Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Из сказанного выше вытекаег, что конус — К пе пересекается с внутренностью выпуклого тела Х*. Так как при этом тело Х" содержит внутренние точки (ибо тело Хт содержит внутренние точки), то тсла Х' и — К являются разделяемыми. Иначе говоря, существует в Х такая гиперплоскость Л", что тело Х" содержится в одном замкнутом полупространствс, определяемом гипсрплоскостью Л", а конус — К в другом. Следовательно, выпуклые множества Х' и К расположены в одном замкнутом полупространстве, определясмом гнперплоскостью Л'.
Обозначим через е* единичный вектор, исходящий из точки х(Т), ортогональный гиперплоскости Л* и направленный в полупространство, не содержащее тел Х* и К. Таким образом, вектор е* удовлетворяет соотношениям (ср. (87), (88), (89)): (х — х (Т), е') (~ 0 при х ен Хт, (91) (Лу, е') ~( 0 при Лу ен К, (92) (тв, е') ((О. (93) Обозначим через ф(Г) решение системы (63) с начальным условием тр(Т) = е', а через )1(Г) — решение си- одни злллчл и| еслвдовлния 267 стемы (64) с начальным условием т(Т) = е". Мы покажем сейчас, что функции ф(1) и )((1) — искомые (т.
е. они удоплстворяют условиям, указанным в теореме 2!). Прежде всего отметим, что в силу выбора начальных условий для функций ф(1) и у(1) соотношение (68) выполнено. Далее, из (90) н (93) непосредственно следует соотношение (67). Наконец, соотношения (65) и (66) доказываются, исходя из неравенств (91) н (92), совершенно так же, как в главе 2 из неравенства (34) было доказано соотношение (11) (в доказательстве должны быть сделаны очевидные изменения, связанные с тем, что рассматривается пространство Х, а не Х).
Итак, теорема 21 полностью доказана. ГЛАВ х 5 ПРИНЦИП МАКСИМУМА И ВАРИАЦИОИИОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В этой главе мы рассмо>рпм связь, существук>щую между теорией оптимальных процессов и классическим варнацнонным исчислением. Будет показано, что оптимальная задача, изученная в главах 1, 2, является обобщением задачи Лагранжа в вариацнонном исчислении и эквивалентна ей в случае, когда область управления (/ является открытым множеством г-мерного векторного пространства Е„. Далее, мы покажем, что в случае откр ыто го множества С> из принципа максимума следу>от все основные необходимые условия, извсстныс в вариациоппом исчислении (в частности, критерий Вейерштрасса).
Однако в случае, когда (>' — з а и к и у т о е множество простра нстпа Е, (не совпадающее со всем Е„), условие Вейерштрасса перестает действовать, т. е. теорема о том, что для достижения минна>ума функционала необходимо выполнение условия Вейерштрасса, становится и е в е рной. Таким образом, существенное преимущество принципа максимума по сравнению с классическими теоремами варнациоппог<> исчисления состои> н гом, что он применим для л>обого (в частное>н, замкнутого) множества (l ~ Е„. Расширение класса возможных областей управления (l по сравнению с классическим случаем открытых множеств весьма существенно для технических приложен»й теории. Именно случай з а и к путо го множества (>'~ Е„наиболее интересен в задачах оптимального управления и, в час~ности, н прикладных вопросах.
Например, даже простейшие задачи, приведенные в $ 5, оспою.'~я ыдг ы 269 пе могли бы бы>ь рассмотрены >1е~одамп классического вариационного псчислепия, так как область управления г/ являлась замкнутым множеством и значения оптимальных управлений по всех примерах лежали н а г р аи ице Ь.
Если в любом из этих прпмсров мы ограничимся рассмотрением открытого множества, огб>росна граничные гочки области управления (/, то класа>ческне теоремы дадуз такой ответ; оптимальных управлений нс существует. Это, конечно, может служ>ыь указанием на то, что управляющий параметр должен принимать значения н а г р а п и ц е множества К но такого соображения отнюдь пе достаточно для решения задачи, ибо нужно знать, к а к и и о б р а з о м должен изменяться управляющий параметр па границе области //. Например, в случае линейных задач нужно знать, каково можш быть число переключений, из каких першин многогранника ~/ в какие происходят перекл~очения и т.
и. На эти вопрос>я классическая теория не может дать никакого ответа; в то же время, как мы видели на примерах, принцип максимума содсргкнт информацию, достаточную для решения указанных вопросов. В 9 20 мы выведем нз принципа максимума необходимые условия для основной задачи нариацпонного исчисления. В $ 30 мы докажем эквивалентность задачи Лагран ка и оптимальной задачи гл.
2, а также выведем пз принципа максимума критерий Вейерштрасса в случае, когда область упранлепия ~/ представляет собой открытое множество г-мерного векторного пространства Е,. Дли простоты излогкения мы ограничимся рассмотрением сильных экстремумов вариационпых задач. 9 29. Основная задача вариационного исчисления Хотя основная задача вариационного исчисления и янляется частным случаем задачи Лагранжа, расея>атрпнасмой в следующем параграфе, тем не менее мы поснящаем основной задаче отдельный параграф, так как связь между принципом максимума п необходимыми условиями аариациоппого исчисления особенно отчетливо выступает в этом простейшем случае. влгнкнионное исчисления !гл.
з 270 Определенна Пусть в (и+ 1)-мерном пространстве Я".~' действительных переменных (1,х',...,х") =-(1,х) задана кривая х(1) уравнениями х' = х' (7), г' = 1, ..., и, 1, (~ 1(~ !н (1) Если функции х'(1) 1= 1, ..., и, абсолютно непрерывны и имеют ограниченные производные, т. е. но всякой точке существования производной вьшолнено соотношение ~(1И=сопз), 1=1, ..., и, =' ° ° ах' (у) иг то мы будем говорить, что кривая (1) абсолютно непрерывна. Далее, обозначим точки х(1е) и х(!1) соответственно через хе н хн мы будем говорить, что кривая (1) соедипяет точки ((мхе) н (1ьх1) или же что она удовлетворяет краевым условиям х (ге) = хм х (1,) = х,.
(2) Назовем б-окрестностью абсолютно непрерывной кривой (1) множество всех абсолютно непрерывных кривых х (1) = (х' (!), ..., х" (1)), го ( ! ((о удовлетворяющих условию )х'(7) — х'(1)! < б при !а(1(71 1=1 2 ° °, и. Пусть теперь 0 — некоторое открытое множество пространства Г+" и пусть действительная функция 7(1, х', ..., х", и', ..., и") =1(1, х, и) определена для любой точки (1,х) ен б н любых действительных значений и', ..., и*'. Будем предполагать, кроме того, что функция ! непрерывна и непрерывно дифференцируема по всем аргументам.
Предположим, что кривая (1) целиком лежит в области б. Тогда определен интеграл ь ~-,7()=$)(1, (1), — '",—,"-)) (1, ОСНОВНАЯ ЗАЛАЧА' 271 Уравнения Эйлера и условие Лежандра Мы покажем сейчас, что всякая экстремаль является оптимальной траекторией для некоторой оптимальной задачи. Рассмотрим следующую систему и-го порядка: дх' — =и', 1=1, ..., и, Ф (4) и интегральный функционал Х=.((х, и) = ~ 1((, х', ..., х", и и', ..., и") с(и = Здесь и = (и',..., и") — управляющий параметр, который выбирается в классе всех ограниченных измеримых который мы будем рассматривать как функционал от вектор-функции х((), (е (1((ь Очевидно, что для любой кривой х((), (е ( 7 ( гь принадлежащей 6-окрестности кривой (!), функционал 7(х) также определен, если б ) О достаточно мало.
Абсолютно непрерывную кривую (1) назовем (сильной) энстремалью для функционала (3), если существует такое б ) О, что на множестве всех кривых х(г), (,(1((ь расположенных в б-окрестности кривой (1) и удовлетворяющих тем же краевым условиям (2), функционал (3) принимает свое наименьшее (или наибольшее) значсние при х = х. В дальнейшем мы будем рассматривать только случай м и н и м у м а. Таким образом, кривая (1) будет называться экстремалью функционала (3), если существует такое 6 ) О, что для любой абсолютно непрерывной кривой х(1), 1, ( ( ( (ь принадлежащей 6-окрестности кривой (1) и удовлетворяющей краевым условиям х(1е) = х,, х(71) = хь выполнено неравенство 7(х) ) Х(х). Основная задача еариационного исчисления состоит в нахождении всех экстремалей данного функционала (3) при заданных (закрепленных) краевых условиях (2).
|гл. ' влюмшго>гное исчисление 272 вектор-функций. Тя>гг>ы Ооразоы, ооласть управления (> совпадает н данном случае со гссм и-мсрнык| пространством Г„г>ерел>еипых и',, и". Имея в виду прнмепсппя к |ирпяпионпому псчнслепшо, мы опрсдсчпм здесь оптимальные траектории задачи (4), (5) несколько иначе, чем э|п> было сделано в главах 1, 2. Име>гио, пусть пределы интегрирования в (5) фиксированы. Измеримое ограниченное управленис и(1), 1я (1 < 1|, и соответствующу|о абсол|отио непрерывную тряекторшо х(!) системы (4) с красными условиями (2) мы б>удем называть оггтилальнылггг, если существует такое д ) О, что, каково бы пи было управление с|(1), для которого соответствующая траектория л (1) системы (4) удовлетворяет красным условиям (2) и налог)нтсл а б-окрестностн кри|вой л(1), выполняется пераве|нтио Х(лч >7) ) У(х, и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
