Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Плоскость переменных у', у' мы будем обозначать через н. ф 211 1ЕЗ ПШ1МГГ1,1 Положив с'и'+с,'и2=01 1 1 2 с,зи1+с,,зиз=с2, ) мы сможем записать систему (48) в виде лч' — = Ху' — ру'+ о', Д 2 У ру1+ )„у2+ С2 Лг (49) (50) — — ЗлР— р Р2, л421 ~-=рФ М ° и'2 Риа ЗЗ. Непосредственно находим общее решение этой системы.
2р1 —— се м соз (рГ + а), 2г2 = се-м з!п (рг+ а), где с) 0 и а — постоянные интегрирования. 1'ак как координаты вектора 2р (ф, ф) мы рассматриваем вВ При этом из (49) следует, что точка (С1, о') при всевозможных значениях и', и2, удовлетворяющих неравенствам (45), описывает в плоскости и и а р а л л е л ог р а м м с вершинами в точках (С11 + С,', С', + С',), (С11 — С,', С', — С'), (— — С' + С', — С'+ С2), ~ ~— С' — С', — С' — С2). Этот параллелограмм мы обозначим через У (рис.
ЗЗ). Итак, мы приходим к задаче о синтезе оптима ных управлений для системы (50) прн условии, что точка о = (о', га) пробегает в плоскости и переменных у1, у2 некоторый параллелограмм У с центром в начале координат. Эту задачу мы и будем рассматривать. Система (5) принимает в ~.уФ случае управляемого процесса (50) следующий вид: 134 линеиныс оптияхльные Быстиодеяствия 1гл. 3 лишь с точностью до общего положительного множителя пропорциональности (ибо функция Н однородна отно.
сительно величин яч), то мы можем отбросить положительный множитель пропорциональности се-м и считать, что вектор ф задается соотношениями: ф1 = сов(14г+ а), ф, = з)п(14|+ а). Иначе говоря, вектор = (фь фи) равномерно вращается (вокруг начала координат) против часовой стрелки с угловой скоростью 14 (напомннм, что Р>О). Рис. 34. Обозначим теперь вер- шины параллелограмма через еь еь еь еь нумеруя их против часовой стрелки. Далее, проведем из начала координат прямые, перпендикулярные сторонам параллелограмма Г, и обозначим образуемые этими прямыми углы через аь аь ам а4 (рпс. 34).
Так как функФ~~Р~ у ция Н в рассматриваемом случае имеет вид О = ° ° - + ф Р + 'Ф2п =". +(1р с) (многоточием обозначены члены, не содержащие и' и и'), то из рис. 35 ясно, что если вектор ф находится в угле а; (( = 1, 2, 3, 4), то максимум функции Н при о~ 'и' достиРис.
35. гается в вершине о = еь Вспомнив теперь, что вектор ф равномерно вращается с угловой скоростью р, мы приходим к следующему выводу относительно и, оптимальных управлений. В течение времени Р ПРИМЕРЫ 165 % м1 ра! + Ла'= — о', (51) где о'„о»! — координаты вершины е! параллелограмма К Тогда мы получим четыре точки еп е,', е', е', являющиеся пер шинамн некото- у» рого параллелограмма $" (ибо соотношения (51) линейны). Из вида формул «» (51) легко вытекает, что па- ' «» раллелограмм $" получается У~ из 1!подобным преобразованием (с центром в начале) и поворотом на некоторый угол (рис. Зб). Из формул (50), (51) вытекает, что в то время, когда управляющий параметр о принимает значение еь изменение координат у', у' описывается уравнениями Рис. Зб !гу! —" ='(у! — а!) — р (у» — а') ! (при о=е,). ) (52), ~~ =1! (у' — а!) + )„(у» — а') ! управляющий параметр о имеет значение е!, затем о «переключается» в вершину е!Рь где находится в течение времени †'ы (при ! = 4 следует считать, что 1 + и +1= 1), после этого «переключается» в вершину е!ы и т.
д. При этом первый и последний отрезки времени могут быть меньше соответствующих величин — ' и как в начальный момент движение могло начаться не в момент «переключения», а в конце движение может прекратиться (т. е. фазовая точка попадет в начало ко. ординат) до момента очередного переключения. Обозпачюл теперь через е'г такую точку (а',, а',) пло. скости !т, координаты которой удовлетворяют соотноше- ниям 166 лингпныв оптимлльныв вьтстгодгиствия ~гл. з Сравнивая систему (52) с системой (53) мы видим, что «фазовые портреты» систем (52)~ и (53) получаются друг из друга параллельным переносом; Рис.
37. именно, положение равновесия системы (52)» распело. жено не в начале координат (как у системы (53), рпс. 37), а в точке е,'. Вспоминая сказанное выше о характере оптимальных управлений, мы получаем следующее утверждение о структуре оптимальных траекторий. В течение времени ПРИМЕРЫ Ф «»1 167 Рис. 33 а, — точка описывает дугу фазовой траектории системы »» (52)ь затем в течение времени — '+' ее движение опи- »» сывается системой (52)»+», после этого вступает в действие система (52)»+> и т.
д. (первый и по- У г следний отрезки времени могут быть меньше, Аг аг чем соответствую»цие а, ег у» величины — ' ). »» Теперь уже нетруд- г г г но построить на плоскости и «линии переключения>, определяющие синтез оптимальных управл иий. Обозначим через А»О (1 1,2,3,4) дугу траектории системы (52)», оканчивающуюся в точке а» О и соответству»ощую отрезку времени — ' (рис. 38). Тогда и ясно, что з а к л ю ч и т е л ь н ы й этап оптимального движенияя фазовой точки происходит по одной из дуг А»О, причем точка может пройти не всю эту ду- г гу„а лишь некоторую ее часть Х»О (гак как последний отрезок времени может быть мень- а» ше, чем — ). Далее,так г»г г»г »» как в точке Х, проиаошло «переключение» и фазовая точка после г. Ф «переключения» стала двигаться согласно си- Риа 39.
стеме (52)ь то перед моментом переключения фазовая точка двигалась по закону (52)»», Таким образом, предыдущий отрезок У»Х» оптимальной траектории представляет собой дугу траектории системы (52), ь оканчивающуюся [еа липенные ОптимАльные ВыстРОдеиствия [Гл. » в точке Х» и соответствующую отрезку времени ໠— Когда точка Х» пробегает всю дугу Л»0, дуги [» У,Х, указанного вида заполня»от «криволинейный четырехугольник» (рис.
39), одна из «сторон» которого совпадает с дугой Л»»0 (ибо при Х» = 0 дуга У»Х» совпадает с А»,0). Таким образом, трн вершины рассматриваемого криволинейного четырехугольника находятся в точках А», О, А»», четвертую вершину обозначим через В»». Тогда дуга В»,А, » представляет собой геометрическое место точек У», т. е. тех точек оптимальных траекторий, в которых происходит переключение (от системы (б2)» з к системе (52)»»). Легко понять, что дуга В, »Л»» получается из дуги А»0 при помощи подобного преобразования с центром Ак» вЂ” 1 I е,, и коэффициентом е и и поворота вокруг центра е'., на угол а»» по часовой стрелке. В самом деле, решения снсгемы (53) В уе в полярных координатах (ф ~ рсоа ч), д~ = рз[п»р) имеют впд р — сеА', »р = [»» + а, где с ) 0 и а — постоянные интегрирования.
Если точка движется по этому закону, то по истечении отрезка времени, имеющего длину т, раРис. 40. диус-вектор движущейся точки увеличивается в еА" раз и поворачивается на угол рт. При т= — ~- мы и получаем требуемое утвержденна: вектор, идущий из точки е'. , в точку Х», получается из вектора, идущего в точку У» (рис. 40), увеличением длины в е »» раз и поворотом на угол а» » (против часовой стрелки). 170 линейные оптим«льные Быстнодейстиия 1гл 3 Итак, подобное преобразование с центром е,'., н ко- ««.
эффицнснтом е и, сопровогкдаемое поворотом (по Рис. 43. часовой стрелке) на угол а» и переводит дугу ОА» в дугу Л»»В» н на которой происходят «переключения» от системы (52)» и к системе (52)»» (рис. 4!). Перед тем как произошло переключение в точке У», фазовая точка двигалась ио закону (52)» з в течение 172 линег»ные ОптимАльные Б!»стеодгпстйия »гл. 3 а» времени — '' (дуга л»У» на рис.
42), Когда точка У» пробегает вс»о дугу А»»В»», дуги Л»У» указанного вида заполняют «криволинейный четырехугольник», двумя Рис. 46. сторонами которого являются дуги А» — »В»» и А»»В»». Четвертую вершину этого четырехугольника мы обозначим через С» и Как и выше, устанавливается, что дуга В, »С» х (геометрическое место предыдущих точек переключения) получается из дуги А»»В»» при помощи по- $2л ПРИМЕРЫ 173 лобного преобразования с центром е,'. и коэффициен- т 2 2 том е Р, сопровождаемого поворотом (по часовой стрелке) на угол он 2 вокруг центра е,' ! 1 ( / I Рнс.
47. Продолжая таким образом, мы вычертим четыре линни ОА2В2СРР2 ... (( = 1, 2, 3, 4), исходящие из начала координат и представляющие в совокупности геометрическое место точек переключения (рнс. 43). Подобное преобразование с центром е,', и козффициентом Аи. е Р, сопровождаемое поворотом вокруг точки е;, на угол он 2 по часовой стрелке, переводит линию 174 л~швпныв оптимлльпыа гыст~ оданствня [гл. » ОА;В;С; ... в линию Л1 1В( 1С~ 10' — 1 ... (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
