (50), могут быть различными для точек и(1 — 0) и и(1+ 0).) После принятых соглашений заданием символов а, Ф семейство траекторий (43) однозначно определяется, так как траектории этого семейства строятся на отрезках между полуинтервалами 7» однозначно (см.
замечание на стр. 309). Построение конусов К*, й* Нас будет теперь, как и в гл. 2, интересовать отклонение конца варьированной траектории (45) от точки х(1»). Совершенно так же, как это сделано в гл. 2 ',(стр. 101 — 105), доказывается формула х*(»»+ ебг) = х(1,)+ а»»х + о(е), (52) где вектор»тх* не зависит от з и определяется форму- лой »тх"=Р»,, »,(51»)бхч+1(х(1»), и(1»)) О»+ + ~, лР(51») 17(х(т ), о ) — 7(х(т„), и(т„))151„. (53) Чтобы подчеркнуть зависимость вектора»тх* от выбора символов а, 1», мы будем (если нужно) обозначать этот вектор символом»Лх,', и Из равенства (37), справедливого для близких к 1» значений 1, следует, что Ьх ~ Т (х (1»)). (54) Пусть теперь а', $' и а", Ь" — две пары символов, определяющих варьирование управлений и траекторий, а Л' и Л" — неотрицательные числа.
Положим а = Л'а'+ Л"а", Ь = Л'Ь'+ Л"Ь". Из свойств переноса (см. формулы (Зб) ) и из того % м1 локАЗАтелъство тгоРемы 22 (ОкончАниг1 323 факта, что в формулу (47) величина бр входит линейно, а в формулу (53) величины бхм б(, И„входят линейно, непосредственно вытекает, что Лхд 1=Л Лхд 2 + А Лхд (55) Полученная формула показываст, что всевозможные векторы вида Лх,*, м отложенные и пространстве Х от точки х1Л), образуют выпуклый конус с вершиной в точкс х((,), который мы будем обозначать через К".
Из (54) следует, кроме того, что конус К' лежит в касательной плоскости Т(х(11)) границы д(х) = О, проведенной в точке хй1). Конус К* мы Используем при доказательстве условий скачка (3 36). Для доказательства же теоремы 22 нам потребуется другой выпуклый конус й', содержащийся в К*. Именно, будем рассматривать только такис символы Ф, для которых ни одна из точек ь2 не совпадает с начальной точкой х(1,) траектории х(1). В этом случае из формулы (47) следует, что бха = О, т. е.
что варьпроваиная траектория х'(() начинается в точкс ХИА). Если Р' н Ф" — символы указанного вида (т. е. нс содержащие точки х((в) среди точек ь2), а 2.', А" — неотрицательные числа, то ).Ъ'+) "0" — также символ того же вида. Поэтому, откладывая от точки х((,) всевозможные векторы вида Лх, *н где Ь вЂ” символы, не содержащие точки х((А) среди точек ьь мы получаем выпуклый конус с вершиной и точке х(1,), который будем обозначать через йА.
Так как й" ~ К' с Т (х((1)), то конусы й*, К* не более чем и-мерны. Поэтому внутренностью этих конусов мы будсм называть множество их внутрснних точек по отпошепшо к плоскости Т(х((~)), а внутренними лучами — лучи с вершиной в х((~), принадлежащие этим конусам и содергкащне их внутренние точки. 3 34. Доказательство теоремы 22 (окончание) Для выполнимости всех построений предыдущего параграфа достаточно потребовать, чтобы траектория х(г), Г, ( ( ( гь лежащая на границе области 6, была регулярно й. 11* 3Е4 ПРОЦЕССЫ ПРИ ОГРАНИЧГННЫХ КООРДИНетах 'ГЛ 6 Предположим теперь дополнительно, что и(1) и х(Г) оптимальны.
Обозначим через Т. луч, выходящий нз точки х(1~) и направленный вдоль отрицательной полуоси хе. Очевидно, что ь с: Т(х((1)). Лемм а й Луч А не является внутренним лучоги конуса й*. Дока з а1 ел ьс та о. Обозначим через л проекцюо (например, ортогональную) пространства Х на плоскость Т(х(~,) ). Пусть х'(г) — варьиропаппая траектория, соответствующая символам а, Ь, где Ф вЂ” символ, не содержащий точки х((о) среди точек й; (так что траектория х'(г) начинается в точке х(ге)), Так как х (г, + ей) = х (г,) + е Лх' + о (е), причем х(Г1) еп Т(х((~)), Лх*~ Т(х(~1)), то л (х* (Г~ + ей)) =- х (г, ) + е Лх + о (е).
Следовательно, главные (липейныс по е) части векторов л(х*(1, + ей)) — х((,) и х*((, +ей) — х(Г1) совпадают и потому заполняюг в Т(х((~)) один и тот же конус й". Допустим теперь, что луч С является внутренним лучом конуса й'. Тогда, в силу леммы 3 гл. 2, сушествует такое е ) 0 (которое можно предполагать как угодно малым) и такие символы а, е, что пм соответствует варьированная траектория х'(1), начипаклцаяся в точке х((е) и кончающаяся в такой точке х*(11+ ей), что л(х'((1+ай)) — отличная от х((,) точка луча Е. Отображение л, рассматриваемое па границе д(х) = = О, является, аблпзп точки х(11), взаимно однозначным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
