Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 16
Текст из файла (страница 16)
+ 61,)+ +еА2,.2,9о)+е ~4' [~(х(т!), о!) — 1(х(т,), и(т,))1(!1!+ +е,'»', Л... [1(х(т!), о!) — 1(х(т!), и(т!))] о!2+о(е). ! ! Учитывая, что А..с= Е при ! =?2+1, ..., з (см. (17)), можем последнее соотношение переписать в виде х (т»+ е(1,+(!1,))=х(т,)+ +ес(х(т»), и(т,))(1»„+МА+2+... +61,)+вА,'2» Яо)+ +в~ Л,, [1(х(т!), о,) — 1(х(т!), и(т!))]о!2+а(в). (28) ! ! % сп ВАРИАЦИИ УПРАВЛЕНИЙ И ТРАЕКТОРИЙ !03 Если тА+! = т, = т, то, в силу определения чисел (ь мы имеем 1,+И,=И, 1с,~сс+ИА+с+ ...
+ И, = И, так что соотношение (28) совпадает в этом случае с (21), (22). Если жс т. (т, то 1,+И. = О, 6+!+ ИА+с+ ... + И, = О, и соотношение (28) принимает вид х" (тс) = х (т,) + еА „с, (че) + + е ~ А... (с(х(тс), пс) — с («(тс), и(тс)))И!+ о(е). (29) с=! Так как н этом случае на участке т, ( с ( т управление и'(1) совпадает с и(1), то (см. Э 12) с точностью до величин более высокого порядка малости, чем е, векторы х*(1) — х(1) при т„(1(т получаются друг из друга переносом вдоль траектории х(1) (см.
19)): х*(с) — х(1) = Ас,, (х (т,) — х(т,))+о(е) (1~т,). Поэтому, применяя к формуле (29) преобразование А... мы получаем (см. второе из соотношений (17)) х*(т) — «(т) = еА,, с,(ае) + + ь Х А... [г(«(тс), ис) — г(«(тс), и(тс))|И!+ о(е). Наконец, складывая последнее соотношение с соотношением (25), мы и в этом случае (т. е.
при т„( т) получаем соотношения (21), (22), чем и заканчивается доказательство. 3 а м е ч а н и е. Анализируя проведенное доказательство, мы заметим, что оно основывается на формуле (1) и уравнениях в вариациях (формулы (14) — (16)). Поэтому, учитывая формулу (2) и замечание 2 на стр. 96, мы приходим к следующему выводу. Если все величины 61ь Ись ..., И„И зависят непрерывно от некоторого параметра т, изменяющегося в компактном множестве Ас, то формулы (21), (22) сохраняют силу, причем величина о(е) в формуле (21) (зависящая„конечно„от т) имеет р а в и о м е р ц о е и о т более высокий порядок малости, чем е. 106 доктзхтяльство пвннципх мхкаткмл 1гл > 5 14.
Основные леммы Если какое-либо из чисел И; равно нулю, то его можно отбросить при определении пропарьированного управления и'(1) вместе с соответствующими точками т~ и о; — от этого управление и*(1) не изменится. Обратно, добавление новых точек ть оп для которых И; = О, не изменяет управления и*(1). Пользуясь этим, мы можем, если речь идет о к о п е ч н о м числе управлений и*,(!), ..., и,'(1), получающихся варьированием одного и того же управления и(1) при одном и том же т, считать, что все точки ть о; при определении управлений и',(У), ..., и'(1) одинаковы и взяты в одинаков о м числе, а все различие между этими управлениями заключается в том, что у них не одинаковы числа И; и И.
Этой возможностью — считать все точки ть о; одинаковыми (при рассмотрении к о и е ч н о г о числа различных вариаций одного и того же управления) — мы будем пользоваться в дальнейшем, пе оговаривая каждый раз. Вектор Лх (см. (22)) не зависит от е, но существенно зависит, конечно, от выбора точек ть оь т и чисел И н И;(1= 1, 2, ..., з). Обозначим совокупность величин ть оь т, Иь 6г через а: а=(т,, оп т, Иь 6>), и будем вектор (22) обозначать далее через Лх„подчеркивая тем самым его зависимость от этих величин.
В этом параграфе мы будем предполагать, что правильная точка т управления и(1) з а ф и ко и р о в а и а и что все рассматрнвающиеся вариации этого управления удовлетворя>от условию (а < т> с тз ( .. (т,~~т < (ь Пусть имеется к о н е ч н о е число величин Мы можем считать (см. выше), что все точки т;, ог одина ко вы у всех величин а', а", ... (что и предусмотрено обозначениями).
Линейную комбинацию Х'а'+ з 141 основныг. лгммы + Л"а" + ... величин а', а", и неотрицательными коэффициентами Л', Л", ... мы определим формулой *) Л'а'+ Л"а" + ... = = — (т, о., т, Л'б" + Л" И".+ ..., Л'6.'+Л" бсн+ .. ). 4 ! ! (Неотрицательпость коэффициентов Л', Л", ... сушествеппа погому, что в противном случае величины Л'б!,'+ Л" д1,"+ ... могли бы оказаться отрицательными, что недопустимо.) Будеи тепсрь, имея некоторое управление и(!), со ( (( ( с!, и соответствуюшую траекторию х(!), рассматривать векторы гтх = гтх„для различных символов а (т фиксировано).
Легко видеть, что имеет место следуюшая лемма. Лемма 2 Если а =Л'а'+Л"а" + ... (где Л') О, Л" ) О, ...), то соответствующие векторы стх связаны такой же линейной зависимостью !'тх, = Л'сгх, + Л" схх, + Это непосредственно вытекает из того, что в формулу (22) все числа Б(ь ..., бг„б( входят липей н о. Мы будем считать Лх связанным вектором, исходягцим из точки х(т), т. е. будем счнтать этот вектор элементом пространства Х, (см. 5 12). Если мы будем брать всевозможные символы а (т фиксировано), то векторы ах = ах„заполнят некоторое множество Кт в пространстве Х,.
Докажем теперь, что лгножество К, является выпуклым конусом **) векторного пространства Х,. «) Отметим, что, вообще говоря, добавление новых точек то ог, для которых бб = О (благодаря чему все точки тн о! у рассматриваемого конечного набора величин о',а",... сгановятся одними и теми же), может быть произведено неоднозначно. Вследствие этого линейная комбинация Л'а' +Л«о« + ..
также определена неоднозначно. Однако, квк легко видетгч зта неоднозначность никак не скажется на результатах последующих вычислений. "") !«и!ожег во М, лежащее в некотором векторном пространстве Х, называется выпуклым конусом с вершиной в точке о, если !) оно является конусом, т.
е. вместе с каждой отличной от о точ> кой а содержит и весь луч оа, 2) оио выпукло, т. е. вместе с каждыми двумя точками содержит целиком соединяющий их отрезок [оа доказательство Г!Рннцнпл макс[Ил[мыл [Гл. э В свмом дело, если а и аи — две гочки пространства Х„принадле>кап[ис множеству К„т. е.
если супгесгвуют такие символы а', а", что ам= Лх;, а'=Лхм, то для л[обых неотрицательных Л', Л" мы имеем в силу леммы 2 Л'а'+ Л"а« =Л'Лх, + Л" Лх,-= Ах[ма+а;->, т. е. точка Л'а>+Лнам также принадлежит множеству К,. Это и означает, что К«есть выпуклый конус про- Зал>стим, что если выпуклый конус М пе заполняет вссго векторного пространства Х, в котором он расположен, то существует в пространстве Х такая гнцсрплоскость, проходящая через вершину конуса о, что весь конус М расположен целиком в каком-либо одном (замкнутом) полупространстве, определяемом этой гипернлоскос>ью. Точка х ш Х называется внутренней точкой выпуклого конуса М с Х, если некоторая окрестность точки х в пространстве Х целиком содержится в конусе М. Множество всех внутренних точек конуса М ~ Х называется его внутренностью, [!уст!и далее, М! и Мэ — два выпуклых конуса пространства Х, имеющих общую вершину о.
Конусы М, и М, назовем разделяел>мхш в Х, если существует разделяющая их гиперплоскость, т. с. такая гиперплоскостгч что конус М, расположен целиком в одном (замкнутом) полупространстве, определяемом этой гипсрплоскостыо, а конус М,— в другом полупространстве. Для того чтобы конусы М, и Мэ были разделяемыми, необходимо н достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих двух условий: !) существует гииерплоскость, содержащая оба конуса М>, Мэ! 2) нс существует точки, которая была б!ы внутренней точкой каждого из конусов М>, Мэ от.
носителыю его несущей плоскости. Таким образом, ес.ян конусы М! и Мэ (с общей вершиной о) ие явлшотся разделяемыми в Х, то линейная оболочка нх несущих плоскостей совпадает со всем пространством Х, и, кроме того, существует точка а, явля>ощаяся внутренней точкой каждого конуса Мь Мг относительно сго несущей плоскости. В этом случае через точку а можно провести такую плоскость С, ортогональную прямой оа и пересекающуюся с несуше>т плоскостью конуса М> только в точке а, что все точки плоскости С, достаточно близкие к а, принадлежат конусу М>, и, кроме того, линейная оболочка плоскости С и несущей плоскости конуса М! совпадает с Х.
Иначе говоря, шар малого радиуса с центром в точке а даст в пересечении с плоскостью С «дополнительную плошадку» к несущей плоскости конуса Мь причем эта площадка ортогональна прямой оа и целиком содержится в конусе Мь Размерность этой «дополнительной площадки» равна разности размерностей пространства Х и конуса Мэ. 109 основнь!е лгммы % н| странства Х, (нлн, что то же самое, выпуклый конус пространства Х с вершиной в точке х(т)). Мы будем называть множество К, конусом достижил|ости Дока|кем теперь две леммы, служащие основой для применения вышеизложенных конструкций к изучению оптимальных процессов.
Л е им а 3. Пусть т (1ь (т ( 1г) — правильная точка управления и((), х(1) — траектория, соответствующая управлени|о и(1) и исходящая из точки хм а Л вЂ” некоторая ~гикая, исходящая из точки х(т) и имеющая в точке х(т) касательный луч Е. Если луч Е принадлежит внутренности конуса К, (т. е. если все точки луча г., кролге его конца, являются внутренними точками множества К,), то существует такое управление и,(г), что соответствующая ему траектория х,((), исходящая из той же точки х|ь проходит через некоторуго (отличную от х(т)) точку линии Л. До к а вате л ьс| во. Выберем на луче Е какую-либо точку А, отличную от х(т), п из этой точки А проведем п векторов е|, ем ..., е„равной длины т, ортогональных лучу Е н попарно ортогональпых между собой.
Положим, далее, )'г = — еь г = 1, 2, ..., и, причем векторы также будем считать исходящими нз точки А. Число г— общую длину векторов е|, ..., е„, тг, ..., ~„— будем считать настолько малым, чтобы концы всех этих векторов принадлежали конусу К, (это возможно, так как А есть в н у т р е н н я я точка этого конуса). Наконец, через с обозначим вектор с началом в точке х(т) н концом в точке А. Так как векторы с, с+ е„с+ е|ь ..., с+ е„, с+ Г„с+1„..., с+~„ (исходящие из точки х(т)) принадлежат конусу К„то существуют такие символы а„а„..., а„, ао ..., а'„, что Лх, =с, Лх, =с+в,, ..., Лх, =с+е„, Лх, =с+~|, ..., Лх, =с+~„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
