Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Функция Ж(~р, х, г', е) имеет пид зидА'оА лАГРлнжА % зо1 281 — '= — ~ — +~ — — )р.— ~ — р., 1 д! ~дх да д!) О дх! а ! а ! ! = 1, ..., п. Из условия максимума (теорема 6) получаем почти всюду на отрезке !о = ! ( ! (см. (23)) †' оо ! ! о!! . . о!!, о ° !!!! !=! ( ",„ «- ~ †"". " ; ) о. -о а-! д,' +~ — '; 'Ф,+оЬ+т=К 1=1, ..., — Е а=! Введем обозначения дх' .! / Их — =х, о=1, ...
и, !т.е.— =х), ои ' ' 1, д! д1 д"' д! ди' дх! ди +! дх" +! д~' д!' д ! Во! (26) 1=1„..., и — д Кроме того, нмссм (см. (!8)) при ! = 1, ..., Ф вЂ” — =. б!, ! (~ ! ( Уг, ! — — 1(~1(л -- !о дср' д1! д„и+! д и+! Далее, мы имеем, в силу (!9), д!о д) т-о д! д а (22) дх! дх' диа дх! а ! — = — -+~ — —, 1=1, ..., л — Е (23) д д!'о д( т"о д! д Р" да! дни+! диа да! а-! Следовательно, система уравнений для вспомогательных неизвестных ор! имеет вид (см. теорему 6) ЕАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ сгл о и перепишем соотношения (28), (29) в виде А ~( ~ —,,' Х' —,.г"" . ! д) д1" '! дх дхс,/ с, а ! с=1, ..., и, с о а ! фс(1) =— (3 1) а ! — с)го+с(1о).
1= 1, ..., и — гс. (32) Перепишем теперь соотношения (24) в виде г о ! д,' т"г дса г' дг Ф ггг=о ггг — ~1 — 'о -';с, — с! —.Ф+Ф))о' ~ дх дхс !,дх с, а 1 с'=1, ..., и. (28) Равенства (25) дают (см. (26)) а-! )= 1,...,и — сс. Сравнивая полученные равенства с последними и — й равенствами (28), получим д . о+ С 'Фо + ~ . о+ С ( ~ . » сЬо + Фа) (=) а-! о г=! ~'1 — „.„о с-Х вЂ”,„„,( —,„. с+о.)~ с — ь„гг.!. с, а-! 1 1,..., и — ггс.
(29) Наконец, введем я измеримых и ограниченных на отрезке 1о (1( 1, функций )ос(1), с = 1, ..., гс, равенствами )о (с)= г(' ( ' ()1 ср„+ф,(у), с'=1, ..., уг, (30) дх! зкдлчА лАГРхнжА 283 Сформулируем н докажем теперь правило множителей Лагранжа. Пусть абсолютно непрерывная кривая (1) является экстремалью для интеграла (3) при заданных краевых условиях (2) и заданной системе (18).
Тогда найдутся Рс таких измеримых и ограниченньсх функций Лс(Р), Рь ( ~ Р ~ Рь назьсваемых множителями Лагранжа, и такая постоянная срс ( О, что функция Р(Р, х(1), х (1)) = = — чЯ (1, х (1), х (Р)) + К Я,, (Р) ср" (1, х (1), х (1)) а-! почти всюду на отрезке Р, = Р ( Р! удовлетворяет ра- венствам; с др(С, х(С), х П)) Г дг (с, к(т), х(т)] с(т + со с' = 1,..., и, дхс 3 дхс где сс — постоянные, Доказательство. Определим множители Хс(1), с = 1,, Рс, равенствами (ЗО), а за постоянную примем координату с нулевым индексом вектор-функции с)с(Р). Тогда при ! ( ! - Рс равенства (27), (ЗО), (3!) дают Ф др ГН т- д,т~ д,с —,. = — ф.— +~ Р..— = — ф.—.+Лс= дхс дх! дх! дхс и=! с, Ф =Ф (1) = — ~~ —.фс+ ~ Х вЂ”.(йт+ Ь (Ра)= дс дР дхс дхс,Р с, а-! с с "т!'о + ~ Р"а ) йт+ фс (10) = дР д'1 дхс дх' ) св а ! - .1 —,, й + ф (1.) Г дг" с, ВЬГи !пио>июг !!с~и>с.
!внпг 28И !Гл 5 Далее, из соотношений (32) получаем при 1' = 1, ..., и — й гР д' ~ д1~ ,.„„., = — Ф., „, —,~. ~ч,., „(=) а ! ! Ф д1 д>а а=! ь ! а ! дд ~ дх~+! 1„ Такиз! образом, правило множителей Лагранжа дока- заноо. 1! ер а вен ство В ей ер шт р асса Обозначим через 1 некоторый (А+!)-мерный вектор ! = (1в, 1!, ..., 1ь) и определим 4ункцию Веаер>нт1>асса В'(1, х, х, 8, 1), зависящую от аргументов 1, х = =(х', ..., х"), х=(х', ..., х"), 5=Я>, ..., е') и 1= (1з, 1>, ", 1ь), формулой о (1, х, х, >, () = !! = р(1, х, ~, 1) — р (1, х, х, 1) — ~ (~" — Х") дл <' дх" где Р(1, х, х, 1)= — 1а)(1, х, х)+ ~ 1„!р (1, х, х), :! ! а функп>ш 1(1, х, х), !р! = х! — Р(1, х, х"+', ..., х"), ! = 1,, А,— тс же, что и выше, Для удобства обозначений последние п — й коорди- нат вектора ь будем обозначать через У!, , У"-"; псрвьн >кс й координат будем обозначать по-прежнему че>>ез в=(-....., ';.", У', ..., У" ь), У =-(( ', ..., У" ").
з»пхо! ч»го1ижх х85 Вычислим теперь функцию Вейерштрасса в случае, когда х = х(1) — экстрсмаль задачи Лагранжа при заданных уравнениях (18), х =, 1 = Е. (1) = (»)»о, »гх (г] дг ),! (1), г.„(() ) (см. (30) ), и первые й координат вектора ~ = ф, ..., оо, Р, ..., $'"-") удовлетворяют уравпени5гм ~' — )'(1, х(1), Р', ..., Р"-')=— = — оь! — Г(1, х(1), )г)=0, !'=1, ..., Е (33) Из сделанных допущений следует, что (п — 1г)-мерная вектор-функция п(1) =(о'(1), ..., о" "(1)) =(х'ь'(г), ..., х" (1)) является опгп»»галшгь и упр; !»левием.
соотв тстпующпм траектории х(1) системы (20). »Чы имеем (сг!. (18), (19), (33)): Г(Р, хЯ, х(г), Х1!)) =- — фо) (г, х(Г), х»(У)) =- = — 1Ъ)м(1, - (В, и(()), Г (Г, х (г), е, Л (Э = Далее, ес ги !'= 1, ..., гг, то (см. 30)) д . д) ,. Р(1, х(1), х((), Л(1)) = — )»о —,. +),, =»Рг(1); если жс ! = гг + 1, 1 = 1, ..., и — гг, то (си. (! 9), (23), (25)) — Г(Г, х(1), х(1), Л(1)) = — фо д д! дх.
' ' ' 'дхьы х д» ~ д(о д('» — ~ (»)'о 111+ — »)»о) . = »)»о ~2» ")а дхо о) д,о»! до' Я ! о ! д =: — — ж (»1» (1), х (1)* г ю (1)) +»)»х ! (г) ~гл. з вльихциопнов исчисления Следовательно, л'(1, х (1), х (1), К ~ (У)) = = — ра)ь(, хе у)+ ~р.)ь((, х(~), о(~))— — ~Х~" (~ (~, х (~), ~) — ~ (~, х (~), о (())),у.
а-1 ,>',(~ о (1)) (1Рь+а(() — ъМ(1)>((), х(1), 1, о(/)))= а 1 =>те(>р(1), х(г), ~, о(~)) — уу(>(>((), х((), т, )т)+ +~~', (~ О (С)) — аа>ПЙ>(т), Х(Е), У, О(У)). (34) а-1 Так как х(1) — экстремаль, то почти всюду на отрезке гь ~ 1 =' 11 выполняются равенства (25) и, следовательно, из условия максимума почти для всех г следует неравенство й' ((, х (1), х ((), $, А (т)) ) 6, (35) которое и выра>кает необходимое условие В е й е р ш т р а с с а: если х(г) — экстремаль рассмотренной нами задачи Лагранжа, то найдутся такие ограниченные и измеримь>е функции Л1(1), 1= 1, ..., й, и такая неположительная постоянная 1рм что почти для всех ~ выполняется неравенство (35) при любом выборе вектора я, удовлетворяющего условиям (33).
Итак, в случае, когда область 0 изменения переменных о', ..., о" совпадает со всем пространством Е„ (или является его открытым подмножеством), правило множителей Лагранжа и критерий Вейерштрасса вытекают из принципа максимума. Мы здесь подробно рассмотрели случай вариационной задачи с закрепленными концами. Известные в вариационном исчислении результаты для задач с подвижнымии концами легко выводятся с помощью условий трансверсальности (см.
5 6). Обсудим теперь вопрос о взаимоотноп>енин принципа максимума н критерия Вейерштрасса в случре, ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА когда множество 0 не является открытым. По. лагая *Р' = о (Г) + йо н считая оп бесконечно малой, мы можем на основании формулы Тейлора записать соотношение (34) (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка) в виде Р ) '~~ д~м(ф(Г), х(У), ь Р(О) «а 2 дда дав ж Р-1 Это делает совершенно естественным условие Вейерштрасса д') О во внутренних точках области возможных значений сl (ибо функция Уа, в силу теоремы 8, должна достигать прн о = о(Г) максимума, и, следовательно, о(() является стационарной точкой функции дв).
Однако в граничных точках, где, вообще говоря, дед перестают обращаться в нуль производные — (т. е. до~ в разложении функции Я(ф((), х(Г), й о(() + оо) вблизи зтих точек имеются члены первого порядка малости относительно оо), неотрицательность функции д' (имеющей в т о р о й порядок малости) перестает быть необходимым условием максимальности функции дв". Иными словами, условие Всйерштрасса Ю ) О, вообще говоря, перестает быть справедливым в граничных точках множества У. ГЛАВА 6 ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ ФАЗОВЫХ КООРДИ НАТАХ В оптимальной задаче, изученной в главах 1 —,3, ограничивалась лишь область (,> возможных значений управляющего параметра и, в то время как на возможные значения фазопой точки х не накладывалось никаких ограничений и, следовательно, область возможных значений фазовой точки совпадала со всем фазовым пространством Х, Поэтому не исключен случай, когда при оптимальном (в смысле >л, 1) переходе фазопой точки из начального положения х0 я близкое к нему конечное положение х, траекгорня х(1) сначала сильно отклонится от точек ха, хь а уже потом попадет в положение х>.
Однако часто в инженерной практике такое повеление системы является не только нежелательным, но и недопустим ым. Дело в том, что в ряде случаев мощность допустимых сигналов управления вполне достаточна для перевода системы в состояние, недопустимое с точки зрения безопасности или надежности работы (например, перегрев в моторе, перегрузки и т. д.). В этих случаях приходится ограничивать не только область с>' возможных значений управляющего параметра, но п область возможных значений фазовой точки. Другими словами, разрешается пыбпрать только такие допустимыс управления, дли которых соответствующие фазовые траектории лежат в заданной фиксированной области В, выделенной наперед в и-мерном фазовоч пространстве Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
