Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пусть х(1) — решение основной задачи. Тогда, согласно сказанному ранее, функции х' (1) = х (Г), хз (Г) = х' (1), ..., хи+' (1) = х(и~ (1), хи+а = г т. е. и (1) =аз13п$„~, (1), если $„+,(1) Ф О, не опРеделепо, если фа ы (1) = О. (22) Выпишем теперь условия трапсверсальности (теорема 3). Так как векторы, идущие вдоль осей х', хх, ..., х"+', параллельны гнперплоскостям 5а и 5ь то условия трансверсальности имеют вид ф;(а)=0, 1=1, 2, ..., и+ 1, (23) Ф,(Ь)=0, 1=1, 2, ..., и+1. (24) дают решение рассмотренной выше оптимальной задачи (см. (19)).
Поэтому существует ненулевое рсшение фа, ф, ° ., ф.+н фича системы (21) (дополненной невыппсанным уравнением для ф я.а), удовлетворяющее условиям, которые указаны в теоремах 8 и 3. Условие максимума функп,ии Ж дает (почти всюду па отрезке (а, Ь)): гпах ф +, (() и = $и„, (1) и (1), -а ~ и ~ а 232 глзиыв злдлчи сгл. с В силу первого из уравнений (2!) мы имеем фа = сопз(, причем, согласно теореме 8, фа ( О. Нетрудно видеть, что предположение сра = 0 приводит к противоречисо, Действительно, если ср, = О, то — =0 (см. (21)) и, в силу Щс дС (23), фс = О.
Из этого получаем — '=0 (см. (2!)) и, в силу (23), срх = 0 и т. д. Таким образом, мы ссаходим последовательно сра = срс = срх = ... = ф„+с — = О. Так как вдоль оптимальной траектории функция Ж тождественно равна нулю (теорема 8), то отсюда, в силу (20), получаем ~р„„, = О. Но это противоречит тому, что ~ъ , ф„чх — ненулевое решение. Итак, ~ъ(0, н мы можем считать, что ф, = — ! (так как все величины 1(; определены лишь с точностью до общего постоянного положительного множигеля пропорциональности).
Система (2!) теперь принимает вил (после подстановки х" сх = !): сСЕс ду(х', у(С)) дС дх3 4Ц~ а $2» С ух+с с л откуда получаем, учитывая условия трансверсальности (23): / ( дл(х! (С), у(С)) (() св(*'ай И) ) а а с с с с са=)!)() '~'*'" """а)а~а а а а $261 ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ПРИБЛИЖЕНИЯ 2зз и вообще ! ! а а )г = 1, 2, ..., п + 1. Согласно известной формуле анализа мы можем найденное значение 2уд(1) переписать в виде ф (() — ~ Й () с(В (25) ь й=1, 2, ..., и+1. Условия трансверсальности (24) принимают теперь внд Умножая это соотношение на (и — !)(сь ! и суммируя по !2 = 1, 2, ..., и+1, получаем ь [сь+с,(~ — Ь)+с,($ — Ь)'+ ...
ь + (е — Ь) ! ' !2е — О дх' при любых значениях констант с,, сь ..., с„. Так как со+с!(е — Ь)+ ... +с 5 — Ь)" есть произвольн ы й многочлен степени не более и, то мы можем объединить условия трансвсрсальности (24) одним (ГЛ 4 Г 4ЗНЫВ З КЧ 4ЧИ 234 требованием: дР (х'(й), у (Ь)) дх' й для любого мпогочлена Р(5) степени не более и. Далее, формула (22) переписывается, в силу (25), в виде 19 ~цй — )" ! и (() а ражепие под знаком з(пп отлично от пуля: не определено, если это выражение равно нулю, Иначе говоря, почти всюду иа отрезке (а, Ь) выполняется одно из соотношений: ()х дя(х'(Ь), у(1)) й$ дх' а (4= ° к.()а-ь' "'*'"'""" 4) дх' о Наконсц, из соотношений (19) мы получаем лье+1 и(т) = — „, х'(1) (почти всюду на отрезке (а, Ь)). Сопоставляя все сказанное н обозначая снова х'(1) через х(4), мы получим следующее предложение.
Теор ем а 19. Пусть функции Е(х, у) и у(1) имеют непрерывные первые производные. Для того чтобы функция х(1) являлась решением основной задачи, необходимо, чтобы почти всюду на отрезке (а, Ь) выполнялось А 261 ПРИМЕНГИИГ К ЗАДА~!АМ ПРИБЛИЖЕНИЧ чзв одно из соотношений (хь — 1)" ду 1х 1ец' 11 1 )1 йх = О дх и, кроме того, чтобы для любого многочлена Р(1) степени не более и выполнялось условие Р () д~ 1х (г1' " (О) = О дх и П р и м е р (задача о нахождении профиля дороги). Рассь1атривая функционал (9'), мы при и = О приходим к следу1ошей задаче, Даны дифферецируемая на отрезке (а, Ь) функция у(1) и число и = О.
Найти тику>о функцию х(1), удовлетворяющую условию Лип1иица с константой а, для которой интеграл (9*) принимает наименьи1ее возможное значение. Эту задачу можно интерпретировать следуюшим образом. Между двумя пунктами А и В нужно провести дорогу, причем рельеф местности между этими пунктами задан (функция у(1)), а по условиям эксплуатации дороги уклон пути в любой точке не должен быть больше а, т. е.
продольный разрез дороги (профиль ее) должен описываться функцией, удовлетворяюшей условию Лнпшица с константой сс. Для достигкения этой цели можно либо прокладывать дорогу по местности, либо сооружать насыпь, либо прорывать траншею для дороги. Если х(1) — проектируемый профиль дороги, то стоимость земляных работ (сооружение насыпей для участков, где х(1) ) у(1), и траншей для участков, где х(1) ( у(1)) пусть оценивается интегралом (9*) Найти наиболее выгодный (в смысле материальных затрат) профиль дороги. Реп1ение этой задачи сушестпует и единственно (теорема 18).
Для того чтобы функция х(1) являлась искомым решением, необходимо (в силу теоремы 19), чтобы РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 236 (гл. 4 почти вс(оду на отрезке [а, Ь1 выполнялось одно нз со- отношений с ~ [х (в) — у К)[ с$ = О, (( с *' (у( = . ус (1 ( (и — у (ю( ус) .
уу (26) (27) и, кроме того, чтобы было выполнено условие ь ~ [х(1) — у(1)) Ж = О. а (28) Рис. 81. Пусть, например, пункты А и В расположены на ровной местности, на которой между пунктами А и В имеется углубление (скажем, овраг, который дорога должна пересечь), так что разрез местности по линии АВ имеет вид, изображенный на рис. 81. Мы будем считать изображенную на рнс. 81 линию графиком функции у(г), предполагая, что ось абсцисс совпадает с прямой АВ, Если на некотором отрезке, содержащемся внутри [а, Ь1, выполнено соотношение (26), то на этом отрезке х(1) =у(1), т.
е. дорогу следует прокладывать прямо по местности. Если же на некотором отрезке выполнено соотношение (27), то в точках этого отрезка х'(1) = = ~я, так что на этом участке дорога состоит из одного или нескольких кусков с уклоном я или — я. Таким образом, общая характеристика дороги заключается в том, что она состоит из отдельных кусков, проложенных по местности, и кусков максимально допустимого уклона, идущих по насыпям или в траншеях. А В з Еп ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ПРИБЛИЖЕНИЯ 2зт а абсциссы точек А и В равны соответственно а и Ь.
Стенки оврага предположим крутыми (имеющими уклон больше а). Функцию, график которой представляет собой искомый профиль дороги, обозначим, как и выше, Рис. 82. через х((). Легко видеть, что х(() ( О для всех й Дей. ствительно, если х(1') > О, то, в силу непрерывности функции х((), неравенство х(() ) О будет иметь место Рис. 83. и в некоторой окрестности точки ('. Поэтому, несколько сместив, если нужно, точку г', мы можем добиться вы- 'с полнения неравенств х(С') > О, ~ (х(() — р(~)) й ~ О. Если имеет место неравенство ~ (х(() — д(Е)) пу > О, то, в силу и пл а РАЗНЫЕ ЗАДАЧН 238 (27), х'(() = + а при () 1' (рис. 82), и потому $ (х(г) — у(С))гй= ~ (х(1) — уЯ)г((+ ~(х(() — у(У)) г(Г > О, а а что противоречит равенству (28). Если же имеет место неравенство ~ (х(1) — у(()) сй < О, то, в силу (27), х'(()= а = — а при Г < У (рис.
83), а это означает, что х(г) )у (1) при а < г < У вЂ” вопреки неравенству )(х(1) — у(Г)) ЕУ<О. показывает, что х(() ( О Полученное противоречие для всех г. Рис. 84. Предположим теперь, что в некоторой точке У выполнено неравенство х(г') ( у(г'). Если при этом с ~ (х(г) — у(г))гУ < О, то при () у дорога спускается а с уклоном а (т. е. х'(1) = — а) де тех пор, пока неравенство ~ (х(~) — у(1)) г72 < О не нарушается. При этом а графики функций х(() и у(() обязательно должны пересечься при г ) г', нбо в противном случае мы имели бы пгнменгп!!Г к злдь!ым пгигл!1)кения х(!) ( у(С) при всех ! ) г' (рис.
84), и потому ь ь ~ (х (!) — у (!)) сь( = $ (х (У) — у (()) ьй + ~ (х (!) — у (!)) й < О !! а вопреки соотношению (28). Аналогично, если выполнены неравенства х(ь') < у(!') и ~ (х(!) — у(ь))Л) О, то при а ! ( г' дорога подходит к точке г', поднимаясь с уклоном сь (т. е. х'(!) = +с!), причем при ! ( У обязательно имеется точка пересечения графиков х(!) и у(!).
Все сказанное позволяет отыскивать функцию х(!) для различных графиков у(!). Примеры приведены на С гь ь рис. 85, 86. При этом для определения точки ь! и зна- чения х((!) на рис. 85 мы имеем соотношения ь ~ (х(У) — у(!))сИ=О, ~ (х(() — уЯ)Л =О, а ь, а для определения точек ь! и ьь на рис. 86 имеем соотно- шения ь ~ (х (!) — у (!)) Ж = О, ) (х (!) — у (!)) Н = О.
О ь7 Разумеется, рассмотренные на приведенных рисунках случаи очень просты. Они были подробно изучены лишь [гл « 240 плзнын задач>т с единственной целью — показать, что соотношений (26), (27), (28) (а в общем случае — соотношений, указанных в теореме !9), вообще говоря, «лостаточно» для нахождения искомой функции х(!). й 27. Оптимальные процессы с запаздыванием*) В ряде случаев задача оптимального управления осложняется эффектом запаздывания. Запаздываннс может возникать в связи с затратой времени на передачу сигнала яли, как это бывает чаще, вызывается упрощающими явление предположениями, в силу которых считают, что действие проме>куточиых и усиливающих звеньев в управляемом объекте сводится к перелаче сигнала с запаздыванием. Довольно обширный круг технических задач этого рола укладывается в слелуюшую математическую схему.
Движение объекта описывается в фазовом пространстве Х переменных х', ..., хн системой уравнений — =)'(х'(!), ..., х" (!), х'(! — О), ..., х" (4 — О), и(!)), О=сонэ! ~ О, (29) илн, в векторной форме, =! (х(!), х(г — О), и(г)). (30) Такпм образом, запаздывакиций аргумент содержится только в фазовых координатах и отсутствует в управлении.
Функ>!пи !" (х', .„., х", у', ..., у", и) предполагаются пснрерывпымп по совокупности своих аргументов и непрерывно днфферепцируемымн по х', ..., х", у', ... г да' д(0 ..., у"'. Иначе говоря, функции ), †' . — опредедх> ' ду> лены и непрерывны на прямом произведении Х х,'Х'с', (7, В качестве класса 0 допустимых управлений мы примем класс всех кусочно-непрерывных управлений со значениями в ~l (нлн некоторый его подкласс); см. 5 (О. Как и прежде, мы будем лля определенности предполагать, что рассматриваемые управления в точках разрыва «) Результаты этого параграфа прпналлсжат Г. Л. Харатишвили.
лен оптимлльпые пгоцессы с злплздывлникм эл1 непрерывны слева и(1) = и(1 — 0). Для однозначного определенна траектории х(1) уравнения (30) на отрезке 1,(1 - 1~ необходимо задать не только допустимое управление и(Г), 1» (1(1ь но н начальную 4ункг(ию Ч~(1) со значениями в Х, определенную па отрезке 1,— 0 (1 ( 1м Начальную функцию гр(1) мы будем предполагать непрерывной на всем отрезке 1,— 0(1< 1,, Функцию х(1), заданну1о на отрезке Р,— 0(1 =.11 н непрерывную на всем этом отрезке, мы будем называть траекторией уравнения (30), соотагтствуюи(ей допустимому управлению и(1), 1а (1(1ь н заданной начальной функции ср(1), 1а — 0 ( 1( 1,, если функция х(1) на отрезке 1» ( 1 ( 11 удовлетворяет уравнению (30), а па отрезке ~,— 0 (1( 1» совпадает с функцией ~р(1). Персйдсм теперь к ф о р м у л н р о в к е оптимальной задачи, которую мь| будем решать в этом параграфе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
