Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Выберем выпуклый мпогограшшк М, целиком лежюцпп в Кс, н содержащий какую-либо точку 122 докАЭАГельство пРинципА ИАксих(учА (гл 2 1н=-1.(, внутри себя. Каждая вершина многогранника М принадлежит конусу К(, т. е. принадлежит некоторому конусу К),", а так как конусы К((,' образуют возрастающую последовательность, то найдется такая правильная точка т, что все вершины многогранника М иринадле(а) жат конусу К(, . Следовательно, конус К(, содержит весь многогранник М, так что точка 1 является внутренней точкой конуса К(, или, что то же самое, луч Т.), (л) принадлежит внутренности конуса К(, . 11о тогда луч (а) А(„(1.(,)принадлежит внутренности конусаА(„' (К(,') = = К, (ибо А(А а есть линейное невырожденное, следовательно, гомеоморфиос отображение).
Луч же А,, т((.(,) совиачает с лучом 1.„исходящим из точки х(т) в направлении отрнпательной полуоси хо. Это вытекает из того, что система уравнений в вариациях (16) не содержит в своих правых частях переменного х', и потому равные между собой векторы ( — 1, О, О, ..., 0), исходящие пз точек кривой х(1), получаются друг из друга переносом вдоль траектории х(1). Итак, луч 1., принадлежит виугрениосп) конуса К„ а зто противоречит оптимальности управления и(1) (см. лемму 4). Переходим к завершепи)о доказатсльства теоремы 8. Пусть и(1), 1о < 1 ( 1Н вЂ” оптимальное управление, а х(1) — соответствующая ему оптимальная траектория. Тогда луч й( не принадлежит внутренности предельного конуса К( (лемма 9), и потому существует разделяющая их гипсрплоскость, т. е, существуют такие числа с,, сь ..., с„, что весь конус К, лежит в полупространстве л л ~„( та (О, а луч 1.(, — в полуиростраистве ~ с ха ~ а-о а о ' -О.
Иначе говоря, вектор ( — 1, О, О, ..., 0), имеющий направление луча 1(„лежит в замкнутом полупространстве ~ с„ха>0, т. е. со<0. а-О Обозначим через )1(1) = (ф,(1), ф,(1), ..., )р„(1)) решение системы (8) с начал)ии)м условием ар(1() = с, $ г51 цоклзлтгльство пгинцнпх млксимэмл 123 где с — вектор (с„сь ..., с„). Так как система (8) ли- нев а, то решение ф(!) определено на всем отрезке 1, - ( ~ !ь Покажем, что вектоР ф(Г) и ЯвлЯстси тем вектором, существование которого утверждается в тео- реме 8.
Прежде всего, х(!) и зр(!) удовлетворяют уравне- ниям (7) н (8), или, что то же самое, (9) и (10). Дока- жем, что соотношение (1!) имеет место во всякой пра- вильной точке интервала !О (1(1ь Пусть т — правиль- ная точка, лежащая на этом интервале. Так как весь ко- нус Кг, а следовательно, н конус Аь,(К,) лежит в ог- рицательном полупространствс ~ зги (11) х" (О, то (со- и=О вершая перенос вдоль траектории х(!) из то тки х(!1) в точку х (т) ) мы получаем, что конус Аг, ', (Аь,, ! К,)) = К, Л лежит в полупространстве Х Ф„(т)х (О (см. з !2).
п-О Иначе говоря, вектор а=за(т) удовлетворяет условию (34). Отсюда вытекает, что для решения зр(Г, а) уравне- ния (8) с начальным условием ф(т, а) = а — а это решение, очевидно, совпадает с ф(Г) — справедливо ут- верждение леммы б. В частности (в силу того, что т— правильная точка), Я(ф(т), х(т), и(т)) =.Х(зр(т), х(т)) = 0 (см. лемму 6). Итак, условие 1', указанное в теоремс 8, выполняется. Кроме того, есть точки, в которых .4Г(ф (1), х (!) ) обращается в пуль (это будет во всякой правильной точке т), и, далее, зри(1~) = си ( О. Поэтому для проверки условия 2' теоремы 8 достаточно доказать последнее утверждение теоремы 8 о постоянстве функций .5т'(ф(!), х(1)) и фО(1), если величины ф(!), х(!), и(!) удовлетворяют системе (9), (!0) и выполнено условие 1'. Это непосредственно вытекает из леммы 7 и того факта, что функции 1" не зависят от хО, так по первое пз уравнений (8) имеет вид — =О.
Таким образом, ~й~ и аг теорема 8 полностью доказана. Вместе с тем доказана теорема 1 первой главы, 124 доклзьтвльство пгинципл мкксимкмл Нл. г ф 16. Вывод условий трансверсальности Здесь мы дока>ксм сформулированную в первой главе теорему 3 (она справедлива для произвольного класса П допустимых управлений). Пусть и (1), 14 < 1 ( 1ь — некоторое допустимое управление, а х(1) — траектория, соответствующая управленшо и(1) п исходящая из точки хь = (О, хь).
Пусть, далее, 54 — некоторое гладкое многообразие (в пространстве Х) размерности т, ( п, проходящее через точку хь, и Т, — касательная плоскость многообразия 54 в этой точке. Через У, обозначим ткмерпую плоскость пространства Х, состоящую из всех точек вида (О, х), где х~ 14. Очевидно, >то плоскость Уь прохолнт через точкь х,. Подвергнув плоскость У ь переносу вдоль траектории х(1) в точку х(с), 14 (т (1ь мы получим плоскость Л, ь(У ь), проходящую через точку х(т). Гели т — правильная точка управления и(1), то определен также конус К, с вгршипой в точке х(с). Выпуклую оболочку множества Л,, ь(гт ь) () К, мы обозначим через Л',.
Очевидно, множество Л", является выпуклым конусом с вершиной в точке х(т). Докажем теперь лемму, являющуюся обобщением леммы 3. Л си и а 1О. Пусть т (14 ( т '11) — правильная точка управления и(1), 14 (1(1ь а х(1) — траектория, гоотве>стоу>ои1ая уприалени>о и(1) и исходящая из точки хм Пус>.ь, далее, Л вЂ” некоторое многообразие с краем размерности не более и и расположенное в Х так, что точка х(т) лежит на его краю. Обозначим через М касательну>о полуплоскость многообразия Л в точке х(т).
Если конусы У, и М, илсеющие общук> вершину в точке х(т), не являются разделяемыми, то суи1есто>рот такое управление и„(1) и такая точка т> си 5м что соответству>ощая этому уаравлени>о траектория х,(1), исходящая из точки хь — — (О, хь!, проходит через некоторую точку многообразия А, не лежащую на его краю. Д о к а з а т ел ь с т в о. Обозначим через и ортогональное проектирование многообразия 5, на плоскость Т,. Отображение я, рассматриваемое не на всем многообразия 5ы а лнпп, па пскоторой окрестности точки х„, является гомсоморфпзмом; потому определено обратное » !6! ВНВОд услОВий ТРАнсВВРОАлы!Ости 125 отображение л — ' некоторой окрестности точки хч в плоскости Т» на нокоторусо окрестность точки хе в многообразии 5!» Таким образом, если 5 — произвольный вектор, лежащий в плоскости Т, и исходящий из точки х„, то при достаточно малом е ) 0 определена точка л '(В<) е= Ом т.
е. вектор 5 определяет л и н и ю х=л-'(В$), 0(е < е„, лежащую на многообразии Яа и исходящую из точки г,. Эта линия имеет в точке хч касательный вектор $, т. е. л ' се„.) = х„+ е,-. + о (е). Из этого следует, что линия (О, л — с(В$)) пространства Х исходит из точки хч = (О, х») и имеет в этой точке касательный вектор ~ = (О, $): (О, л '(В")) =х»+ еь+о(а). (42) Пусть теперь а=(т„ос, т, бгс, б!) — совокупность величин, определяющая варьирование управления и(1) (см. стр. !06). Обозначим через х!,,(1! траекторию, исходящую (в момент 1») из точки (О, л '(В»в)) и соответствующую проварьированному управлению и" (1) (параметр В в (42) н в определении управления и*(1) один и тот же). Из (42) следует, в силу (2!), что хг,, (т + Вб') = х (т) + В [А, с„(В) + Лх„) + о 'В), (43) где вектор Лх, определяется формулой (22).
Обозначим через а+ 1 размсрность многообразия Л (и размерность полуплоскостн М), Так как конусы а" и М пе являются разделяемыми, то (см. сноску на стр. 107) существует такая точка а, принадлежащая по луплоскости М, но не лежащая на ее краю, н такая плоскость С размерности п — з ) О, проходящая через точку а, что шар малого радиуса с центром в точке а дает в пересечении с плоскостью С <дополнительную плошадку» к полуплоскости М, причем эта «площадка» ор!огональпа прямой, проходящей через точки х(т) н а, н цели!он содержится в конусе Х',.
Эту «дополннтельнусо площадку», являющуюся шаром размерности и — з, мы обозначим через Е. Пусть е,..., е„, — взаимно ортогональные радиусы шара Е; положим, далее, г! = — е, З м1 вывод углбвин тР»исввгсллы!Ости 127 коэффициентом '/ . При ~ех же условиях конец вектора е(А,, (Ц(о, ..., р"))+Лх,( ~ „,)) пробегает (и — з) -мерный шар Е„получающийся из шара Е~ гомотетией с центром х(т) и коэффициентом з. При в=в(р', ..., р"-'), в=а(р', ..., р" ') траектория х1,(г) непрерывно зависит от параметров р', ... ..., р"-', как н число б(,. Поэтому точка х1,,(т+ ебГ,) непрерывно зависит от р', ..., р"-'.
Следовательно, когда точка (р', ..., р" ') описывает шар (44), точка х~,.(т+абг.) пробегает (при любом фиксированном е) некоторый «диск» Е, (цепрерывный образ шара (44)), причем с точностью до малых более высокого порядка, чем е, диск Е, «совпадает» с шаром Е,. 1Иар Е, и полуплоскость М (точнее, конечный ее кусок вблизи точки х(т)) являются цепямн (см. сноску на стр. 112) размерностей п — з и в+ 1 соответственно, причем индекс пересечения этих цепей равен -+1, а расстояние каждой цепи до границы другой имеет порядок е. Поэтому «диск» Р, (отстоящий от Е, на величину более высокого порядка малости, чем в) п многообразие Л (касающссся полуплоскости М) также имеют при достаточно малом е индекс перессчспня ~1, т.
с. при достаточно малом е диск Р, пересекает многообразие Л в некоторой точке, не лежащей на краю этого многообразия. Иначе говоря, существует такое е ) 0 н такпс р', ..., р" ', что точка хьюг(т+еб1~) принадлежит многообразию Л, но не лежит на его краю.
Следовательно, обозначив величины и, "(Г), хн а (Г), соответствующие выбранным значениям е, р', ..., р" ', чсрсз и„(1), х,(г), мы найдем, что траектория х,(1) начинается в точке х,(го)=(0, я-'(еь))=(0, хо), где хо=я '(вх)енто н проходит (в момент т'= «+ еИ,) через некоторую точку многообразия Л, не лежащую па его краю. Таким образом, лемма 10 доказана. Пусть теперь и(1), Го(Г(1ь — оптимальное управление, а х(1) — оптимальная траектория, дающие решение поставленной в 5 6 задачи с подвижными концами. Положим х(Го) = хм х(1~) = х,; точки х, и х~ пространсгва Х определим, как ьсегда, отбрасывая «нулевую» !28 докхзхтгльгтво пгннс1нпх микгнмхмх 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
