Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Разлагая функцию х! (1) по формуле Тейлора, мы найдсм х,(1)=х,(а)+ 1 х',(и)+, х",(а)+ ... + (1 — л)л ' Анл,! (а) ! (1 — а) х!л! (О) (и — !)1 ! и! где 0 — промежуточное значение между а и й Так как х, (а)=х',(а) = ... =х',л '!(а) = О, то прн 1~[а, Ь] мы находим (Ь вЂ” а) л+' [х!(1)[=~ х!!'(0)~( (1 а(Ь вЂ” а) (а (1 1) (Ь вЂ” а)л+! Таким образом, [[х![[(а „,, и потому [! ф[! =[! х — х, [! Ъ[[х [! — [[х, [!.-н[[х [! — а . (12) Выберем теперь такой помер ! = О, 1,, п, что число [ф(а!) [ является наибольшим среди чисел [ф(ан) [, [ф(а!) [, ..., [ф(а ) [. В силу интерполяционной формулы Лагранжа мы имеем ф (1) = !р (ао) фо (1) + <р (а,) <р, (1) + ...
+ ф (ал) <рл (1), и потому ! ф (1) ! ( (п + 1) ! гр (а!) ! А при 1 ~ [а, Ь], т. е. [! ф [[((и+ 1) [ф(а!) ! А. (13) Сопоставляя неравенства (12) и (13), мы получаем 1ф1 Г (Ь вЂ” )"+'1 ! ф (~д ! ~ )(„1 1) л ~ ~(„1 1) л [ [! [! — „1 ] ° Л, С. Плннрнгнн н нр. РАзные злдлчи !Гл с На оцюзке 1с выполнены пеРавенства фс (() з фс (1) з 'р 2 1 и потому на этом отрезке мы имеем 1сР (1>1=1 ф(ао) фо(е) + ф(ас) фс (1) + ° + сР(а ) сР. (е) 1) ) 1 ср (ас) срс (!) 1 — 1 ср (ао) сро (т) + ... + ср (ас,) фс, (с) + + ср (ас о с) срс» с (1) + ° ° + сР (а») ф» (~) 1)»1 сР (ас) 1(1 фс Р) !в — (!фон)1+ "+1ф; — И)1+1фс+ (1)1+ ...
+1ф.(()!1) ) Г (З вЂ” о!»+с')тв 1 т ) — (!1х11 — а ~ ~= — и ° — ) = (и+1)А 1 ~~з з ) Г (Ь вЂ” »1"т с г Из этого следует, что на отрезке сс 1 хй1=1ср(с)+х, (Е)1)(ф(О1 — 1х,(1)1) Г (ь о!»+~ ч (ь,).+с (см. (11)). Итак, для лсобой функции хоп О,"~ найдется такой номер с' = О, 1, ..., и, что на отрезке с', выполнено неравенство (!4). 11усть теперь Уо — значение, которое принимает функционал (9) для функции х(1) = — О. Пусть, далее, Р— такое положительное число, чсо при !х! ) Р, д~( мы имеем то+ Ч (Ь вЂ” а) Р (такое число Р существует в силу указанных в формулировке теоремы свойств функции Р(х, у)). Пусть, наконец, )с — такое положительное число, что при 1!х11 ) ) )с правая часть соотношения (!4) больше, чем Р.
Тогда для любой функции х~ ь1,, удовлетворяющей условию 11х11 ) )с, найдется такой номер с = О, 1, ..., и, что па отрезке (с выполнено неравенство (14), и потому ь вя пгимгнгнив к зьльчьы пгивлнжения 227 выполнено неравенство [х(1) [ -> Р. Из этого следует, что Р(х(1), д(1)) ) ' при 1~1;. ((5) Р Кроме того, в силу ((0), Р(х(1), р(1))) — Л~ прн 1~ [а, Ь!.
((6) Так как длина отрезка 1, равна р, то из неравенсгв ((5) и ((6) мы получаем ~ Г(х(1), у(1)) (1 == '""-' р+ + ( — Й) [(Ь вЂ” а) — р[ ) У„. ((7) Итак, для любой функции х е= (),"', удовлетворяющей условию [[х[! ) )г, выполнено неравенство ()7).
Обозначим через Хя множество всех фупкцийх е:— ь)„, (м удовлетворяюгцих условию [[х[! ( Й, и пусть 1* — нижняя грань значений функционала (9) для функций ь х е- =Хя, Очевидно, что Уь ) Х', и потому ~ Р (х(1), у (1)) ь(1~) й )~Х' для л|обой функции кг= О,',"': при [[х[! ) 17 это следует из доказанного неравенства ((7), а при [[х[! ( ( 1г — из определения нижней грани. Поэтому для завершения доказательства первой части теоремы остается установить, что существует такая функция х ~ 0„"', для котороя функционал (9) принимает значение 1*.
Это легко вытекает из компактности множества Хв (см. основную лемму) и непрерывности интеграла (9), рассматриваемого как функция от х е= !1'„"'. Итак, первая часть теоремы (сушествование решения) доказана. Так как, в частности, функция Г(х, у)— ~ (х — у)з удовлетворяет указанным в теореме (8 условиям, то и для функционала (9') поставленная задача всегда имеет решение.
Покажем, чго в этом случае решение единственно. Так как функционал (9') равен У, где гхзные зхдзчи !гл. ! И = !1(х, у) — расстояние между функциями х и у в смысле метрики пространства Ем и так как величины д и !Р достигают своего минимума одновременно, то задача сводится к отысканию такого элемента х~ Й,", для которого Н(х, у) = ппп, т.
е. к нахождению бл и ж а й ш е й к у точки х ~ О,"'. Пространство С!, ы, очевидно, содержится в Ц, причем прямые линии пространства Сиам являются прямыми и в 1ь Поэтому выпуклое в Сыч ы множество 0" (см. основную лемму) является также выпуклым подмножсством пространства 1~. По в пространстве Ез (в силу строгой выпуклосги его единичной сферы) выпуклое множество не может содержать более одной ближайшей к у точки. Поэтому в рассматриваемом случае паша основная задача имеет только одно решение. Теорема (8 доказана.
Перейдем теперь к н а х о ж д е н и ю решения с помощью принципа максимума. Пусть х(!) — произвольная функция класса ы'„"'. Тогда функция х!ю(г) существуе! на отрезке [а, Ь) и удовлетворяет условию Липшица с константой а и, следовательно, является абсолютно непрерывной. Поэтому почти всюду существует измеримая функция и = х'"+!!(!), причем во всех точках, где функция и(!) определена, выполнено соотношение ] и(!) ~ ~ а. Таким образом, обозначая функции х(г), х'(г), ... ..., х!"!(!) через х!„хз, ..., х"+' соответственно, мы найдем, что выполнены соотношения 0х' — =х, в'! дх' — =х л! (18) — = хл+! дх" и! 0х" + — = и (!), !!! где ~ и(!) ( ( а.
Э ги соотношения выполняются почти вшоду на отрезке (а, Ь) (первые л соотношений даже $ ЕБ1 ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ПРИБЛИЖЕНИЯ 229 всюду). Нетрудно видеть, что и обратно, если абсолютно непрерывные функции х', хг, ..., х"+' почти всюду на отрезке 1а, Ь) удовлетворяют соотношениям (18), где и(с) — некоторая измеримая функция, удовлетворяющая условию ~и(1) ( ( сг, то функция х(1) = х'(1) принадлежит классу 1с~ !. В самом деле, так как функция х'+' (! = 1, 2, ..., и) абсолютно непрерывна и, следоваДх! !+! тельно, непрсрывна, то из соотношения — „=х'+', имеющего место почти всюду па отрезке (а, Ь), следует, что абсолютно непрсрывпая функция х' является интегралом от не прер ы в ной функции хс+'.
Поэтому функция х! в с со ну на отрезке (а, Ь) имсст непрерывную производную, равную х'+' (! = 1, 2, ..., и). Таким образом„ фупкпия х'(1) имеет Бс!оду на отрезке (а, Ь1 абсолютно непрерывную и-ю производную, равную х"+'(1), и эта !1 Кл+ производная, н силу соотношений — ' = а(1), ! и (1) !~(а, имесощих место почти всюду, удовлетворяет условию ! сл! Липшпца с константой а, т.
е. х е= 11, . (л! Итак, вместо функций класса 11 мы можем рассматривать (абсолсотпо непрерывные) решения системы (18) при ограничении (и(1) ~ ( а. Таким образом, основная задача эквивалентна следующей о п т и м а л ь и о й задаче: в классе измеримых управлений и(1), удовлетворяюсцих ограничению )и(1) ( = сс, найти такое, для котооого решение система! (18) осу!ществляет минимум интеграла ь У = ~ г' (х', у (1)) Ш; л концевые значения х'(а) и х'(Ь), ! = 1, 2, ..., п+ 1, лроизвольнвс. Так как подынтегральная функция интеграла с зависит явно от 1 (через заданную функцию у(1)), то мы введем вспомогательное переменное х"+' = 1, удовлетВоряющее, очевидно, дифференциальному уравнению лклз ' — =1 си Разные злдлчи сгл 4 с начальным условием х"+а(а) =а.
Тогда рассматриваемая оптимальная задача примет следующую с)сорму. В пространстве Л переменных х', хт, ..., х"+, х"+т задано начальное многообразие 5е с уравнением хч+т = = а и конечное многообразие 5с с уравнением х~+т = Ь (каждое из многообразий имеет размерность н + 1). В классе измеримых управлекий и(1), удовлетворяющссх ограничению )сс(1) ~ ( а, найти такое, для которого реисение системы сСх' .з — =х, ссс — = х" +' ~~л вс (19) Ихл+ с — и, ссс Эту задачу (эквивалентную нашей основной задаче) мы и будем решать, для чего воспользуемся теоремами 8 и 3.
Функции Р(х, у) и у(1) мы будем предполагать непрерывно днфференцируемыми. Функция М для рассматриваемой оптимальной задачи имеет вид уй = фар (х', у (х" +~)) + фсх~ + с(с ха + ... ... + с1„х"+'+ Ф,+си + фп+и (20) С помощью этой функции Я' мы составим систему дифференциальных уравнений для вспомогательных игходяи1ее в момент 1ч = а из некоторой точки многообразия 5г и приходяи(ее (в силу последнего уравнения (19), в момент 1с = (с) на многообразие 5с, осуществляет минимум интеграла и $ Р (х', у(х"+'))с(с. сп ПРИМЕНРНИЕ К ЗЛПЛЧЯМ ПРИГЛИЖРНИЯ зз1 неизвестных ~;: дав дл(х1, у(х"+ )) дх' д ~ = — ФО дх' дЛГ дх'-' ) (21) д,Ж дх' 2' даи дь „, д.тд дГ дх"~' ~'1'и+а (выражение для „" мы ие выписываем, так как оно нам не понадобится).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
