Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. все гочки отрезка (а ( 1~ 1ь за исключением конечного числа точек разрыва. Мы продолжим управление и(1) несколько дальше, за правый конец отрезка 1е -= 1 (1ь полагая иЯ = и(1, — О) при 1) 1ь Продолженное таким образом управление и(1) непрерывно в точке 1ь так что 1~ является правильной точкой. Далее, точку т, входящую в определение проварьированного управления (стр.
100), мы теперь будем считать совпадающей с 1ь т. е. положим ~а( т~~(т,~ (... ~~т,~(т Наконец, мы выберем некоторый вектор бш пространства К и через х'(1) будем обозначать (при достаточно малом а) решение системы =1~(х, и*(1), ш,+ абш), ю'=О, 1, ..., н, т. е. траекторию, соответствующую проварьированному управлению и*(1) и смещенному значению ш = гас+ ебш параметра ш. При этом, пинию $(а) мы будем считать выродившейся в точку хм т. е.
будем считать, что решение х*(1) удовлетворяет тому же начальному условию »*На) = хм что и решение х(1). Формулы (21), (22) гл. 2 теперь можно будет записать в виде х*(1, + а б1) = х (1,) + е Ьх + о (а), где Ь» = К(х(1р), и (Е~), гве) б(+ А~, и (О) + 5 + Х А~,, ~,. Ц'(х(т~), по геэ) — Цх(тс), и(тс), шД М~ (8) 1=! (ибо че= О). Обратимся теперь к 5 14. Мы включим вектор бв в символ а, т. е. будем полагать а=(то оо б1п б1, бш) Рлзные 3«дАчп !Гл 4 220 (мы опустили обозначение точки т, так как теперь т = 1~ есть фиксированная точка).
Линейная комбинация символов а определяется так же, как и раньше, только с учетом и последнего аргумента: Л' (..., бгп') + Л" (..., ага«) + ... = (..., Л' бш'+ Л" ага«+ ...). После этого доказательство лемм 2, 3 (прн т=(~) проходит без изменения, а лемма 4 становится просто ненужной (нбо т =1~).
В результате мы получаем конус достижимости Кп, для которого справедлива лемма 3. Рассуждения э 15 также сохраняются (с заменой т на Г~), а предельный конус становится ненужным, так как у нас имеется лишь один конус Ко. построенный как раз в конце х(Г~) траектории х(г') (в силу этого лемма 9 не нужна — опа просто сгодится к лемме 3). Наконец, рассуэггдепия, приведенные в конце э 15, доказывают (прн бш = 0) условия 1', 2'„3' и заключительную часть теоремы 17.
Остается показать, что для выбранного таким образом вектора тг(!) выполняется условие 4'. Положим в формуле (8) И = б(! = Йз = ... = бган — О. Мы получим тогда Лх = А~„с,(0). Согласно сказанному выше (ср. формулы (34), (36) гл. 2), мы имеем (ф(1,), Лх) ( 0 для любого вектора Лх вида (8), и потому (см. (7)) и п «ь н с-оп-~ (7*) Так как этн соотношения справедливы при любых дей. ствительных значениях параметров бгеа, то мы имеем «с ~ Фч(1) ' ' — 'г(1=0 (1=1, 2 ..., т, а ОС, н теорема 17 полностью доказана. $66! ПРИМЕНГИИЕ К ЗАДАЧАМ ИРИШИ!ЖЕИИЯ 221 Заметим а заключение, что если параметр ис может изменяться нс во всем пространстве йх, а ли!пь в некоторой замкнутой областн )сс! с: 1!с, имеющей кусочпогладкую границу, то условия (5) в формулировке теоремы 17 заменяются соотношениями л с! Х ~ ~ (1) д('( ('1 л('1 "',(1(о а да! а-о с, где производная под знаком интеграла берется по лю- бомУ напРавлени!о се, исходЯщемУ из точки !ео и пРоходяшему в области Ю'!.
Иначе говоря, для любой дифференцируемой кривой ц (8), исходясцсй прп 0 = 0 из точки нсо и проходящей и области У1, должно быть выполнено соотношение л Ф (с) д( 1л111'а111'соСВ)1~ Ж(0. 1..а да !6=6 а — ос, Это утвер1кденис непосредственно вытекает из соотноше- ния (7*). 9 26. Применение теории оптимальных процессов к задачам приближения функций 1= 1 Р(х(1), у(1)) Ж а (9) может быть использована для сравнения функций х(1) и у(1).
11Епример, если Г(х, у) = (х — у)6, то интеграл (9) принимает пид ь У = 1 (х(Г) — у(1))'с(1 (9*) а Пусть 11(х, у) — функция, определенная и непрерывная для всех действительных значений аргументов. Тогда для любых двух функций х(1), у(1), заданных на отрезке а ( 1 ( Ь, величина 1гл. А РАзные злдлчи 222 и представляет собой в этом случае квадрат расстояния между элементами х(1) и у(() пространства Ц. (Здесь и далее в этом параграфе все функции аргумента 1 будут рассматриваться на одном и том же фиксированном отрезке а ( 1 ( Ь.) В настоящем параграфе рассматривается решение следующей задачи. Залапы функции г (х, у) и у(1). Кроме того, заданы целое число и =- О и действительное число а ) О. Среди всех и раз непрерывно дифференцируемых функций х(1), заданных на отрезке а с! (Ь и обладающих тем свойствохц что функция хьп(1) удовлетворяет условшо Липшица с константой а, найти такую, для которой интеграл (9) принимает наименьшее значение.
Эту задачу мы будем в дальнейшем называть основной задачей. В частном случае, когда г(х, у) = — (х — у)з (т. е. вместо функционала (9) рассматривается (9*)), а число и равно нулю, мы приходим к задаче нахождения такого многочлена и-й степени х(1), которгяй на отрезке а ( < 1 < Ь имеет наименьшее квадратичное уклонение от заданной функции у(1), т.
е. к классической залаче нахождения коэффициентов Фурье при разложении функции у(1) по многочленам Лежанлра. Таким образом, рассматриваемая основная задача является обобщением этой классической задачи. Прежде всего мы покажем, что при некоторых естественных требованиях, налагаемых на функцию г(х, у), поставленная основная залача вссгла (т. е.
лля любой функции у(1)) имеет хотя бы одно решение, а в случае, когда рассматривается функционал (9*), эта задача имеет (для любой функции у(1)) ровно олно решение. Далее рассмотрен вопрос о нахождении функции х(1), являющейся решением основной задачи. Для нахождения решения используется принцип максимума. В качестве примера приведена «задача о нахождении профиля дороги».
Вопрос о с у щ е с т в о в а н и и решения основной задачи (а в частном случае (9") и вопрос о единственности решения) рассматривается в нижеследующей теореме. Т е о р е м а 18 Пусть функция г (х, у) определена и непрерывна для всех действительных значений аргумен- 3 а)) пгимншпия к злдлчкм птивлижвния 223 тов х, у и обладает тем свойством, что при изменении у на любом конечном отрезке функция Р(х, у) равномерно (по у) стремится к + со, когда х — » ~ оо. Тогда основная задача имеет хотя бы одно решение для любой непрерывной функции у((). Если, в частности, Е(х, у) =— = — (х — у)г, то поставленная задача имеет для любой функции у()) ровно одно решение.
Множество всех действительных и раз непрерывно дифференцирусмых функций х(1), заданных на отрезке а (1~ Ь и обладающих тем свойством, что их и-е производные х)")(1) удовлетворяют условию Липшица с константой а, мы обозначим через 0~"). Таким образом, включение х ~ 0'"' означает, что функция х()) задана на отрезке [а, Ь1, имеет на этом отрезке и непрерывных производных и удовлетворяет неравенству ! хьа(У) — х)ь)(1") !(а! (Р— 1" [ для любых точек 1', б» отрезка [а, Ь1. Множество й,"), очевидно, содержится в банаховом пространстве Сы м всех непрерывных функций, заданных на отрезке [а, Ь).
Основная лем м а. Множество О, является зам)ь) кнут)ям выпуклым локально компактным подмножеством пространства Сы, ы Любое замкнутое ограниченное мно)ю жество, содержащееся в Я,, компактно. Эта лемма известна. Она, например, легко вытекает из теоремы 3.5.1, приведенной на стр. 127 книги Л, Ф. Тимана «Теория приближения функций действительного переменного», Физматгиз, М., 1960. В самом деле, обозначим через Хя множество всех функций х ен ьг,"', удовлет. воряющих условию ))х))с ~ Й, а через Хяи — множество всех функций вида хп)(Г), где х~ Хя.
Цитированная выше теорема утверждает, что множества Хя, Хя, )и ..., Хя «компактны в пространстве Срмь)», т. е. замыкаы) пия этих множеств в пространстве С),ь) компактны. Если х — произвольная предельная точка множества Хя, то существует последовательность х), хм ... элементов множества Хя, сходящаяся к х. Переходя, если нужно, к подпоследовательности, мы можем считать (в силу того, что И) замыкание множества Хя компактно), что последова- [ГЛ. 4 РАЗ!1ЫЕ ЗАДАЧИ тельпость х',", х!1', ...
является сходящейся, 1= 1, 2, ..., а. Из этого, в силу теоремы об интегрировании равномерно сходящихся последовательностей, следует, что фупкпия х(1) имеет пепрерывныс производные порядков 1 = 1, 2, ..., и, причем х1о есть предел последовательности х1", х1", ... В частности, х1"1(1), как предел последовательности х',"', х;,,"', ..., удовлетворяет условию Липшица с константой а, н погому х ~ <1~,"'. Итак, множество Хн замкнуто, и, следовательно, компактно. Выпуклость множества Ы)м очевидна. Таким образом, основная лемма доказана. Дока за тел ь с т во т со р е м ы 18.
Обозначим через! отрезок, которому принадлежат значения функции у(1) при 1ен(а, (1). Так как прн ус: — ( функция г(х, у) равномерно по у стремится к + оо, когда х- ~ со, то функция Г(х, д) ограничена снизу при уен ( и любом х. Поэтому существует такое неотрицательное число й(, что л(х, у)) — Ф при д~( и любом х. (10) Выберем произвольные попарно различные точки ав, а1...,, а„, расположенные внутри отрезка (а, 61, и обозначим через гр1(1) многочлен степени п, принимающий значение 1 в точке аг и значение О в остальных точках а,. Обозначим, далее, через р настолько малое положительное число, что па интервале (, длины р с центром в точке а, (1 = О, 1, ..., а) многочлеп фг(1) принимает 2 значения, большие —, а все остальные мпогочлены гр;(1) ! принимают значения, по модулю меньшие —.
Накопе1ь Зл через А обозначим такое положительное число, что )гр1(1) ) ( А при 1я (а, Ь), 1 = О, 1, ..., п. Пусть теперь х(1) — произвольная функция, принадлежащая множеству ь? ', и !!х!1= гпах )х(1)1 — ее норма а~Ь~Ь в пространстве С1,,ь!. Обозначим через 1р(1) многочлен степени и, удовлетворяю1ций условиям ха1(а) = ф'>(а), 1= О, 1, ..., и. Тогда функция х,(1) = х(1) — гр(1) ,удовлегворяет условиям х" ,(а) = О, 1 = О, 1, ..., а. % м! ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ПРИБЛИЖЕНИЯ еей Кроме того, мы имеем х!л! (1) — х!л! (1) х!л! (а)— [х'л1(г) х!л!(а)] [ф!л!(1) ф!л>(а)] х!л1(1) х!л! (а) (нбо ф!л!(1) есть константа). Так как функция х!"!(1) удовлетворяет на отрезке [а, Ь] условию Липшица с константой а, то при любом 1ее[а, Ь] [ х<л'(1) [ = ! х'л' (1) — х!л'(а) ! (а (1 — а) (а (Ь вЂ” а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
