Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Например, мы могли бы начать рас. смотрение движения в момент, когда управляющий параметр о уже принял значение ее. Тогда мы получили бы, что параметр о в течение времени, ие превос ходя- и потомУ отРезок вРемени [ть те1, в течение котоРого Управляющий параметр о принимает значение е„имеет длину Г а,с, а,с, 1 ае т, — т, = ~1п — — !п — ~ = — 1п —. (58) Л,— Л,~ с, ег Л1 — Ле !83 пг11мегы ч В! щего 7, находится в вершине ем после чего переключается в вершину еа Точно так же могло бы оказаться, например, что движение закончилось (попаданием в начало координат) до момента переключения из вершины е, в вершину еа. Иначе говоря, если управляющий параметр о совершает меньше двух переключений, то время пребывания его в вершине е2 не и р е в ос х од и т Т (причем переключение но>кот происходить либо из вершины е~ в вершину вь либо нз сх в ез), >г Теперь у>ко нетрудно построить па плоскости л «лпнпп переключения», опреде- ~г лающие синтез <>птнмальных Р управлений.
Наметим сна- г У чала траектории, соответст- е' ву!ощие д в у м персключс- У ниям. Заключительный этап движения на таких траекториях соответствует значению параметра о = ем т. е. движение происходит по дуге АО траектории системы (56),, оканчивающейся в начале координат (рис. 56). Перед попаданием па лини>о А АО движение происходило в силу системы (56)ь Таким образом, АО есть линия переключения из вершины ез в вершину е,.
Пусть Х вЂ” нскоторая точка линии АО. Тогда предшсству>ощий точке Х участок УХ оптимальной траектории представляет собой дугу траектории системы (56)м соответствующую отрезку времени Т (рис. 57). Так как решения системы (57) имск>т вид р'=сев', дз= — с,ех', то в результате движения точки по траектории этой системы в течение времени Т сс абсцисса умножается на ежг, а ордината — па е'*г. Система же (56)з отличается от системы (57) только сдвигом положения равновесия.
Таким образом, точки Х получаются из соответствующих точек У (рис. 57) с помощью аффинного преобразования !8! лнньнныв оптимлльныв выстгодвнотвня [гл. » С, которое в системе координат с началом в точке е' (см, (55)) и осями, параллельными осям у', д», заключается в умножении абсциссы на е'г, а ординаты — на емг. Следовательно, геометрическое место точек У представляет собой линию СВ, переходящую в линию АО при аффиниом преобразовании Л (рис. 58), Наметив еще линию ВО, представляющую собой дугу траектории системы (56)м оканчивающуюся в начале координат и соот- ветствующую отрезку вре- уЯ мени Т, мы найдем, что вся «полоса» АОВС заполнена кусками траекторий системы (56) м начинающимися на 0 рк линии СВ, кончающимися на линии АО и соответствуюа» а~ шими отрезку времени Т.
Итак, геометрическим местом точек У, в которых происходит переключение из вершины е~ в вершину ем служит линия СВ. До точки У движение совершалось по траектории системы (56) ь В результате мы получаем траектории, соответствую» щие д в у м переключениям (рис. 59). «Крайняя» траекРас. 68.
тория РВО на рис, 59 соот- ветствует од н о м у переключению — фазовая точка попадает в начало координат как раз в тот момент, когда должно было бы произойти второе переключение (из вершины е» в вершину е»). Рассмотрим теперь траектории, соответствующие одному переключению из вершины е1 в вершину е» Заключительный этап движения происходит в этом случае по траектории системы (56)» в течение времени, не превосходящего Т, и оканчивается в начале координат, т. е.
Д п оисходит по некоторой части «,О линии ВО (рис. 60). о точки Х движение происходило в силу системы (56)ь Когда точка 2 пробегает всю дугу ВО, траектории указанного вида заполняют «полосу» РВОА' (рис. 61), где ПРИМЕРЫ зхн А'Π— траектория системы (бб)ы оканчивающаяся в на. чале координат. Объединяя все полученные оптимальные траектории, мы находим, что вся часть плоскости слева от линии Рис.
59. Ркс. 60. АОА' заполняется ими (рис. б9, 61). Очевидно, что линия А'О симметрична линии АО относительно начала координат. Оправа от линии АОА' поведение траекторий симметрично, а переключения происходят из вершийы еа в вершину ев а затем в зь В результате синтез оптимальных 1ва лингиныв оптимлльныв Быстгодеиствия 1гл. 3 управлений осуществляется во осей плоскосги (рис. б2). Вид оптимальных траекторий показан на рис. б3. При переходе от переменных р', у' к переменным х', хз картина оптимальных траекторий аффипно искажается. Пример 3 (Случай, когда многогранник сг является одномерным, а собственныс значения матрицы (а'.) действи- ! тельны.) Рис.
61. Рис. 62. Предположим, что и системе (1) г 1, т. е. управляющий параметр и является действительным числом; предположим, кроме того, что это число может изме. $21! ПРИМГРЫ нягься в пределах — 1 < и(1. Таким образом, многогранник У представляет собой в рассматриваемом слу. чае отрезок ! — 1, 11 числовой оси, а система (1) принимает внд Р д, — — ~ а',х'+Ь'и, ~и!~(1, 1=1, 2, ..., и. (59) ! Предположим, наконец, что собственные значения матрицы (а*) действительны. Тогда, согласно теореме !О, ! Рис. бз. оптимальное управление содержит пе более а интерва. лов постоянства, причем на этих интервалах поочередно и=+1 и и= — 1. !63 липеиныв оптимлльные выстгодействня игл.
3 Иначе говоря, па каждом интервале постоянства движение происходит в силу одной из двух следующих систем: — а!х~+ Ь', 1=1 2, ..., и, (60) !Гх' т ! ш — 2. + и!х' — Ь', (=1, 2, ..., и. (60) и=1 Обозначим через М„+ траекторию системы (60)+, оканчнва!ощуюся в начале координат, а через М,— траекторию системы (60), оканчивающу!ося в начале координат.
Вместе М+ и М„составляют проходящую через начало координат линию, которую мы обозначим Ряс. 64. через М„(рис. 64). В силу сказанного выше о характере оптимальных управлений ясно, что заключительный этап оптимального движения (заверша!о!цийся попаданием в начало координат) представляет собой движение по линии М~ или М„. Рис. 65. Рассмотрим теперь всевозможные траектории системы (60),, оканчивающиеся в точках линии М„(рис. 66). Эти траектории заполняют некоторую поверхность М„!, имеюшую в качестве своего края линию М„.
Аналогично, траектории системы (60), оканчивающиеся в точках ли- э зц ПРИМЕРЫ нии М, заполняют некоторую поверхность М„„имеющую в качестве своего края линию М . Объединив М,+, ~ и М„:~ вместе, мы получаем поверхность, которую обозначим через М 1 (рис. 66). Ясно, что последние два этапа всякого оптимального движения совершаются по поверхности М ь ибо только по траекториям этой поверхности можно попасть па линию М, по которой совершается заключительный этап движения, Далее, трасктории системы (60)+, оканчивающиеся в точках поверхности М„„образуют трсхмерное многообразие М+, краем которого служит поверхность М ь Траектории системы (60), оканчивающиеся в точках поверхности М„+ ь образуют трехмерное многообразие М„:з с краем М„, Вместе М,+, е и М...
образуют трехмерное многообразие М м в котором совершаются последние три этапа всякого оптимального движения. Продолжая таким образом, мы построим многообразия М„, М„„..., Мь причем мпогообразне М; имеет размерность и — (+ В Многообразие М;+1 расположено целиком в многообразии М~ и разбивает это многообразие на две области М; и М~ .
При этом область М,+ образована всевозможными траекториями системы (60)+, оканчивающимися на М;.еь а область М~ образована всевозможными траекториями системы (60), оканчивающимися на М~+и Последнее многообразие М, либо совпадает со всем фазовым пространством К, либо 190 линейные Оптимхльные БыстРОдейстВия [гл.
э представляет собой некоторую область этого пространства, содержащую начало координат. Внутри этой области М1 и осуществляется синтез оптимальных управлений. Этот синтез осуществляется следующим образом: во всех областях М; управляющий параметр и принимает значение +1, а во всех областях М; оп принимает значение — 1, Фазовая точка двигается в области Мь причем и = +1, если она находится в М1,и и = — 1, если она находится в М~ . В момент попадания на многообразие Мт происходит перскл|очение, и исе дальнейшее движение совершается по многообразию Мь Следующий момент переключения наступает тогда, когда точка, двигаясь по М,, попадает на многообразие Мм После этого точка продолжает двигаться по Мз и т.
д. Заключительный этап движения, завершающийся попаданием в начало координат, происходит по линии М„. Таким образом, всего за время движения происходит а — 1 переключений. Разумеется, при некоторых начальных положениях фазовой точки число переключений может оказаться и меньшим, чсм п — 1 (например, может оказаться, что точка хс расположена на многообразии Мм или же на многообразии Мз и т. и.).
Пример 1 в 5 б является частным случаем указанного общего построения. Пример 4 Поставим следующую задачу. В и-мерном евклидовом пространстве движется управляемая точка, причем «двигатель» ее может сообщать этой точке ускорение, ие превосходящее по модулю единицы и направленное в любую сторону. Как следует управлять движением этой точки, чтобы, имея заданное начальное положение и заданную начальную скорость, она за кратчайшее время попала в начало координат (с произвольной конечной скоростью)? Для решения этой задачи обозначим координаты движущейся точки через х', х~, ..., х", компоненты ее скорости — через х"+', ..., х'", а компоненты ускорения— через и', ..., и". Массу точки примем равной единице. ]9! пгпмегы т 2]] Тогда уравнения движения точки запишутся в виде — — = хл+', их' и! ХХ2 л! — Хл+2 лхл — !„-2л л! (61] л+! — =и' л! ,! л]2 — =и-, и! л 2л — = и".
а! Так как ускорение и = (и',, ил) должно по модулю пе превосходить единицы, то область управления (/ определяется неравенством (и!)2+ (и2)2+ .. + (]2")2(1 (62) Далее, так как начальное положение и начальная скорость точки заданы, то в фазовом пространстве Х пере- МЕПНЫХ Х', Х', ..., Х", ..., Ххл ЗадаНО НаЧаЛЬНОЕ ПОЛО- жение хл = (х,', ..., х'"). Требование попадания в начало координат (с произвольной конечной скоросгью) означает, что в конечный момент движения должны быть вьгполнеиы соотношения х'=х'= ... =х" =О, (63) а величины х"+',, ххл могут быть произвольными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
