Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (4-е издание) (955115), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Далее, решение (!5) переписывается, очевидно, следующим образом: у (1) — х (1) = вАь и (Ео) + о (е) = = Ак и (У ((о) — х (10)) + о (е). (19) 4 л. с. поитрягин и лр, ав ДОКАЗАтЕЛЬСтяО ПР1ШЦИПЛ МАКСИМУМА н'л. " Сравним теперь системы (16) и (8). Эти системы линейны и однородны, а матрицы их имеют соответственно вид: д)!»х»!), и»!)) 1 ( дга»х»!), и»!))~ ( ' 1 ( дх / дх! Иначе говоря, эти матрицы получаются друг из друга транспонированием и переменой знака, т. е. системы (16) и (8) — сопряокенные.
Заметим, что системы (8) и (!6) мы можем рассматривать лишь в том случае, сслн выбрано управление и(1), 1О ( ! ~. :11, и соответствующая ей траектория х(1) (т. е. решение системы (7) ), ибо функции и(») и х(!) входят в правые части систем (8) н (!6). При этом, в силу линейности систем (8) и (16), решения этих систем мы можем рассматривать на всем отрезке»о (1а-»ь если решение х(1) определено на всем этом отрезке. Из сопряженности систем (8) и (16) вытекает, что если !р(1) = Цо(1), !1!1(1), ° ., 1р„(1) ) — произвольное реьиение системы (8), а Ьх(1) = (Ьхо (»), бх' (1)...
ЬА (1) )— произвольное решение систел!ь! (16), го скалярное произведение л (!р(1), Ьх(1))= ~„ф- (1)бх (») а-О постоянно на всем отрезке 1, (1(11. В самом деле, мы имеем (почти всюду на отрезке»о (1а! 1,) л л л — '~' 1 (1)б'(») = ~ "')'"»!) Ьта (»)+~' 1 (1) д" '" = а-О а О а О л д)о » »!) и »!)) ,„ (1) » (1) + дха В а.а О л + Х Ф (1) д~» «)' «)) Ьхв(!)=О. дхо а.
Р-О Пусть, в частности, ~о — произвольный вектор. Тогда Вектор-функция а! = А1, 1„($О) является, по определешио, $!н системА уРАВНеНИЙ В ВАРИАЦИЯХ 99 решением системы (18) (см. (18)). Таким образом, справедлива следующая лемма. Л е м и а 1. Если >)>(1) — решение системы (8), а $О— произвольный вектор, заданнь>й в точке х(1О), то на всем отрезке 1О (1( 1, выполнено соотношение (>1 (1), Ас и (Ц)) = сопз1. Лемма 1 позволяет дать следующую геометрическую интерпретацию системы (8).
Пусть ЕΠ— некогорая гиперплоскость пространства Х, проходящая через точку хь (т. е. через начало координат пространства Х>,). Линейное преобразование А>, и переводит гииерплоскость ЕО в некоторую гиперплоскость с! (проходящую через точку х(1)). Таким образом, возникает семейство гиперплоскостей (Е!), получающихся, как мы будем говорить, переносом гиперплоскости ЕО вдоль траектории х(1). Уравнение гпперплоскостп 1., можно записать в виде Х ф.(1) - =О, (20) а О где х', и = О, 1, ..., и,— текущие координаты, взятые в пространстве Х>, а >)>„(1) — коэффициенты уравнения этой гиперплоскости (свободный член отсутствует, так как гипсрплоскость Е! проходит через начало координат пространства Х,).
Мы хотим узнать, каковы должны б!ыть функции >1> (1), чтобы уравнение (20) определяло при ра>личных значениях параметра 1 семейство гиперплоскостей, перенесенных вдоль траектории х(1). Оказывается, что такие функции >р (1) можно находить из системы (8), т. е.
если >(>(1) =(>(>О(1),>(>>(1),...,>(> (1))— некоторое. решение системы (8), то гиперплоскости (20) получаются друг из друга переносом вдоль траектории х(1). В самом деле, если функции >р„(1), !х= О, 1, ..., и, удовлетворяют системе (8) и если вектор 9О лежит в гиперплоскости г', >1> (1О)х =0 (т, е. скалярное произвеа-О ление (ф(1О), $О) обрашается в нуль), то и при любом 1 скалярное произведение (>1>(1), А>, >,(ЬО)) обращается в нуль, т. е. каждый вектор К>=А>,>,ЯО), получающийся 1 к~ докдздтсльство пщшципд мдксимтмл 1гл 2 из К, переносом вдоль траектории х(1), лежит в соответствующей гиперплоскости (20). Так как зто справедливо для любого вектора фм лежащего в гиперпло- л скости ~ д(, (1,) х" = О, то гиперплоскости (20) полу. д=л чаются друг из друга переносом вдоль траектории х(1).
$ 13. Вариации управлений и траекторий Пусть и(1) — некоторое допустимое управление, определешюе на отрезке 1« (1(1ь Выберем некоторые моменты времени ть гм ..., т„т, удовлетворяюпдие неравенствам 1«(т~ <тд < ... < т, < т(1, н являющиеся пранильными точками для управления и (1). Выберем, далее, произвольные неотрицательные числа йь ... , й„произвольное (пе обязательно неотрицательное) действительное число й и произвольные (не обязательно различные) точки оь о,, ..., о, области управления 11.
Определим теперь зависящие от е полуннтервалы 1ь 1г,, 1„следующим образом. Положим б1 — (б1д+ ... +б1,), если тд=т; — (й;+ ... +й,), если т,=т,<т; — (й;+ ... +йт), если т,=т, = гд < тт, ~ (1<5), и обозначим через 1; полуннтервал тд+ е1; <1(т;+ е(1д+ б1д). Таким образом, если т, = тд ы = ... = ть то полуннтсрвалы 1„1дьь ..., 1, следуют, примыкая друг к другу, слева направо; если жс к полуинтервалу 1д нс примыкает справа следующий полуннтервал (т. е. если тд ( ( тдз.~ или А = з), то правым концом полуннтервала 1л является точка тд при тл ( т и точка т+ей при тл=т.
Длина полуинтервала 1; равна ейь В случае б1; = 0 соответствующий полуинтервал 1; является «пустым», т. е. отсутствует. При достаточно малом е полуинтервалы 1,, !, попарно не пересекаются и располагаются все на основ- % сз! вхвихции тпехвлении н телектоеии 1Щ ном отрезке 1е (1 ~ 1ь причем левее точки т+ ей. Считая, что е удовлетворяет этим условиям, мы определим управление и*(1) на отрезке 1е(1~т+еИ, по. ложив: и(1), если Э пе принадлежиг ни одному сс" (1) = нз множеств 1„1„.. „1„ о,, если 1~1о й(ы будем говорить, что управление и*(1) получается вирьированиелс управления и(1), В силу соглашений о классах допустимых управлений ($ 1О), управление и'(1) является (при достаточно малом е) допустимым.
!1усть х = Ц(е), О ( е =. ем — парамегрическая запись гладкой линии, проходящей при е = О через точку хе и с4(о) Х имеющей в точкс хе касательный вектор те сх= — ) . сСе ) Обозначим чсрсз х(1), 1, ( 1 ( 1ь траекторию, соответствующую (см. (7)) управлению и(1) и исходящую нз точки хм а через х" (1) — траекторию, соответствусощую нроварьпрованному управлению и*(1) и исходящую из точки в(е). (Параметр е в определении проварьированного управлсния и*(1) и в параметрической записи линии ~(е) — один и тот же.) Так как управленнс и*(1) ограничено и отличается зт и(1) только на множестве меры е(йс+...
+ И,), то из теоремы о непрерывной зависимости решений днффересщиальных уравнений от начальных значений легко вытекает, что при достаточно малом е решение х*(1) определено па всем отрезке 1,(1< т+ ей, на котором рассматривается управление и*(1) Пашей ближайшей целью является вычисление положения точки х'(т+ ей). Именно, мы покажем, что справедлива срормула х" (т+ ей) =х(т)+ еА,, с, (Ее)+ еЛх+ оге1, (21) асЭе Лх — не зависящий от е вектор, определяелсый равенством ссх =1(х(т), и(т]) й+ 5 + Х Аь с11(х(тс) ес) 1(х(тс), сс(тс)))й(с, (22) с 1 102 докхзхткльство пяинципс максима ма 1гл. с Доказательство формул (2!), (22) мы проведем индукцией по з.
Прежде всего, применяя соотношение (1) к векторной функцин д(1,и) = 7(х(1),и) (очевидно, непрерывной по совокупности своих аргументов) и полагая О =т, р= О, д= й, мы получим т+е м 7(х(1), и(1)) с(1 = а И ° 1(х(т), и(т))+ о(е), с или, так как х(1) есть решение (абсолютно пепрсрывное1) системы (7), х(т+ ей)=х(т)+ е1 (х(т), и(т))бс+ о(е). (23) 7(х*(1), и*(1)) ~сс= ~ 7(х*(1), и(1)) И.
(24) Кроме того, как легко видеть (используя теорему о нс. прерывной зависимости от начальных значений), реше. ние х (1) равномерно (на всем отрезке 1а (1< с+ ей) стремится к х(1) при е — ~-О. Поэтому 1(х'(1),и(1))= =1(х(1),и(1))+к1(1), где 4~ (1) равномерно (по 1) стре. мится к нулю при е- О. Отсюда получаем с~ем с+с М 1(х'Я, и(1))Ф= ~ 1(х(1), и(1))сИ+о(е)= т х =х(т+ еИ) — х(т)+о(е) =е1'(х(т), и(т)) И+ о(е) (см. (23)). Сопоставляя это соотношение с (24), находим (при т,, (т) х' (т + е И) = х'(т) + е1' (х (т), и (т)) И + о (е). (25) Наконец, найдем приращение функции х'(1) на полуиитсрвале 7ь Так как па этом полуинтервале 7'(х'(1), и'(1)) =7'(х(с), о,) + ье,(1), Далее, если т,( т, то при достаточно малом е отрезок между точками т и т+ей расположен правее точки т,, так что на этом отрезке управление и"'(1) совпадает с и(1) и потому х'(т+ ей) — х'(т) = хз см э Гя ВАРИАЦИИ УПРАВЛРНИИ И ТРАЕКТОРИЙ шз где $э(1) равномерно стремится к нулю при е-эО, то для приращения х (тг+ а(1с+ 51!)) — х (тг+ е(!) = х )! функции х*(1) на полуинтервале 1! получаем следую!цее значение: х*1, = ~ ! (х (1), и(!)') гй= Т! = ) 7 (х (У), о;) !1! + о (е) = е! (х (т!), о,) У! + о (е (26) г! (напомним, что длина полуинтервала г! равна еб(!, при- чем ори е -Р О этот полуинтервал стягивается к точке т,).
Переходим к индуктивной проверке соотношений (21), (22). При э = О мы имсем и'(1) = и (/). Поэтому (см. (14), (15), (!9)) х (1) = х (1) + еЛ!. г,(Еа) + о (е). В частности, х" (т) — х(т) = еА... Я,)+ о(е). Теперь в силу (23) и (25) получаем х" (т+ ебУ) — х(г+ ЕМ) = х" (т) — х (т)+ о(е) = = ЕЛ,, г, (ке) + о,а), откуда (см. (25)) х* (т + е И) = х (т + е И) + е А,, н (еа) + о (е) = = х (т) + е! (х (т), и (т)) М + еА ..
!. (чо) + о (е), и формулы (21), (22) при э = О установлены. Предположим геиер!ь что формулы (21), (22) дока- заны уже для случая, когда число полуинтервалов У!, 7м ... меньше чем з, и докажем справедливость этих формул при наличии з полуинтервалов 1!, !м Обозначим через й такое целое число, что ТА+! —— Таеэ= ... =т, и т, ( т, ори ! ~(й (случай й = О не исключается). Заменяя точку т точ- кой т„число й! числом 1А.Р!, а число з меньшим числом Ф, мы, в силу индуктивного предположения, !04 докАзАтел! Гтно пгшшипА м»ксимхмА !Гл. 2 получим из (21), (22) х*(т,+е1»+,)=х(т)+в? (х(т), и(т))1„+!+еА,, 2,(ев)+ + е ~ А..., [1(х(т!), о,) — 1(х(т!), и(т!))] о1, + о(в1.
(27) ! Это есть значение функции х*(1) в левом косше полу- интервала 1»+!. Далее, так как полуинтервалы 1» ь ... ..., 1, примыкают один к другому, то, суммируя соотношения (26) для ! = 1с+ 1, ..., в, мы получим приращение функции х*(1) от левого конца полуннтервала 1»+, до. правого конца полуиптервала 1„ т. е. до точки т. + е (1, + о1.): х*(т, + е (1, + Ю,)) — х (т, + е1»+,) = = е ~ 1(х(т!), о!) 121! + о (в'. Складывая это соотношение с соотношением (2?), Иа»2- дем х'(т,+ е(1,+ о1,)) х(т,)+ е1(х(т,), и(т,))1»+, + + еЛ,, 2, Яв) + е ~ 1(х (т!), о!) о1! + А+! + е ~' А»» с,У(х(т!) о!) — ! (х(т!) и(т!))]!112+ о(е) = ! ! =х(с,)+ 4(х(т,.), и(т,))(1».»!+о1»+2+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
