Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Следовательно, для любого 1~М функция (7) переменного и постоянна на грани Г. Пусть ио и иг — векторы, идущие из начала координат (пространства Е ) в концы некоторого ребра грани Г, так что вектор ге = и,— и, имеет направление этого ребра. Тогда при 1е= М мы имеем (в силу постоянсгва функции (7) па грани Г) (т)г (1), Впг) = (тр (1), В (и, — ио)) = (т)г (1), Ви,) — (тР (1), Вио) = О. (8) Пусть теперь Ь', Ьа, ..., Ь" — координаты вектора Ваг (велнчины Ьг, Ьа, ..., Ь" постоянны, так как гав вполне определ еипое ребро многогранника У). *) Сам многогранник бг мм гак ке считаем его (несобственной) гранью.
~зв лннгииыа оптимхльныа выстгодвнствия [гл. з Тогда (ф(г), Вш)=Ь'ф,(г)+Ь'ф.,(г)+ ... +Ь"ф„(г). (9) Так как функции ф(1), фз(1), ..., ф (Е) составляют решение ф(1) уравнения (5) с постоянными коэффициентами, то они аналнтичны, и потому функция (9) также является аналитической. Для любого 1енМ (т. е. для бесконечного множества значений 1) аналитическая функция (ф(1), Вш) переменного С обращается в нуль (см. (8)), и потому на всем отрезке (э<1(1~ имеет место соотношение (ф(1), Во4 = О.
(10) Последовательно дифференцируя это соотношение по 1, мы получаем (в силу того, что Ф(1) есть решение, уравнения (5)) (А'ф(1), Вш) = О, (А"ф(1), Вш) = О, (А " ф (1), Вш) = О, или (в силу соотношения (х, Ау) = (А'х, у), справедливого для любых векторов х, у) (ф(1), АВш) =О, (ф(1), Л'Во) = О, (1 !) (ф(1), А" 'Втв) =О.
Так как, в силу условия общности положения, векторы (3) образуют базис пространства Х, то соотношения (10), (11) означают, что при любом 1, 1ч ( 1 ( 1ь вектор ф(1) ортогопален ко всем векторам некоторого базиса и потому равен нулю, что, однако, противоречит предположению о нетривиальности решения ф(1). Итак, для всех, кроме конечного числа, значений 1, 1ь ~ 1(1ь функция (7) достигает (на У) максимума лишь в одной точке, являющейся вершиной многогранника У. Отсюда, в силу (6), следует однозначная опре* деленность функции и(1) (см.
сноску на стр. 134). теоРемъ1 о числе пеРеключений $»п Далее, выколов точки неоднозначной разрешимости уравнения (»р(У), Ви) =Р(»р(У)), (12) мы разобьем отрезок», ( Х ( Х» на конечное число частей. Нетрудно видеть, что на каждой из этих частей функция и(У) постоянна, В самом деле, пусть Х вЂ” одна из этих частсй (она может быть интервалом, полуинтервалом нли отрезком), Пусть е», ег, ..., еч — все вершины многогранника (У. Обозначим через М», » = 1, 2, ..., »у, множество тех точек У ее У, для которых решением уравнения (12) является точка еь Тогда М», Мь ..., Мч являются, согласно сказанному выше, попарно не пересекающимися множествами, дающими в сумме У (некоторые из этих множеств могут оказаться пустыми).
Мы сейчас покажем, что каждое нз множеств М» открыто на У, откуда (в силу связности множества Х) будет вытекать, что все множества Мь кроме одного, пусты, так что решение уравнения (12) постоянно па У. Тем самым теорема 9 будет полностью доказана. Пусть У ее Х вЂ” произвольная точка множества М», так что (»р(У), Ве») = Р(»э(У)) и (»р(У), Ве;) (Р(»р(У)) при Так как каждая из функций (»)»(Х), Ве»), 1 =1, 2, ..., »Х, непрерывна на Х, то во всех достаточно близких к У точках множества У имеет место неравенство (»р(У), Ве»))(ф(У), Ве») при У'эь й Иначе говоря, все достаточно близкие к У точки множества Х принадлежат множеству Мь т.
е. М» открыто на У. Теорема 9 доказана. Итак, согласно теореме 9, каждое оптимальное управление должно быть кусочно-постоянной функцией со значениями в вершинах многогранника (У. Каждую точку разрыва оптимального управления мы будем называть также точкой переключения. Более полно, если У' — точка разрыва оптимального управления и(У) и если и(р — 0) =е», и(У'+0) =е, (где е» и е» вЂ” различные вершины многогранника (/), то мы будем говорить, что при у = р происходит переключение оптимального управления и(1) из вершины е» в вершину еь Теорему 9 можно теперь кратко охарактеризовать как теорему о конечности числа переключений.
Ясно, что в 1ЗВ линейные оптимальные БыстРОдейстВия !Гл. 3 каждом конкретном случае число переключений зависит от значений коэффициентов системы (1), от вида многогранника У и от выбора точек х,,хь С этой точки зрения интересно сравнивать между собой и р и м е р ы 1 и 2, приведенные в ~ 5. В примере 1 при любом начальном положении х, оптимальное управление и(1) имело не более одного переключения (т. е.
имелось не более двух интервалов постоянства управления и(1)), в то время как в примере 2 число переключений неограниченно увеличивается прн удалении точки хь от начала координат (хотя для каждого ф и к сиро ва и и ого значения хь число переключений конечно). С чем связано это существенное различие оптимальных управлений в двух указанных примерах? Как показывает нижеследующая теорема 10, в своем первоначальном виде принадлежащая А. А. Фельдбауму, это различие связано с тем, что в примере 1 матрица системы имеет д е й с т в и т е л ь н ы е собственные значения, а в примере 2 — к о м п л е к си ые. В теореме 10 мы пе будем рассматривать общий случай произвольного выпуклого многогранника У, а ограничимся лишь следующим случаем, весьма важным в приложениях.
Именно, мы будем считать, что многогранник 0 представляет собой параллелепипед, определен. ный в пространстве Е, переменных и', иг, ..., и" неравенствами о,~(и'~(рь, р=1. 2, ..., г. (13) Иначе говоря, мы будем рассматривать случай, когда каждая из величин иь в уравнениях (1) представляет собой отдельный управляющий параметр, область изменения которого не зависит от значений остальных управляющих параметров и задается неравенством (13). Условие общности положения (стр. 133) мы по-прежнему будем предполагать выполненным.
Теорем а !О. Предположим, что область управления У представляет собой параллелепипед (13) и что все собственные значения матрицы (а,'. ), составленной из коэффициентов уравнения (1), действительны. Тогда для каждого нетривиального решения ф(1) уравнения (5) соотношение (6) однозначно определяет управляющую ТРОРемы О числе пеРеключении 1ЗЗ зсл функссссю и(!) = (и'(!), ие(!), ..., сс"(!)); при этом оказьсвается, что каждая из функссий ир(!), р = 1, ..., г, кусочно -посжсянна, принимает только значения ар и 11„ (см. (13)) и имеет не более п — 1 переключений (т.
е. не более и интервалов постоянства), где и — порядок системы (1). Дока зател ьс т в о. Функция (7) в координатной форме записывается следу!оспин образом (ср. (4)): г л !л!с!, р )= Х (Х Ф, (с!ь, ). р ! л=! Для того чтобы эта функция принимала максимальное значение, необходимо, чтобы каждая из функций (14) 2, ф (!)Ь!'иР, р =1, 2, ..., г, Р Р принимала максимальное значение (ибо область изменения каждой из величин и', ..., и" не зависит от значений остальных).
Из этого, как мы сейчас покажем, и вытекает, что величина ир принимает только значения ар и ()р и имсет ие более и — 1 псрсключений. Очевидно, что соотногасния и' =а! при с чь р, а - 'сср(()р определяют одно из ребер параллелепипеда (7. Направление этого ребра определяется вектором пс =(О, О, ..., 1, ..., О), где единица стоит на р-м месте. Таким образом, вектор Впс имеет вид Вас =(Ьр, Ьр, ..., Ь,",), н потому И (!), Вю) = Х Ь, (!) Ь",, (15) Если бы эта функция тождественно равнялась нулю, то, как н при доказательстве теоремы 9 (ср.
(10), (11) ), мы получили бы ф(!) ~ О, что противоречит условию 140 линаиныв оптимхльныя выстгодапствия [гл, э теоремы. Таким образом, функция (15) при любом р = 1, 2, ..., г не равна тождественно нулю и, следовательно, как аналитическая функция, обращается в нуль лишь в конечном числе точек, а функция (14) получается из функции (15) умножением на ио. Так как функция (14) должна достигать максимума, то величина ия должна принимать значение и, если функция (15) отрицательна, и значение 1)р, если функция (15) положительна.
Иначе говоря, точками переключения для управляющего параметра ив могут быть только те значения 1, в которых функция (15) обращается в нуль. Таким образом, теорема 10 будет полностью доказана, если мы установим, что функция (15), т. е. не равная тождественно нулю линейная комбинация функций Чч (1), ~р,(1), ..., ф„(1), имеет не более чем и — 1 действительных корней.
В силу известных теорем о линейных уравнениях с постоянными коэффициентами, каждая нэ функций ф(1), фз(1), ..., ф„(1), составляющих решение уравнения (5), имеет вид ~,(1)е +1,(г)в' + ... +1 (г)в, (16) где )ч, Хм ..., ) — все попарно различные собственные значения матрицы — А', а ~,(1), 1з(1), ... „~ (1) — много- члены, причем степень многочлена ~~(1) меньше, чем кратность собственного значения 4. Следовательно, линейная комбинация (15) функций Чч(1), фз(1), ..., ф„(1) также имеет вид (16). Все числа )ч, Хп ..., 1 действительны (ибо по условию все собственные значения матрицы А, а значит и матрицы — А' действительны). Если мы обозначим кратность собственного значения Х; через г~ (так что г'~+гз+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
