Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 22
Текст из файла (страница 22)
+г, =и), то тогда степень многочлена ~~(1) не превосходит числа гч — 1, и потому, в силу доказываемой ниже леммы, число действительных корней функции (16) не превосходит числа (г,— 1)+(гэ — 1)+ ... +(г — 1)+т — 1 г!+гэ+ - ° ° +г 1 и — 1 Тем самым теорема 10 полностью доказана. Лемма. Пусть Ь, )ч, ..., 3 — действительнав попарно рааличньи числа, а ~~(1), 1зЯ, ..., 1 (1) — мноао- ТГОРЕМЫ О ЧИСЛЕ ПЕРЕКЛЮЧЕНИИ 14! члены с действительными коэФФициентами, имеющие степени йь й,, ..., й соответственно.
Тогда Функция ~~(1)е '~+ Гг(1)е У-!- .. +( (1)ее'"~ (17) имеет не более чем й1 + йг+ ... + А + т — 1 действительных корней. Доказ атель ст во. При т = 1 лемма, очевидно, справедлива, нбо функция 7',(1)емг имеет те же корни, что н функция ~~(1) н потому имеет не более чем А~ действительных корней. Предположим, что лемма уже доказана для случая, когда в формуле (17) имеется меньше, чем пг слагаемых, и докажем сс для случая пг слагаемых. Допустим, что лемма неверна н функция (17) имеет по крайней мере йг+йг+ ...
+й + тп действительных корней. Умножив функцию (17) на е '" (что не изменит ее'корней), мы получим функцию (1) е( ! М) + + 1 (1) е( ы-1 ы) + 7 (1) (18) которая также имеет по крайней мере к, +йг+ ... +' ,'+й +т действительных корней. Так как между каждыми двумя действительными корнями функции лежит по крайней мере один корень ее производной, то (й + 1)-я производная функции (18) имеет по крайней мере (й! +... + й +т) — (й + 1) = й, + ... + й, + (т — 1) действительных корней. Но (Й„, + 1) -я производная функции (18), как нетрудно видеть, имеет вид К~ (1)е( ~ ) + кг(1)е( ) + ... +д,(1)е( -г ы), (19) причем числа Л~ — Л, Лг — Л, ..., Л 1 — Л, очевидно, попарно различны, а степень многочлена дг(!) по-прежнему равна йь Согласно предположению индукции, функция (19) имеет не более й1 + нг+ .. +Й г+ (т — 1)— — 1 действительных корней, вопреки тому, что было сказано ранее.
Полученное противоречие и завершает индукцию. Таким образом, лемма доказана. [4э. Линеичне оптимхльные выстгодеиствия [Гл. 3 В 18. Теоремы единственности Решим уравнение (2), как неоднородное, методом вариации постоянных. Для этого обозначим через !р!([) ч!з([) ' ч.([) (20) фундаментальную систему решений однородного уравнения с1х — =Ах, л! удовлетворяющую начальным условиям [р'(г„) =б', а через !г'([) Ф'(1) ° °" Ф" (1) — фундаментальную систему решений однородного уравнения (5), удовлетворяющую начальным условиям !)![[([) = б!. Легко видеть, что для всех 1 имеет место соотношение (ф[(1), [Р, ([))=б[, !', 1= 1, 2, ..., п.
(21) В самом деле, в силу выбора начальных условий это соотношение выполнено при 1 = [з, далее, †', (ф[ (1), р! (г)) = ( — А'ф' (1), р! (1)) + (ф[ (1), А р! (1)) = 0. Будем искать общее решение уравнения (2) в виде л х(1) = ~ [р„(1) с'(1), Подставляя зто решение в уравнение (2), получим Х,(1) "„") -Ваа умножая последнее соотношение скалярно на [р[(1) учитывая соотношение (21), получаем (!р Щ, Ви([)), $ (8] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ Таким образом, решение уравнения (2) при произвольном управлении и(1) и начальном условии х(Т)=хо= =(х„', х', ..., хл) записывается в виде л ! *(в-г в,(О(ч-)-1(в'().
В ())! ). ов) Т ! 1, Теорема 11.Пусть и,(М) и ио(1) — два оптимальных управления, заданных соответственно на отрезках (о < <1< 1! и 1о < 1< 1в и пеРеводЯЩих точкУ хо в однУ и ту же точку х,. Тогда эти управления совпадают (см. сноску на стр. 134), т, е. У! = (в и и,(1) = ив(1) на отрезке (о -''=1 = 1!. Доказательство. Прежде всего ясно, что 1)=(т, ибо если бы было, например, 1! < 1ь то управление и = ит(1) не было бы оптимальным. Так как при 1 = 1! обе траектории, исходящие из точки хо и соответствующие управлениям и,(1) и и,(1), приходят в одну и ту же точку х), то мы имеем (в силу (22) ) л 1в *,=~ в.(),) ч в-( (в" (о, вл(о)ю)= в-! 1, л - 1 в„Р,)1 ч -в ( (в в), в! л(о) в) . л-! 1, откуда л 1, 1, )'в 5()(1(в О) в ввл — ) (в"(о вл(о)а]=о.
в 1 Е1, 1. Так как векторы (р)(1!), ..., ф„(1!) линейно независимы, то нз последнего равенства следует, что 11 ~ ())) (1). Ви! (1)) дг = ~ (т)) 9) Ви (1)) д(* ! = 1, ..., и. (23) 1, Оптимальному управления и ! !1 солвлвтствует вектор- функция ф(1), удовлетв)1)«я, Новик, (б) и являю- щаяся решением )равнения (5). Начальное значение 144 линвнныа оптимлльныв выстгоденствия 1гл. о втой функции (при г = то) обозначим через )о=('Ф!о ." ф.о) тогда решение !р(1) можно записать в виде ь ч! (1) = .)' ф оч!'(Г).
о 1 Умножая соотношение (23) на !рм н суммируя по 1, по- лучаем ~ (!)! (г), Ви,(()) й( = ~ (!Р(г), Вио(1))й(. (24) и Ф! Но так как, согласно соотношению (6) и определепи!о величины Р Я, мы имеем (на отрезке !о ( 1 < 1!) (Ч!(К), Ви, (г)) = Р(ф(г)) ) (ф(г), Вио(Е)), то из (24) вытекает, что (!р(1), Ви,(г)) =(ф(1),Ви,(1)), Следовательно, оба управлсния и!(!), ио(!) удовлетворяют соотношени!о (6) с одной и той же функцией ф(!), и потому (в силу теоремы 9) и!(1) — = ит(!). Итак„теорема 11 доказана. Будем называть управление и(г), !о ~ 1 я 1!, экстремальным, если оно удовлетворяет условию (6), где !) (1) — некоторое нетривиальное решение уравнения (6).
Для нахождения о п т и и а л ь н о г о управления, переводящего фазовую точку иэ положения хо в положение хь можно найти сперва все экстремальные управления, переводящие фазовую точку из положения хо в положение х!, а затем выбрать из их числа то (единственное в силу теоремы 11), которое осуществляет этот переход за кратчайшее время. Возникает вопрос: может ли существовать несколько экстремальных управлений, переводящих фазовую точку из положения хо в положение х!? Вообще говоря, их может существовать несколько. Нижеследующая теорема указывает важный случай единственности для экстремальных управлений.
Теорема 12. Предположим, что начало координат пространства Е, является внутренней точкой многогран- ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ $ !В1 146 ника (Е, и пусть и!(Е) и ис(Е) — два экстремальных управления, заданных соответственно на отрезках Еь ( < Е ( Е! и Еь - Е ~ Ес и пеРеводли4их точкУ хо в начало координат х! = 0 пространства Л'. Тогда эти управления совпадают, т. е. Е, = Ес и ис(Е) — ит(Е) на отрезке Еь,, о Е(Е!. Доказательство.
Обозначим через хс(Е) и хс(Е) траектории, соответствусощне управлениям и,(Е) и ис(Е) и исходящие в момент Ео из точки хо. Согласно условиям теоремы мы имеем х, (Е,) = х,(Е,) = О, или (в силу (22)) л с, С' о„сО(ко-1 Ио оо, олоо!а)=о, ч-! Со л т г' о.!!г(ч-!-1(о оо, о„!о!о)=о. о ! с, Отсюда (в силу линейной независимости векторов (20) прн любом Е) вытекают равенства (с = 1,2,...,п) с, — хе!= ~ (ое'(Е), Ви,(Е)) сЕЕ= ~ (Ф'(Е), Вис(Е))с(Е.
(25) с, Допустим для определенности, что Е! ) Есл и пусть ф(Е) — то решение уравнения (5), для которого на от- резке Ее е:, Е ~ Е! имеет место соотношение (оР (Е), Ви, (Е)) Р (оР (Е)), определяющее функцию ис(Е). Как и при доказательстве теоремы 11, функцию ор(Е) запишем в виде ср(Е) * л ф,,ррт (Е). Умножая соотношение (25) иа о)ось и сумт ! мируя по Е, получаем с, с, $ (о)о (Е), Ви, (Е)) сЕЕ $ (ор (Е), Ви, (Е)) сЕЕ. (26) Со со Заметим теперь, что для любого решения ор(Е) урав.
нения (5) справедливо неравенство Р(ф(Е))~вО. (27) !45 линейные оптимАлъные еыстгодепствия (гл. э В самом деле, так как начало координат пространства В„является внутренней точкой выпуклого тела (7, то функция (чр(1),Ви), как функция переменного и, либо тождественно равна нулю, либо может принимать как огрицательные, так и положительные значения. В силу (27) и (26) мы имеем неравенство и и ~ (ф(1), Ви, (1)) сИ( (~ (ф(1), Ви, (1)) г(1.
Отсюда так же, как и при доказательстве теоремы 11, получаем и, (1) — = и,(1) на отрезке га((1~1,, Учитывая соогношенне (26), мы получаем отсюда ~ (ф(1), Ви,(1))А=О. (28) (ибо х~ = О). Далее, так как равенство Р(ф(1) ) = 0 может иметь место только в том случае, если функция (ф(1), Ви) равна нулю па всем многограннике (7, т. е. может иметь место только для конечного числа значений 1, то из соотношений (27), (28) с необходимостью вытекает, что Итак, теорема 12 доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
