Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 23
Текст из файла (страница 23)
3 а м е ч а н и е. До снх нор мы использовали только условие 1', указанное в теореме 2 (т. е. формулу (20) гл. 1). Условие же 2' (т. е. соотношение (21) гл. 1) мы нигде не использовали. Нетрудно видеть, однако, что при выполнении предположений теоремы 12 равенство (2!) гл. 1 выполняется автоматически. В самом деле, в силу соотношений (4), (6), (27) и соотношения (20) гл. 1, имеем М (Ф (1,), х (1,)) = Н (ф Я, х (1,), и (1,)) = =('Ф(1~) Ах(1,))+(ф(1,), Ви(1,))= =(Ф(1,), Ах,)+Р(ф(1,))=Р(~(1,)))0 тяогемы сжцествовкния 14У 4 м1 9 !9. Теоремы существования Т е о р е м а 13. Если для процесса, описываемого уравнением (2), существует «отя бы одно управление, переводящее фазовую точку из положения хе в положение хь то существует и оптимальное управление, переводящее фазовую точку из положения хе в положение хь (Как всегда, мы предполагаем выполненным условие общности положения.) Доказательство.
Мы должны предполагать, что задан некоторый класс Р допустимых управлений и что в классе Р существуют управления, переводящие фазовую точку из положения х„в положение хь Обозначим через Р „наибольший класс управлений, т. е. множество всех измеримых управлений (со значениями в !/), а через Р ы — наименьший класс управлений, т.
е. множество всех кусочно-постоянных управлений (со значениями в У). Таким образом, Р,„~ Р ~ Р ы. Докажем прежде всего, что в классе Р „существует оптимальное управление, переводящее фазовую точку из положения хе в положение хь Обозначим через а совокупность всех управлений класса Р~,, переводящих фазовую точку из положения хч в положение хь Множество Л непусто, так как, по предположению, в классе Р (а значит — и в Р„„,) существуют управления, переводящие фазовую точку из положения хе в положение х,. Каждому управлению и(1) ~ Ь соответствует время перехода (из положения хч в положение х~). Нижнюю грань всех таких времен при и(1) е=-Л обозначим через 1' и докажем, что существует управление и'(1)„ переводящее точку х, в точку х, за время 1*.
Ввиду возможности производить сдвиг времени (см. условие 3) в $10), мы можем ограничиться рассмотрением лишь таких управлений, которые заданы на отрезках вида О<1< 1ь Выберем из множества Л такую бесконечную после. довательность управлений (ид(1)), заданных соответственно на отрезках О » 1 < 1ь (й = 1, 2,...), что имеет место равенство Игп ~а =1. А-» е 146 лиг!ейные оптимАлъг(ни Быстродеистиия (гл. э Обозначим через хв (1) траекторию, соответствующую управлению ил(1) и исходящую в момент 1= О из точки хо., тогда ха(1ь) = х!.
Мы имеем л и 'а в у ', рэ — в. (ь!! (~ ~- ) (! в(, в,, в(! ж)-в а-вы т ! (ибо второй множитель под знаком суммы ограничен, а первый стрсмится к нулю); точно так же и л 'ь и у, в,е>(! !в ВГ вв В!!а)-о а.+ т ! Из этих соотношений следует, что в (* - Е.,!г!(и-ь((в" в(, в.з(! )= О I 'а - и 1' В„(А)(Ч -Ь ( (В" (О. В!в,т)(а)- ! О 11гп ха (Ка) = х, (29) а.+аа (см. (22)). Рассмотрим теперь гильбертово пространство Еэ всех измеримых функций с интегрируемым квадратом, заданных на отрезке О ( 1:== 1*.
Управление ид(1) есть вектор-функция; г-ю координату этой вектор-функции обозначим через и' (1). Функция и'„(У), рассматриваемая На ОтрЕЗКЕ О ( 1 ( 1", ПрИНадЛЕжИт ПрОСтраНСтВу в'.Э (оиа измерима и ограничена). Совокупность всех функ ций и'„(1), л= 1, 2, ..., при каждом фиксированном !(= 1,2,..., г), очевидно, принадлежит некоторому шару пространства !'.э, и потому из нее можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность '). Мы будем в) См., например, Л. А. Л востер ннк и В. И. Собинин, Элементы функционального анализа, Гостехиздат, М, — Л„ 1951, сгр. 194 — 196. 149 тгоргмы сюпягтвовхнлля 4 Щ просто считать, что сама последовательность и'(1), и'(1) ..., и' (1), ...
(30) слабо сходится к некоторой функции и'(1), 1= 1, 2, ... ..., г. Докажем теперь, что вектор-функция й (1) = (и' (1), и' (1), ..., и' (г)) почти для всех значений 1 удовлетворяет условию и" (1) ен К Возьмем какую-либо (г — 1)-мерную грань Г Г многогранника У и пусть Л(и)= ~ Ьрир — такая линейр ! ная форма переменных и', ио, ..., и", что уравнение несущей плоскости грани Г имеет вид Л(и)= Ь, а сам многогранник У расположен в полупространстве Е(и) ( Ь. Пусть, далее, т — множество всех точек 1 отрезка (0,1*), для которых Ь(и*(1)) ) Ь, а о(1) — характеристическая функция множества т.
Эта функция измерима и ограничена (т. е. принадлежит йо) и потому, в силу слабой сходимостн последовательностей (30), мы имеем ! пп ~ о (1) (Е (и" (Х)) — Е, (ио (1))) гй = О. о Так как, далее, Е(и'(1)) — Е(иь(1) ) ) 0 на множестве т (нбо Е(ио(1)) ( Ь), то глез т ° О. Итак, почти для всех 1, принадлежащих отрезку 0:;: 1 я"., 1'„точка и'(1) лежит в том же полупространстве Е(и) ( Ь, что и многогранник К Так как это рассуждение применимо к любой грани Г многогранника У, то и'(1) е= У почти для всех 1, Так как изменение значений функции и'(г) на множестве меры нуль не нарушает слабой сходимости последовательностей (30) к функциям и'(1), 1 1, 2, ..., г, то мы можем без ограничения общности считать, что и'(1) я.
:0 при в с е х 1, 0 а 1 л;~ 1 . Из соотношения (29) в силу слабой сходимости последовательностей (30) следует !50 линвиныа оптимкльныв выстеодепствия 1гл. з Таким образом, и*(Г) является измеримым оптимальным управлением, переводящим фазовую точку из положения хь в положение хь т. е. в классе 0„ях существует оптимальное управление. В силу теоремы 2 (см.
также теорему 8) отсюда вытекает существование такого нетривиального решення >(>(1) уравнения (5), что (см. (6)) почти всюду на отрезке О ( 1 ( 1* (ч> (1), Ви'(1)) = Р (~)> (1)), Следовательно, согласно теореме 9, управление и'(1) можно считать (изменнв его на множестве меры нуль— что не нарушит его оптимальности) кусочно-постоянным. Таким образом, управление и'(1) принадлежит классу 0 ы, а следовательно, н классу О.
Оно осуществляет перевод фазовой точки из положсння хь в поло>кение х~ за наименьшее время по сравнению с любымн управлениями класса 0ы„, а потому и по сравненню с любыми управленнями класса О. Итак, в классе 0 существует оптимальное управление, и теорема 13 доказана. 3 а м е ч а н и е. Если заданный класс 0 допустимых управлений совпадает с классом 0 „„всех измеримых управлений, то, как видно нз доказательства, в формулировке теоремы 13 можно не требовать выполнения условия общности положения (это условие требуется лишь в связи со ссылкой на теорему 9). Т е о р е и а !4.
Предположим, что в уравнении (2) оператор А устойчив, т. е. все его собственные значения имеют отрьщательнь~е действительные части, и что начало координат пространства Е, является внутренней точкой многогранника К (Условие общности положения по-прежнему предполагается выполненным.) тогда для любой точки хь е= Х существует оптимальное управление, переводящее фазовую точку из положения хь в начало координат О ~ Х. Д о к а з а тел ь от в о. Докажем прежде всего, что существует окрестность !' начала координат О пространства Х, каждая точка хо которой может быть при помощи некоторого управления переведена в О. (Прн доказательстве этого утверждения устойчивость оператора А не используется.) теогеыы сугцггтвовлния $ и! Обозначим через Ф(!) матрицу, столбцами которой служа> координаты векторов ф>(!), ..., ф (!) (см (20)) т. е. Ф(!) = (гр,'. (!)).
Так как векторы (20) образуют фундамсптальпуго систему решений уравнения в>х — =Ах д! и удовлетворя>от условиям ф!(О) =Ь! (мы считаем, что ! ! 1, = О), то имею> место соотношения = АФ (!), Ф (О) = Е, откуда получаем Ф(!) =е'". Далее, обозначим через Чт(!) матрицу, строками которой служат координаты векторов >(>1(!), ..., >)>" (!), т. е. Чг (г! = (ф>! г!)). Соотношение (21) записывается теперь в виде Ч" (!) Ф(!) = Е, откуда Ч! (!) — е-!А Полученные выражения для матриц Ф(!) и Чг(!) позво- ляют переписать ранено~во (22) в виде здесь х(!) — траектория, соответствующая управлению и(!) и исходящая в момент ! = 0 из точки хв.
Выберем тспсрь в !/ такой вектор о, чтобы вектор — о также принадлежал !l и чтобы вектор Ь= Во не принадлежал никакому истинному подпространству пространства Х, инвариантному относительно оператора А. Такой вектор о сушествует в силу того, что начало координат пространства Е„ является внутренней точкой многогранника У и выполнено условие общности положения. При досгаточно малом положительном е операторы А и е 'А имеют совпадающие инвариантные под- !32 липпиныв оптнмлльнып выстродеистиия 1гл. з пространства*), и потому векторы е «лй, е г«лЬ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
