Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Мы будем здесь рассматривагь нс только кусочно- непрерывные, но и значительно более общие управления. Управление и(8), га ( ~ ( 11 (т. е. функция и(() со значениями в области управления (/), называется измеримым, если для любого открытого множества О с- Е„ множество всех тех значений г, для которых и(1)е= О, измеримо (в смысле обычной лебсговской меры) на отрезке 1о < 1 ( (ь Ограниченность понимается в обычном смысле, т.
е. управление и((), (о((~(ь называется ограниченным, если множество всех точек иЯ, го ( г = гь имеет в пространстве Е„к о и п а к т н о е з а м ы к а н и е. *) Приводимые ниже рассуждения проходят без всякого изменения для случая, когда 0 представляет собой произвольнос подмножество некоторого топологического хаусдорфова пространства со счетной базой. Незначительное изменение доказательства позволяет снять и требование существования счетной базы.
Однако мы ограничиваемся в тексте случаем подмножества г-мерного векторного пространства как наиболее простым и вполне достаточным для приложений. з м] ДОПУСТИМЫЕ УПРАВЛГПИЯ В дальнейшем предполагается, что выбран некоторый класс О управлений; управления, принадлежап!ие этому классу, будут называться допустпиц!ми. От класса 0 допустимых управлений требуется только, чтобы ои удовлетворял следу!ощип трем условиям: 1) Все управления и(1), 1ц (1~1ь принадлежащие классу Р (т. е. допустимыс), из мер и мы и огр анич е н и. 2) Если и(1), 1ц с 1 с 1!, — допустимое управление и если Π— произвольная точка множества с1, а 1', 1"— такие числа, что 1ц( 1'~ 1" =1!, то управление и!(1), 1ц < 1< 1!, опрсдсляемос формулой О при 1' <1<1", и! (1) = и(1) при 1ц~(1<1' и 1" <1~1„ также является допустимым.
3) Если отрезок 1ц < 1( 1! разбит точками деления на конечное число частичных отрезков, на каждом из которых управление и(1) допустимо, то это управление допустимо и на всем отрезке 1ц '1< 1!. Допустимое управление, рассматриваемое на частичном отрезке, также является допустимым. Управление, получающееся из допустимого управления и(1), 1ц 1 ( 1ь сдвигом времени (т. е. управление и,(1) = и(1 — а), 1ц+ а (1 (1!+ Сц), также является допустимым. В качестве класса допустимых управлений м о ж н о взять, например, множество всех и з м е р и м ы х о г р а- и н ч е н н ы х управлений. Этот класс допустимых управлений, очевидно, содержит в себе любой другой класс допустимых управлений, и потому мы будем обозначать ЕГО СИМВОЛОМ 1)!Аах.
Другим примером может служить множество всех кусочно-непрерывных управлений, о которых мы говорили в первой главе. Наконец, классом допустимых управлений является множество всех кусочно-постоянных управлений (т. с, таких управлений и(1), 1ц < 1 < 1ь что отрезок 1ц (1<1, можно разбить точками деления на конечное число частичных отрезков, внутри каждого из котовых 88 доктззтгльгтво пишпипл мхкспмтмт !гл т управление и(1) постоянно). Этот класс допустимых управлений, в силу условий 2) и 3), содержится в любом другом классе допустимых управлений.
Поэтому класс всех кусочно-постоянных управлений мы будем обозначать символом О„в„. В дальнейшем на протяжении всей этой главы мы будем предполагать, пе оговаривая этого специально, что раз навсегда фиксирован некоторый класс допустимых управлений, Этот класс будег обозначаться символом О. Введение в рассмогрепие измеримых (а ие только кусочно-непрерывных) управлений объясняется отнюдь не стремлением к наибольшей математической общности. Дело в том, что в главе 3 при доказательстве весьма важной теоремы существования мы будем вынуждены пользовагься измеримыми управлениями (несмотря па то„что в окончагельной формулировке теоремы участвуют лишь кусочно-постоянные управления).
В связи с необходимостью расматривать измеримые управления мы отметим здесь некоторые важные для дальнейшего свойства измеримых функций. Пусть и(1) — произвольная измеримая функция, заданная на интервале а < 1( Ь и принимающая значения в области управления И, Точку 6 интервала а ( ( ( Ь мы будем называть правильной точкой для функции иЯ, если для любой окрестности О с: У точки и(й) выполнено соотношение !нп = 1„ мев (и-' (О) П В ев г.+о твсв У здесь и-'(О) — множество всех точек 1 ингервала а ( (1 Ь, для которых и(()в=О, через / обозначается произвольный отрезок, содержащий точку О, а символ гнев означает лебеговскую меру множества.
Очевидно, что всякая точка непрерывности функции и(() является ее правильной точкой (ибо если отрезок 1, содержащий точку й, достаточно мал, то ( ~ и-'(О)). Таким образом, если функция и(1) кусочно-непрерывна, то все точки интервала а ~1( Ь, за исключением лишь конечного числа их, являются правильнымн точками для з !с! попуст!ю!ые кпрдп.чг!шя функции и(1).
Оказывается е), что в случае произвольной измеримой функции и(1) множество всех правильных точек имеет на интервале а ( ! ( Ь полную меру, т. е. почти все точки интервала а (1 «Ь явлтотся правильньел!и точкал!и для гйункиии и Я. Далее, пусть д(1, и) — действительная непрерывная функция пары переменных 1е=-(а, Ь), иен () и и(1), а ( (1«Ь,— ограниченная измеримая функция со значениями в с). Если 0 — правильная точка для функции и(!), то имеет место соотношение о+ее д(1, и(1))сй=з(е) — р)д(0, и(0))+о(е); (1) е+де здесь р и д — произвольные действительные числа, е— достаточно малое положительное число, а о(е) — бесконечно малая более высокого порядка, чем е, т.
е. !)гп — = О; интеграл понимается я смысле Лебега. о !в) е.ее е Соотношение (1) легко выводится из определения правильной точки. Отметим, что если функция д непрерывно зависит еще и от параметра т, изменяющегося в к о м п а к т н о м множестве й) (например, з замкнутом ограниченном множестве некоторого конечномерного векторного пространства), то формула (1) сохраняет силу: В+с й!(1, и(1), ч)сй а+ ее =е(е) — р)д(0, и(О), т)+о(е, ч), ч~ гч!, (2) причем величина о(е,т) р а в но мер но по т имеет более высокий порядок малости, чем е, т. е. отношение о(е, ч) — равномерно по ч ен й) стремится к нулю при е е-ь О. ') Это утверждение легко следует из того факта, что почти все точки произвольного измеримого множества являются его гочкали плотности (см., ивпример, Ф.
Рисе и Б. СекефвльвнН е дев Лекции по фуикционзльному зизлнзу, ИЛ, йь, гйо4, стр. 2!; И П. Н з т з и с о и, Теории функций вещественной переменной, Ростезиздат, М., !957, стр. 265), 99 доказлткяьство цып!пипл макспммма !гл. г Сделаем еще некогорые замечания о дифференциальных уравнениях с измеримыми правыми частями *). Рассмотрим систему ! ! = й' (зг, ..., з, Е, и), г' = 1, 2, ..., пт.
(3) Правые части уравнений (3) непрерывны по совокупности переменных зг, аа, ..., г"', 1, и и непрерывно дифференпнруемы по а', а', ..., г'". Пусть и(1) — произвольная ограниченная измеримая функция, заданная на отрезке (о(1(1, и принимающая значения в (7. Мы будем рассматривать абсолютно непрерывные функции г'(1), ..., г (1), удовлетворяющие почти всюду на некоторой части отрезка (о (1(1г соогношениям — =й'(а'(1), ..., г (1), 1, и(1)), г = 1, 2, ..., пт. Каждую такую систему функций а'(1), ..., г (1) мы будеы называть решением системы (3), соответствуюи!илг управлению и(1). 1!рн таком понимании решений для системы (3) справедливы (при произвольно заданном управлении и(1)) все основные факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений и, в частности, теорема существования н единственности решений. Вообще говоря, решение системы (3) определяется не на всем отр ез ке 1о ~! = (г, на котором задано управление и(1) (и, следовательно, правые части системы (3) ).
Однако, если система (3) л и н с й н а относительно г', ..., а"', то любое решение системы (3) определсно на всем отрезке 1о (1~ 1~ задания управления и(1). В случае, когда правые части системы (3) непрерывно зависят еше и от некоторого парамегра !т, имеют место обычные теоремы о непрерывной зависимости решений от параметров. В частности, решения системы (3) непрерывно зависят от начальных значений. Кроме а) См. С. С а г а1Ь е о г! о г у, Чог!еаопяеп 6Ьег гее!!с Гнп!с!копен, Ее!ра!я, !927, стр.
665; Дж. Сан соне, Обыкновенные днффереяняальные уравнения, т, 11, ИЛ, М., !954, стр. !20. ф И] ФОРМУЛИРОВКА ПРИИПИПА МАКСИМУМА 9] того, «добавки», которые получают функции г] при малом изменении начальных значений, удовлетворяют обычной системе уравнений в вариациях (ср. $ 12). й 11. Формулировка принципа максимума длн произвольного класса допустимых управлений Как н в предыдущей главе, мы будем рассматривать систему дифференциальных уравнений 1]Х' — =11(ха, хх, ..., х, и', ..., и') =— )1(х, и), (4) 1=1,2,...,п, или, в векторной форме, — =] (х, и).
б) Функции (1,1= 1,2,...,п) ,л ) дР(х~ ха ""х~ и) дх предполагаются заданными и непрерывными на прямом произведении Х Х О, где 0 — замыкание множества 0 в пространстве Е„, Как и в прсдыдущей главе, мы Введем в рассмотрение интегральный функционал !а 1 = 1 )ь (х (1) и (1)) Ж 1а где )ь удовлетворяет тем же условиям, что и функции 11, ! = 1, 2, ..., и. Поставим задачу: среди всех допустимых управлений и = и(1), переводящих фазовую точку из полоясения хь в положение х], найти такое, для которого функционал (6) принимает наименьшее возможное значение (моменты времени 1, и 1! заранее пе заданы). Термины «оптимальное управление» и «оптимальная траектория» мы сохраним и в этой главе. Дословно так же, как и в главе 1, поставленная оптимальная задача формулируется в следующем эквивалентном виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
