Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 30
Текст из файла (страница 30)
бражеппым на рис. 73. Из сказанного ясно, что схема. при 11 = 1, ..., г принимало максимальное значение. От- сюда получим [гл. з ре- лпнеиные оптнмлльные Быстгодеиствия изображенная на рпс. 74, вырабатывает на выходе лейных элементов экстремальное управление и1(1), ..., и" (1), а на выходе последнего звена — соответству1ощую экстрсмальпую траекторию х(!). Отметим, что число релейных элементов в этой схеме равно числу управляющих параметров. Рвс 74.
! !!с. 73. Наконец, перейдем к рассмотрению общего случая, когда многогранник (/ произволен. Пусть (77) — попарно пеколлинеарные векторы, имеющие направление ребер многогранника (7 (т. е. каждый из векторов (77) параллелен хотя бы одному ребру многогранника У и для каждого ребра имеется в системе (77) один параллельный ему вектор). Координаты вектора и1; будем обозначать через и,'..., и!'. Положим с с $4 — — (Ф Ли() = Х ~ !р„б'и!~, ! 1, ..., у. (78) Таким образом, переменные $1, ..., $ являются линейными формами (вообще говоря, линейно зависимыми) от ф1, ..., ф„. Переход от переменных 1рс к переменным я; мы будем изображать так, как показано на рис.
75. Значения величин $1 определяются величинами фь по обратного воздействия на ннх не оказывают (это выражено на рис. 75 направлением стрелок). Каждую нз величин с; мы подадим на свой релейный элемснт; выходы этих релсйных элементов обозначим ыодГлпговх»п!Г чеРез»)», ..., т)т (Рис. ?6): Ч! = з»йп 5,, 1'= 1, ..., у, 1?9) Пусть теперь е», ..., е — все вершины многогранника К Рассмотрим какую-либо одну вершину е» и пусть 1 — одно из чисел 1, 2, ..., у.
Если нсходяший из всрпшны е» вектор, равный ыь идет по одному из ребер многогранника Е», примыка»оших к этой вершине, то мы положим еы = +1. Если исходящий нз вершины е» вектор, Рис. ?б. Ряс. 75. раппый — <еь идет по одному из ребер многогранника К примьп<аюших к этой вершине, то мы положим е»! = — 1. Если же ни один из этих двух случаев места не имеет, то символ ем не определяется. Фиксируем некоторый индекс »( = 1, 2, ..., »)) и будем рассматривать только такие индексы ), для которых символ еи определен. Тогда векторы енп»; (рассматриваемые для указанных индексов 1) направлены по ребрам многогранника <?, исходящим из вершины еь Пусть теперь»р = (фь»рм ..., »ра) — произвольный отличный от нуля вектор.
Обозначим черсз В*ф вектор простран- а ства Е„, имеющий»-ю координату Х Ь,".ф„»'= 1... „!. а=! Тогда для любого вектора и пространства Е„ как легко видеть, имеет место соотношение (В"»г, и) =(ф, Ви). Проведем теперь в пространстве Е„гиперплоскость Л, проходящую через точку е» и ортогональную вектору В'»р, а вектор В*»р будем считать исходящим из точки е». Для того чтобы величина Ц, Ви), рассматриваемая как функция точки и ~ У, достигала своего наибольшего зна- 202 линепные оптимхльные Быстгодепствия 1гл. 3 чения только в одной вершине еь необходимо и достаточно (в силу (80)), чтобы весь многогранник 0 находился в том полупростраистве, определяемом гиперплоскостью Л, которое не содержит вектора В*ф а для этого, в свою очередь, необходимо и достаточно, чтобы каждый вектор, исходящий из точки ет и направленный по ребру многогранника (7, составлял с вектором В'тр тупой угол.
Иначе говоря, для того чтобы уравнение Ц, Ви)= Р(тр) (81) имело единственное решение и = еь необходимо и доста- точно, чтобы все скалярные произведения (В"тР, вита~) ви(ф Вшг) < О, В силу (78) последнее неравенство принимает вид в;Д~ < О. (82) Итак, для того чтобы уравнение (81) имело единственное решение и = аь необходимо и достаточно, чтобы для всех 1 (для которых символ ам определен) выполнялось неравенство (82), нлн, что то же самое, ра- венство еитп = — 1 (83) (см. (79) ).
Положим теперь ь;=1,— 1+~егт1л ! 1=1, 2„..., д, (84) где 1т — число ребер многогранника 17, примыкающих к вершине еь а суммирование распространено на все значения 1, для которых символ ем определен (так что в этой сумме имеется 1; слагаемых). Персход от величин тъ к величинам ~т показан на рис. 77.
Величина ~т при- (соответствующис индексам 1, для которых символ ем опредслсп) были отрицательными, или, иначе, чтобы были выполнены неравенства аГ8 молглигоВАнив ннмает значение — 1, если для всех 1 выполнено равенство (83), и пол ож и тел ь и о е значение, если хотя бы для одного / выполнено равенство аоз1; =+1. (Равенство аот1; = О, или, что то же самое, (~р, Вш;) = О, см. (78), может, в силу теоремы 9, выполняться лишь для конечного числа значений 1, которые мы не будем принимать во внимание.) Таким образом, уравнение (81) тогда и только тогда имеет единственное решение и = еь когда ~с ( О.
Подав величины ьь ..., ьц на релейпые элементы и обозначив ныходйые величины через р, ..., т (рис. 78), мы найдем, что уравнение (81) тогда и только тогда имеет единственное РЕШЕНИЕ и = ЕЬ КОГда ВЫПОЛНЕНО раВЕНСтВО Рис 77; 7; = — 1. Из сказанного ясно, что в любой момент Г (за исключением конечного числа моментов, когда хотя бы одна из величин 5~ обращается в нуль) одна из величин ун принимает значение — 1, а остальные — значение +1. Пусть теперь е,', ..., е,' — координаты вершины е; многогранника (7. Положим и' = 9 ) (1 — Х,)е„", р= 1, ..., г (85) (рис. 79). Из (85) ясно, что точка (и', ..., и ) совпадает с веРшиной аь если 11з = — 1, а остальные величины т„ Рис. 79.
Рис. 78. равны +1. Иначе говоря, если уравнение (81) имеет единственное решение, то эгим решением является точка (и', ..., и'), получаемая по формчлам (85). зот лппгчпыг оппимхльныг гыгтгопгиствия ~гл.» Соединим теперь объекты, изображенные на рис. 67, 68, 75 — 79, вместе. Мы получим схему, показанную на рис. 80. Из сказанного выше ясно, что, каков бы ни был начальный вектор фч, функпии и'(1), ..., и"(г), получающиеся на выходе предпоследнего звена, образуют экстремальное уп равлепне (ибо они удовлетворяют уравнению (6) ), а па выходе схемы мы получаем Рпс.
зо. величины х'(1), ..., х" (1), описывающие соответствующую экстремальную траекторию. Итак, схема, изображенная на рис. 80, осуществляет движение объекта (2) по экстремальной траектории (при любгях начальных значениях фы хь). Остается, как мы отмечали выше, задача поиска такого начального значения для 1р, при котором (для заданного начального значения х,) получаемая траектория проходит через начало координат.
Такой поиск можно производить одним из следующих двух методов: либо, имея фиксированное начальное значение х„при помощи нескольких проб найти требуемое начальное значение фь, либо же, обратив направление течения времени, вычертить достаточно густую сетку траекторий, исходящих из начала координат (опи все будут оптимальными), после чего, <запомнив» все точки фазового пространства Х, в которых происходят переключения, составить кповерхность переключений» (т. е. произвести синтез оптимальных управлений).
Следует еще отметить возможность осуществи~ь более быстрое течение времени в моделирующем устройстве по сравнению с реальным обьекгом (за счет под- Э Ю] УРХВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 205 бора параметров в первом и последнем звеньях схемы). Это может позволить испробовать на моделирующем устройстве несколько экстремальных траекторий в течение короткого времени и получить требуемое оптимальное управление для исходного объекта. 2 23. Линейные уравнения с переменными коэффициентами Основные факты, установленные в предыдущих параграфах для линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами (см. (!)), переносятся и на случай линейных нсоднородпых уравнений с переменными коэффициентами.
В этом параграфе мы приведем формулировки получаемых таким образом теорем н укажем те изменения, которые следует произвести в предыдуших доказательсгвах для получениях этих теорем. Уточним прежде всего постановку з а дачи. Мы рассматривать объект, закон движении которого записывается в виде следующей линейной системы дифференциальных уравнений: л г — а,'(1)х'+ ~~ Ь'(])иР+~'((), 1=1, ..., и. (86) Областью управления О по-прежнсму будем считать выпуклый замкну]ый многогранник г-мерного пространства Е, перел]енных и',, и . Как н выше, ограничимся рассмотрением задачи об оптимальных быстродействиях. Относительно функций и'(]), Ь'(г) и )](г), входящих в систему (86), мы будем предполагать, что они определены на некотором интсрвале а ( ( ( Ь (возможно, совпадающим со всей числовой прямой) и имеют на этом интервале достаточное число непрерывных производных.
Именно, мы будем предполагать, что функции а'(г) имеют и†2 непрерывных производных (но ие менее одной), функции Ь|(]) имеют и†1 непрерывную производную, а функции ]](]) имеют одну непрерывную произ. водную. (Возможность некоторого ослабления этих ограничений указана в замечании, приведенном в конце э]ого воз линвиные оптнмхльныя яыглгодепс1вня [гл.
з параграфа.) Все рассматриваемые значения переменного 1 мы будем предполагать принадлежащими интервалу а(1«Ь; в частности, всякое допустимое управление будет предполагаться заданным на отрезке, являющимся ч а стью интервала а (1( Ь. В векторной форме система (88) может быть записана следующим образом: — = А (1) х+ В (1) и + ) (1); (87) здесь А(1):Х вЂ” ~Х и В(1):Е«- Х вЂ” линейные операторы, определяемые в координатах х', ..., х" и и', ..., и" матрицами (а',.
(Г)) и (Ь' (Г)) соответственно, а )(1) — вектор с компонентами 1'(1). Введем в рассмотрение операторы В,(1), В2(1), ... ..., В„(1), положив В, (1) = В (1), В! (1) = — А (1) Вт, (С) + а, (88) лдт-з (11 1=2, ..., и. (Для возможности определения этих операторов необходимо, чтобы функции Ь|(1) имели и — 1 производную, а функции а' (т) имели п — 2 производных.) Мы будем говорить, что в момент времени 1 выполнено условие общности положения, если для любого ребра гв многогранника У векторы В,(1) гв, Ва(1) ш, ..., В„(г) гв (89) линейно независимы в пространстве Х. В этом параграфе мы будем всюду предполагать, что в любой момент времени 1, а (1( Ь, выполнено условие общности положения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
