Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Так как х,(1') = а, то при 1" достаточно близком к 1' точка х,(1") леж>п внутри тела Х>. Но траектория х,(1), О < 1 ( 1', является опт им ал ь ной траекторией системы (74) (единственной в силу теоремы 12), веду>пей нз начала координат в точку х,(1"), н, так как х (!'"1 — Е, то 1" --. 1!. Следовательно, 1' ( 1!. Обратно, пусть в точку а можно попасть за время 1' (1, при помощи нс орого управления и,((). Рассл>отрим множество г,„>, состоящее пз точек, в которые можно попасть (с по»>о»>,к> какого-либо управления) за время (1! — 1'; олю зхпт~ пееглглопснп 86! оно содержит начало координат в ну! р и себя. Двнгаись из различных точек множества Х,, ! с помощью управления и,(1) в течение времени 1', мы получим множество (г', содержащее точку а внутри себя (рис.
87). В лк~бу!о точку множества К можно попасть из начала за время (1! (двигаясь сначала в течение времени 1! — 1' Рис. 87. внутри мнояссства Хи ьь а затем в течение ввемснн 1' от множества ть ~ к множесчву )Г), т. е. )г'~ Еь Следовательно, а есть в н у т р е н н я я точка множества мь. Вернемся снова к оптимальным управлениям и(1), в(1) и оптимальным траекториям х(1), у(1), упоминаемым в теореме 2! (при упрощающих предположениях (77)), и покажем, что гочка х(Т) лежит и а г р а н и ц е тела мт. В самом деле, допустим, что точка х(Т) является внутренней точкой этого тела.
Тогда в эту точку можно попас~в (двигашь от начала координат в силу системы (74) ) за время 1' ( Т. Следовательно, взяв точку 1ь удовлетворя!ощую неравенствам 1' (1, «. Т, мы найдем, что множесгао Х, (состоящее нз точек,вкоторые можно попасть за время 1,) содержит точку х(Т) внутри себя, а следовательно, содержит внутри себя шар некоторого радиуса г с центром в точке х(Т).
При 1~ ( (1< Т множество Х~ также содержит внутри себя шар радиуса г с центром в точке х(Т). Выберем теперь число (принадлежащее интсрвалу 1! «1 ( Т) настольк ! близким к Т, чтобы расстояние между точками и(Т) = — х(Т) и у(1) было пеньи!е. чем . Тогда множ(стно; содср кнт внутри себя точи) р(1), причс,! 1 «.. Т. Но эт. г«зныя з«ллчи [гл. а (78) (79) В самом дслс, если бы для некоторого г < Т было выполнено неравенство т(1) < (, то в точку у(() я 5пн с: Х, преследующая точка могла бы попасть в момет времени (, т.
е. (при выбранном управлении и(() для преследуемой точки) была бы возможна встреча в момент г < Т, что противоречит определению числа Т. Так как точка у(() лежит на границе 5,ю выпуклого тела Х,пь то можно провести в Х опорную гиперпло- означает, что и положение у(1) преследующая точка монгет попасть в момент 1 < Т, т. е. что (при выбранном управлении и(() для преследуемой точки) встреча может произойти и момент ( < Т. Однако это противоречит определению числа Т. Таким образом, точка «(Т) лежит на границе 5т множества «.т. Из этого следует, что и((), О < ( < Т, есть оптимальное по быстродействию управление, соответствуюшее переходу из начала координат в точку «(Т) (в силу систсмы (74) ). Действительно, если бы это управление было не оптимальным, то в точку х(Т) можно было бы попасть за время, меньшее, чем Т, н тогда точка х(Т) лежала бы внутри множества Хт, что нс имсст места.
В силу сказанного, упранленне и(Г), рассматриваемое на отрезке О < ( < 1, (где 1~ < Т), также является оптимальным по бысгродействию управлением, соответствующим переходу (в силу системы (74)) из начала координат в точку х(11). Иначе говоря, в точку х(1,) (О < (, = < Т) нельзя попасть быстрее, чем за время Гь и потому точка х(1,) лежит на гранипе множества Е, Обозначим через Х объединение всех множеств Хс, ~ ) О. Ясно, что з.
— открытое множество пространства Х, содержащее множестно «т и, следовательно, точку х(Т) = у(Т). Поэтому найдется такое число ~* < Т, что у(~)яХ при Г =(<Т. Для любого (, ('<(< Т, мы обозначим через т(~) такое число, что у(()~ 5но. Легко видеть, что т(() — непрерывная функция переменного О Г < 1 < Т. Далее, так как и((), о(() — опт им альп а я пара управлений и Т вЂ” время преследования.
то имеют место соотношения т(Т) = Т, т(() ) г' при г < Т. одна злдхчх пгяслядовхния (х — д(1), е до) (О при х енуь (80) Выберем теперь некоторый способ варьирования управления о(1) (см. стр. 100 — 101). Соответствующая варьнрованная траектория (с прежним начальным условием, см. (59)) имеет вид: д'(И) = д(У) + в бд(1) + оГе), О е-.1--. Т; (81) при этом вектор Ьд = бд(Т) определяется формулой (22), гл.
2, в которой следует положить т = Т, Я = 0 и отбросить координату хе (ибо рассматривается фазовое пространство Х, а не Х). Пусть теперь еь еэ, ... ..., еь ...— произвольная сходящаяся к пулю последовательность положительных чисел. Траекторию (81), соответствующую значению з = еь обозначим через д',.
(1), а соответствующее управление — через п, (1). Время преследования, соответствующее управлению о, (1), мы обозначим через 1п 1; =Т, Таким образом, и д,'(1) ~ 2,, 1=1, 2, (82) Из оптимальности пары управлений и(1), п(1) вытекает, что 1~(Т, 1=1, 2, ... (83) Далее, легко видеть, что !пп 1,. =Т. Ф '+ (84) В самом деле, допустим, что соотношение (84) не выполнено. Переходя, если нужно, к подпослсдовательности, скость к телу Х,пь проходящую через точку д(1). Эту гиперплоскость (любую из них, если она не единственна) мы обозначим через Лчо. Единичный вектор. ортогопальный к гиперплоскости Лчо и идущий из точки д(1) в то полупространство, которое нс содержит множества Хцп, мы обозначим через еч„.
Так как для любой точки х~ Хчп вектор х — д(1) направлен в то полупространство, которое содержит множество Еяп, то (х — д(1), око) ( 0 (при х~уяо). В частности, из (79) следует, что Т, с: Хчп, и потому !гЛ 4 Рлзныя задачи зб4 мы можем считать, что !пи 1; существует и меньше Т. 1-+ Положим !нп 1; =1. Так как !пп е;=О, то из (81) следует, что !пп д,'. (1,) = д (К). Далее, нз (82), переходя к пределу, получаем 1!п1 д,.
(1г) е= Хг. г -> Таким образом д(1) ~ т;, где 1 ( Т, по это противоречит определения~ Т. Следовательно, соогношение (84) выполнено. Из (83) и (81) следует, что прн достаточно большом ! определены числа т(1г); мы будем считать (отбрасывая, если нужно, несколько первых членов последовательности), что числя т(1;) определены для всех /= 1, 2, ... Далее, из (78) п (84), в силу непрерывности функции т(1), следует !!п1 т(1,) =Т.
(85) Рассмотрим теперь векторы е,д1, 1=1,2, (86) В силу компакгностн единичной сферы и-ме!н1ого пространства Х, мы могкси счигать (псрсйчя, если нужно, к подпоследовательнг>сзн), что векторы (88) сходятся при ( — ~ со к некоторому единичному вектору е пространства Х. Пусть теперь х — произвольная и н у т р е н н я я точка тела Хт. Тогда нри достаточно большом г будет выполнено пключеггне х е= т', и потому (х — д (У,), е, !г,!) ( О (см. (80)). Переходя в этом соотношении к пределу при 1-~.
оо, мы получим (учигывая соозношенпе д(Т) = х(Т) н соотношение (85)): (х — х(Т), е) ~0. (87) Олп« з«лА'1А пггслгловхння Соотношение (87) справедливо для всех впутренних то- чек х тела Хт, а значит, н для всех вообще точек х этого тела. Далее, нз (82) следует, в силу (80), что (у,'.(г',.) — у (У,), е,, )(~0, 1= 1, 2, ..., или, согласно (81), (е; бу(1;)+ о (е) !... е, (, 1)(0, 1=1, 2, ... 1 Разделив это соотношение на е; н переходя к пределу при 1- со, получим(в силу соотношения !пп — '= 0) о (е! е.+е е (Лу(Т), е) ((О, илн, иначе !88) (Лу, е) (О. Пакопец, рассмотрим функцию р,(!) =-(х(!) — у(1), е,,)).
Так как х(1)~ Х, прп любом г, то пз (80) следует, что ср;(~;) ( О. Далее, гр;(Т) = О, нбо «(Т) = у(Т). Кроме того, функция ~р;(!) имеет при достаточно большом 1 непрерывную производную на отрезке (; ( 1( Т (ибо управления и(1) и о(!) кусочно-пепрерывны и имеет место сооыюшепие (84)). Поэтому существует такое число $ь 1; ( Эг ( Т, что <Рг (Э;) ~) О, т. е. (1 (х 5,), и 5;)) — у (у 5;), о (в;), Ц), е, (~. !) ) О.
Переходя в этом соотношении к пределу при ~' — х сю, получим (ю, е)(0, (89) где га=д(у(Т), о(Т), Т) — )(х(Т), и(Т)). (90) Обозначим теперь через Л гнперплоскость пространства Л', проходящую через точку х(Т) и ортогональную вектору е. Кроме того, будем считать векторы Лу и ш исходящими нз точки х(Т). Тогда соотношения (87), (88) и (89) показывают, что все тело Хт и векторы Лу гхзныа зхпхчи и гв расположены по одну сторону гиперплоскости Л. Иначе говоря, если мы обозначим через Х* выпуклую оболочку тела Хт и вектора щ, то мы найдем, что тело Х' и вектор Лу лсжат по одну сторону гнперплоскостн Л.
Поэтому тело Х* и вектор — Лу расположены в двух р а з и ы х замкнутых полупространствах, определяемых гипсрплоскостыо Л. Отсюда мы, наконец, заключаем, что вектор — Лу, исходящий из точки х(Т), не проходит через внутренние точки тела Х*. Будем теперь рассматривать всевозможные способы варьирования управления о(1), откладывая получающиеся векторы Лу = Ьу(Т) (см. (81)) из точки х(Т). Концы этих векторов заполнят некоторое множество К в пространстве И, являющееся, как легко видеть (ср. стр. !07 — 109), выпуклым конусом с вершиной в точке х(Т). Концы векторов — Лу заполняют выпуклый конус, симметричный конусу К относительно точки х(?'). Этот конус мы обозначим через — К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
