Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Л с м м а 7. Если абсолютно непрерыоноя функция гр(1) !гонта всюду на некотором отрезке 1 удовлетворяет уравнениям (8) и соотношенгио оо(г$" (1), х(1), и(1))=.Х(г)г(1), х(1)), (37) то функг1ия я(г(г(1), х(1)) постоянно но всем отрезке 1, Заметим прежде всего, что функция .4'(гр(1), х(1) ) полунепрерывпа сннзу на отрезке 1. Действительно, пусть р — произвольная точка этого отрезка, а е — поло>кптелшгое число. В силу определения верхней грани, доккзктсллство пгинпппх мкксимъмк 117 с)ществует такая точка и'ен К что М(ф (!'), х(!'), и') ~ ил (~1 (!'1, х(1')) — —. Далее, в силу непрерывности функции Ж(9(!), х(1), и) по ! при фиксированном и = и', существует такое б;~ О, ч~о при (! — !'( ( б имеем (Ж(1( (!), х(!), и') — уу(Ф(1'), х(!'), и') ! < —.
Таким образом, при (! — !'! ( б справедливо неравенство .4'(ф(!), х(!)) = зпрМ(1р(1), х(1), и)) и~и ) М (ф(1), х(!), и') ) Х(11 (!'1, х(!')) — е, показывающее, чго функция К(ф(!), х(!)) полунепрерывна снизу. Далее, так как управление и(!) допустимо, то образ отрезка ! при отображении и обладает в пространстве Е„компактным замыканием (см. 5 10), т е. существует в Е, такое компактное множество Р, что и(!) ~ Р при 1~1. Положим и ($, х) = тпа х Ж (1(ч х, и).
ии Р Очевидно, что имеет место неравенство Я(11, х)))~аю(ъ~;, х), (33) справедливое при л|обых х н ф. Соотношение (37) означает, что почти всюду на о~резке 1 имеет место равенсгво т(~(~(!), х(!)) = —.Х(~р(!), х(1)) (нбо и(1) ~ Р), Итак, Ж'(ф(!), х(!) ) сеть полупепрерывная снизу фунция, почти всюду на отрезке 1 совпадающая с функцией т(~1>(!), х(1)) и связанная с нсй соотношением (38) Из этого следует, что если функция гп(ф(!), х(!)) непрерывна, то функция й (тр(1), х(!) ) всюду на отрезке 1 совпадает с ней (и потому также непрерывна).
Мы сейчас покажем, что функция т(ф(!), х(!)), — а слс- 1'8 локхзхтельство пРинципА мвксимумА 1гл е довательно, в силу сказанного, и 11(ф(1), х(1)),— а- бс ют но непрерывна на отрезке 1. Так как отрезок 1 компактен, то существует в пространстве переменных фо, фь ..., ф, х', х', ..., х" такое выпуклое ограниченное множество 1,1, что точка (ф(1), х(1)) принадлежит множеству Я при 1е= 1. Таким образом, тройка (ф(1), х(1), и(1)) принадлежит множеству Я Х Р при 1~1.
Лалее, так как частные производные функции ге(ф х, и) по переменным ф„, х", непрерывны по совокупности переменных ф х, и (см. условия, наложенные на функции ~' в 5 11), то на компактном множестве 9 Х Р все эти производные ограничены. Отсюда следует существование такой (не зависящей от и) константы К ) О, что для любых (ф, х) е= Я, (ф', х') ен Я, и ~ Р выполнено соотношение ~ ЗЮ(ф, х, и) — Я(ф', х', и) ~(,'Я, (ЗЭ) где д — наибольшее из чисел ~ ф,. — ф,'~, ~ х' — х" ~, 1= О, 1, ..., л. Пусть (ф, х) и (ф', х)) — две точки множества 1,1, а и и и' — такие точки множества Р, что т (ф, х) = М(ф, х, и), т (ф', х') = Зв'(ф', х', и').
Тогда, очевидно, выполнены неравенства Я(ф, х, и')~(Ж(ф, х, и), Ж(1', х', и) (Ж(ф', х', и'), и потому (учитывая соотношение (39)) мы получаем — КЫ а=Я(ф, х, и') — М (ф', х', и') = ~(Я(ф, х, и) — Ж(ф', х', и') < ~ (Ж(ф, х, и) — Ф (ф', х', и') ( КА Иначе говоря, 1 т(ф, х) — лю(~1'', х') !(Кг(, где г( — наибольшее из чисел ~ ф, — ф,'.
!, 1х' — х" 1, 1= О, 1, ..., а. В частности, отсюда получаем (т(ф(1), х(1)) — т(ф(К), х(К)) ~~(Кс(„1, К с= 1, где г( — наибольшее из чиссл 1ф;(1) — ф;(1') ), 1х'(1)— — х'(1') ~. Из этого неравенства, в силу абсолютной не- А ЕЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА !19 прерывности функций ф(!) и х(!), Мы без труда заключаем, что функция т(ф((), х(!)) абсолютно непрерывна. Покажем, наконец, что функция т(1р(!), х(!)) почти всюду имеет производную, равную нулю. В силу абсо. лютпой непрерывности функции т(з)1(!), х(!)) и определения функций х(!) и ф(!), почти всюду на отрезке ! имеют место следующие обстоятельства: функция гл(~! (!), х(!) ) имеет производную, для функций х(!) и ~хь(!) выполнены соотпошепиЯ (7) и (8), или, что то же самое, (9) и (!О), и, кроме того, ш (зг (г), х (!)) = Я (зг ((), х (!), и (!)).
Пусть ! =т — какая-либо точка, в которой эти обстоятельства имеют место, и !' — произвольная отличная от т точка отрезка 1. Тогда т(ф (('), х((')) Р Я(ф (!'), х(('), и (т)) и потому (и (ф (г ), х (!')) — ш (зр (т), х (т)) ) ) Я(Ф (!'), х(!'), и(т)) — Я (1!.
(т), х (т), и(т)). Будем теперь считать, что !' приближается к т, оставаясь больше т, так что разность !' — т положительна. Тогда деление па !' — т не меняет знака неравенства в последнем соотношении: м(Ч(б),х()')) — м(Ф(х),х(т)) ~ )' — т ж(9(б),. (б),и(т)) — ж()(т),х( ), (т)) б — т Переходя к пределу при !'-+-Т(!' ~ т), получаем отсюда †", т (ф (!), х (!)) ( ) †„", Ж (ф (!), х (!), и (т)) ! Р и дат дф„(~) ( ~ дМ дх ()) дФа д) ~ьх дх и) с х — +~ —. ' =о (здесь производные вычисляются в точке т, где т и, следовательно, и(т) фиксированы).
Аналогично, при !'- т, 1О доказательство пгипцппх мхксимтхгл 1гл. г Р ( т получаем обратное неравенство — пгИ(1), х(1))~ (О. 11так, гп(гр(1), х(1)), я также и совпядяюгцая с ней функция .Х(гр(1), х(() ), есть абсолютно непрерывная фупкцяя, имеющая почти всюду производную, равную нул!о. Следовательно, эта функция постоянна на отрезке Е Докажем следующее важное свойство конусов К,. Л е м ма 8г Если т и т' — прпвильные точки управления и(1), причел! Гя (т'(т( г!, то Л,, (К;) с: К„ еде Л,, т — отображение прогтрпнгтеа Х ° иа Хг, определенное в ~ 12. В самом деле, конус К, образован векторами, кагкдый из которых в силу (22) можно представить в виде суммы двух векторов: Л!х =[(х(т'), и(т')) И, Лгх= ~ Л~,~! [[(х(т!), о!) — ! (х(т!), и(т!))) бг!. г=! Поэтому достаточно показать, что А,, (Л!х) ~ К„Аь; (Лгх) ~ К,.
(40) Мы имеем в силу (17): з А., (Л х) = Х Л ., [[(х(т!), о!) — Г (х(т!), и (т!))] М. г-! и потому второе из включений (40) имсст место (ибо т! ( ... ( т, ~ т' ( т). Докажем первое пз этих вклгочспий. Допустим, что (при некотором И) вектор Аь н(Л,х) не принадлежит конусу К,. Тогда существует гипсрплоскость, разделяющая их, т.
е. сущсствуют такие числа ам аь ..., а„, что конус К, расположен в отрица. и тельном полупространствс ~„а„х" (О, а вектор а-О А,, (Л!х) — в о т к р ы том положительном полупространстве, т. е. (а, Л,, (Л!х)) > О, (41) докАЛАТГЛ!ство пгипспспА мхксимулсл 121 ф 151 где а — вектор (аы а,, ..., а„). Обозначим через ср(1, а) решение системы (8) с начальным условием ср(т, а) = а.
Это решение мы будем рассматривать на отрезкс 1, ( " 1 ( т. Так как конус К, расположен в отрицательном полупространстве, т. е. выполнено условие (34), то из лемм 5, 7 и б вытекает, что ой(ср(1, а), х(1)) = — О прн 1л(1(т. Так как, далсе, т' — правильная точка (лежащая на полупптервале 1ь(1(т), то, согласно лемме 5, Я(с((т', а1, х(т'), и(т')) =Я(ср(т', а), х(т')) =О, (ср (т', а), 7(х(т'), и (т'))) = — О. т. е Отсюда, согласно лемме 1, мы получаем соотношение (11(т, а), А,, (7(х(т'), и (т'))) = О, противоречащее неравенству (41) Полученное проч пворечие и доказывает лемму 8.
Пусть теперь т — произвольная правильная точка управления и(1), лежащая па интервале 1ь (1(11. Положим Кс =Ас,с(Кс). Так как Л1,с есть линейное отос 1с1 1сс бражение, то Кс, есть выпуклый конус пространства хс . Конусы Кс" ,образуют возр а ст а ющу1о и о сл едо в а тел ь ность: если т'(т — правнльные точки, то и силу леммы 8 мы имеем (см.
(17)) .Кс', ' = Лс„с (Кх ) = А1„т (А с, х (К')) ~ Ас,, с (Кс) = Кс", Поэтому объединение (по всем правильным точкам т нцси тсрвала сь (1( 11) всех конусов Кс, снова есть выпуклый конус (возможно не замкнутый) пространства Хс, (с вершиной в начале). Этот конус мы обозначим через Кс и назовем предельным конусом. Л с м и а 9, Если управление и(1) и соответствующая трасктория х(с), 1„< 1(11, оптилальны, то лус Есч исходящий из точки х(11) в направлении отргщительной полуоси хь, не принадлежит внутренности конуса Кс,. В самом деле, пусть луч Ес принадлежит внутренности конуса Кс,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
