Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Однако построение предельного конуса уже не проходит, так как точки 1, (правого конца отрезка времени) не существует. Тсм не менее, легко видоизменить конструкцию предельного конуса таким образом, чтобы ес можно было применить и в рассматриваемом случае. В самом деле, обозначим через (я — ! Кь вьгпуклый конус А,, н !К,). Эти конусы образуют возрасгаюшую последовательность: К~, с: К!'„' при т' ( т (для доказательства этого факта достаточно к включению, содержащемуся в лемме 8, применить преобразование А„н и воспользоваться формулами (17 (гл. 2). По- ' этому объединение (по всем правильным точкам т) всех ги конусов Кн снова есть выпуклый конус (возможно, не замкнутый) пространства Хн.
Назовем его и а ч а л ьн ы м к о н у с о м и обозначим через Кн. Легко видеть, что (для рассматривавшейся в Я 2, 11 оптимальной задачи) имеет место соотношение Ач ч (Кн) = Кп. Поэтому начальный конус совершенно эквивалентен предельному, и можно было завершение доказательства принципа максимума (з 15, после леммы 8) провести с помошью начального ко нуса Кл. При этом лемма 9, как и ее доказательство остаются в силе (с оче~м видной заменой луча 7«„конусов Кп, Кп и преобразований Аг„', соответственно на 1.~„Кч, К~" ,и А, н). После этого без труда проводятся и заключительные рассуждения 5 !5, чем доказательство теоремы 8 (и теоремы 1), проводимое с помощью н а ч а л ь н о г о конуса (вместо предельного) и завершается. Но такое доказательство дословно (с заменой отрезка !«( ! < 1, промежутком !» с ! оо) переносится и на случай рассматриваемой оптимальной задачи (1), (2).
Тем самым наше утверждение доказано. Заметим еше, что можно было «сносить» конусы К, не в точку х(1~) или в точку х(!в), а в любую точку х(!) рассматриваемой траектории. Поэтому изложенное докааатсльство применимо и к случаю, когда промежутком интегрирования является вся прямая — оо ( ! ( оо.
2 2я оптимАльные НРоцессы с НАРАметРАми 215 ф 25. Оптимальные процессы с параметрами Мы рассмотрим в этом параграфе следующую оптимальную задачу. Функции гв, 1', ..., 1'" зависят от трех переменных хек Х, ив= У, 2в я 'йт, где Х и У имеют прежний смысл, а ЯŠ— векторное пространство размерности и.
Функции )ч, 1', ..., 1" и их частные производные по всем переменным х', х2, ..., х" предполагаются определенными и непрерывными на всем пространстве Х Р', 0 Р', 12'. Закон движения объекта задается уравне. виями — =1'(х, и, нг), 1=1, 2, ..., п. В пространстве Х заданы две точки хэ и хь Требуется выбрать такую постоя н н у ю точку 2вве= (Р' (т. е. до начала двигкения подобрать значение параметра Ев, остающееся постоянным в течение всего движения) и такое допустимое управление и(1), чтобы соответствующая траектория х(1), исходящая в момент 1а из точки хм проходила в некоторый момент 12 через точку хг и чтобы при этом интеграл Х = ~ 1' (х (1), и Я, Евв) 2(1 принимал наименьшее возможное значение. Если функции и(1), х(1) и точка 2ва дают Решение поставленной задачи, то величины и(1), х(1), ш, мы будем называть опгимпльными (для заданных точек хв и хг).
При решении этой задачи мы будем предполагать, что все допустимые функции к у с о ч н о-н е п р е р ы в н ы, т. е. что класс Р допустимых управлений либо совпадает с множеством всех кусочио-непрерывных функций (со значениями в У), либо является его подмножеством, удовлетворяющим условиям, указанным в $ 10. Отметим некоторую специфику рассматриваемой задачи, заставляющую ограничиваться лишь кусочно-непрерьгвными (а не произвольными измеримыми) управлениями. В то время как в оптимальной задаче, сформулированной в $11, каждый кусок оптимальной траекто- РАзныв зкдкчп !гл « рии снова является опгимальпой траекторией (ибо«улучшение> куска траектории ведет к «улучшению» всей траектории, ср. $ 2), здесь, в рассматриваемой задаче с параметрами это уже не так.
Ведь оптимальныс значения параметра ш для всей трасктории и для ее части могут не совпадать, т. е. если и(!), ш„дают решение поставленной в этом параграфе оптимальной задачи, причем управление и(!) определено на отрезке !е ( ! ( !ь то на меньшем отрезке за счет изменения парам ет р а гвы возможно, удастся «улучшить» управлспие и(!). Из сказанного следует, что рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 4, и е п р и м е н и м ы к рассматриваемой оптимальной задаче.
Рассуждения, доказывающие теорему 8 (илн теорему !), можно, однако, применить и здесь, считая в лемме 9 точку т совпадающей с концевой точкой !1 (что деласт излишней лемму 4). Р!о для этого приходится считать точку ), п р а в ил ьно й то ч к о й управления и(!), т. е. в качестве допустимых управлений приходится брать управления, правильные в правом конце отрезка. При этих условиях наиболее естественным классом допустимых управлений является класс кусочно-непрерывных управлений (или какой-либо его подкласс). Решение поставленной оптимальной задачи дается следующей теоремой, аналогичной теореме ! (функция н-~д - .- "~ "~'.н=Х >.Г).
«г 0 Т е о р е и а ! 7. Пусть и (!), !> ( ! ( (ь — такое допустимое управление, а ге> = (ге', ..., ю ) — такое значение параметра ге, что соответствуаи(ая траектория х (!) = (хэ (!), х' (!), ..., х" (!)) = (хе (!), х (!)) (т, е.-траектория системы (4), пополненной соответствуюгцим уравнением для ! = О) удовлетворяет условиям х(!е) = х„х (!>) = О, х(!,) = хь Для того чтобы величины и(!), х(!), иэ давали решение поставленной оптимальной задачи, необходимо суп)ествование такой ненулевой непрерывной вектор-функции ф(!) = (~ро(!) Ф(!).
°... 1>(!)), что: 5 хн оптпмллы!ые пРОПГсГы Г, пАРАмгтРями 217 1' функции х(1), зр(1), и(1) и значение гвь удовлетворяют гамильтоиовой системе дх' сЭаа М)Г], х(Г), и (Г), гьа) ) ГП де, ' ! ю'=0,1, ..., и; НФЭ дЗЕ (4 (Г), х (Г), и (Г), ва) еп дх' ! 2' функция Ж(4(!), х(Г), и, гва) переменного и ~ У достигает в точке и = и(!) максил~улга Уь (1! (Г), х(1), и (1), гв„) = й (ЯР (Г), х(г), гва); *) 3' в начальной точке Гь выполнены соотношения $а((а) (О, л)7(Ч ((ь), х((ь), гв„) =О; 4' имеют лгесто равенства а ~ $ 4 (!) г "'" "'" "' й(=О р=1 ...
т. (8) дге а а-О ц Оказьчвается, далее„что если величины зр(!), х((), пэь, и(1) удовлегворянхт условиям 1' и 2', то функции Чэа(Г) и тг(зр(г), х(г), гва) переменного ! являются постоянными, так что проверку условия 3' можно проводить не обязательно в лгомент га, а в любой мол<ент (, Га ( 1 ( !ь Эта теорема отличается от теоремы 1 (или теоремы 8) наличием условия 4', которое даег гп дополнительных соотношений, что н дает возможность решать задачу, так как в зту задачу ввсдсно дополнительно еп неизве- СтиЫХ ГВ', Гез, ..., ПРЯ (КООрдниатЫ ТОЧКИ ГВЬ В Праетраистве )р').
Укажем, какие изменения нужно произвести в доказательстве теоремы 8, чтобы получить доказательсгво теоремы 17. Конструкции 5 12 несколько вилоизмепяготся. Именно, пусть и(!) — произвольное допустимое управление, заданное при (ь ( ! ( (и далее, ш — некоторое значение параметра, а х(1) = (хь(1), х'(1), ... ..., х" (!)) = (хь(!), х(Г) ) — соответсгвуюшее управлению и(Г) и параметру гв решение систеиы (4) с началь- а) Си. Езр. 25.
2!8 глзные ЗАЛлчи !ГЛ 4 вым условием х(!о) = х,, Обозначим через у(!) решение, соответствующее тому же управлению и(!) и значению параметра ге+ ебое и исходящее (в тот жс момент !о) из близкой к хо точки уо хо+ еЦо+ о(е), где фо — по- стоянный (т, с. пе зависящий от е) вектор простран- ства Х. Решение у(!) имеет вид у(!) =х(!) + ебх(!)+ о(е), где бх(!) = (бхо(!), бх!(!), ..., бх" (!)) — не зависящий от е вектор, определяемый следующей системой уравне- ний в вариациях: л Л$ ~- зр!х!!!.и(!!. 1„.+С-зр(х(г!.и!!),м!б, (6) е! о о з ! г=О, 1,...,п, прн начальном условии бх(!о) =$о.
В отличие от системы (16) в 5 12, эта система уравнений в вариациях неоднородна. Преобразование А!, р, мы теперь снабдим верхним индексом би!. Именно, мы будем полагать Ао!'"! (8о) = бх(!), где бх(!) — решение системы (6) папи начальном условии бх(Го) = оьо. Как и в !з 12, вектор Л,', (оо) мы будем считать вектором пространства Х, (с началом координат в точке х(!)).
Поскольку система уравнений в вариациях теперь неоднородна, то линейное преобразование Ао", (Ц) также будет неоднородным. Наконец, лемма 1, завершающая 5 12, примег следующий вид: если !р(!) — решение системы (8) $11, а фо — произвольный вектор, заданный в точке х(!о), то на всем отрезке !о - ! ( 1, выполнено соотношение (~р(!), А,; (6,)) = о о! Й(!о) ао)+ ~ 1,! !Р (!) ! ' ! ' бгв" й1, (7) и !-о з-! ззи оптимлльцыв пгоцассы с плглматглми 219 Обратимся, далее, к 5 13. Правильными точками управления и(1) являются все его точки непрерывности, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
