Дроговоз П.А. - Управление стоимостью инновационного промышленного предприятия (953900), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Этамодель использует уравнение в частных производных для определениястоимости любого производного финансового инструмента. Точное решение для определения стоимости европейского опциона на актив, вГлава 266течение срока действия которого не выплачиваются денежные средстватакие, как дивиденды имеет видC = AN ( d1 ) − Xe − r (T −t ) N ( d 2 ) ;ln(d1 =rf + σ 2A)+(T − t )X2;σ T −t(2.56)d 2 = d1 − σ T − t ,где САX(T – t)––––стоимость опциона на покупку;текущая цена актива;цена исполнения;время до момента исполнения, выраженное в десятичныхдолях года;σ– среднее квадратическое отклонение цены актива;N()– кумулятивное стандартное нормальное распределениевероятностей;d1, d2 – стандартизированные нормальные переменные;rf– безрисковая ставка дисконтирования.Впервые значимость реальных опционов была отмечена экономистом С.
Майерсом (Myers) в 1977 г.: «…часть стоимости фирмы представляет собой приведенную стоимость опционов на осуществлениепоследующих инвестиций в возможных благоприятных условиях»[II, 94]. Он также отметил, что для оценки стоимости реальных опционов можно использовать теорию ценообразования финансовых опционов. В настоящее время тип опционов, описанных С.
Майерсом, называется опционом на расширение. Кроме опционов этого типа в зарубежных литературных источниках были рассмотрены следующие [II, 89;94]:– опционы на отсрочку решения об осуществлении капиталовложений до наступления оптимального момента времени;– опционы на прекращение деятельности по ликвидационной стоимости проекта;– опционы на расширение или свертывание производства в зависимости от спроса на продукцию;– опционы на опционы (комплексные опционы для моделированиямногофазных проектов).В современной финансовой теории для решения задач оценки опционов широкое распространение получили стохастические процессы.В финансах используются две группы стохастических процессов – дис-Теоретические основы управления стоимостью…67кретные (в форме биноминальных и триноминальных моделей) и непрерывные.Согласно гипотезе эффективных рынков, цены активов отображаютвсю историческую информацию, касающуюся данного актива, и немедленную реакцию на поступающую новую информацию по данному активу [II, 68].
Ответная реакция проявляется в виде изменения цены. Всоответствии с этой гипотезой, изменения в ценах активов будут следовать марковскому процессу. Цены активов не могут быть отрицательными, но могут быть бесконечно положительными. Этот эмпирическийфакт является базой для выдвижения предположения, что отношениецен активов распределено логонормально, а наращенный доход по активам распределен нормально.Броуновское движение, или основной процесс Винера, представляет собой разновидность марковского процесса, которая используется вкачестве базовой для определения стохастических процессов цен активов. Если переменная S следует процессу Винера, то изменение S за малый промежуток времени запишется в следующем виде:∆S = ε ∆t ; ε ~ N(0,1),(2.57)где ε – число, полученное на основе случайной выборки из нормальнораспределенной переменной с математическим ожиданием,равным нулю, и средним квадратическим отклонением, равнымединице.Арифметическое броуновское движение, или обобщенный процесс Винера, позволяет учесть положительный ожидаемый доход засчет введения тенденции (α) – положительного или отрицательноготренда во временных рядах стохастической переменной.
Кроме того, вобобщенном процессе Винера также учитывается волатильность (σ),которая описывает рискованность активов:∆S = α∆t + σε ∆t .(2.58)В пределе уравнение (2.58) записывается в виде стохастическогодифференциального уравненияdS = αdt + σε dt ,(2.59)где α – абсолютный доход за единицу времени.Геометрическое броуновское движение, или процесс Ито, позволяет ввести в обобщенный процесс Винера независимость измененияцены актива от величины цены актива, т.
е. ставку доходности, не зависящую от цены актива:Глава 268(2.60)dS = µSdt + σSε dt ,где µ – ставка доходности.Примеры процессов геометрического броуновского движения представлены на рис. 2.4 и 2.5.Первый элемент в уравнении (2.60) является фиксированным, а второй – стохастическим. Переменная S имеет логонормальное распределение со следующими параметрами – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение S(t) в определенный момент времениt = T:E[S (t = T )] = S 0 e µT ;D[S (t = T )] = S 0 e µT e µ2T− 1.(2.61)Лемма Ито может быть использована для определения стоимостипроизводных финансовых инструментов. К. Ито [II, 92] доказал, чтолюбая переменная, являющаяся функцией другой переменной, котораяследует процессу (2.60), сама будет следовать этому процессу:dW = (∂W∂W 1 ∂ 2W 2 2∂W+σ S )dt +σSε dt .µS +∂S∂t 2 ∂S 2∂S(2.62)В формуле (2.62) W является функцией (производной) от S, а S следует процессу Ито:dS = µSdt + σSε dt .(2.63)Лемма Ито позволяет определить взаимосвязь между геометрическим и арифметическим броуновским движением.
Геометрическое броуновское движение (2.60) и арифметическое броуновское движение(2.59) имеют следующую взаимозависимость. Использование обозначения s = ln S и применение леммы Ито позволяет преобразовать уравнение (2.63) к видуds = d (ln S ) = (µ −σ2)dt + σε dt ,2или, используя обозначение α ′ = µ −(2.64)σ2,2ds = α ′dt + σε dt .(2.65)Теоретические основы управления стоимостью…69S3,0E+04Тенденция:2,5E+04µ = 0,095σ = 0,5Случайность:2,0E+041,5E+041,0E+045,0E+030,0E+00123а45tS3,0E+04Тенденция:2,5E+04µ = −0,182σ = 0,5Случайность:2,0E+041,5E+041,0E+045,0E+030,0E+00123б4Рис.
2.4. Геометрическое броуновское движение:а – положительная тенденция; б – отрицательная тенденция5tГлава 270Таким образом, логарифм переменной S следует арифметическомуброуновскому движению с тенденцией α ′ и волатильностью σ. Переменная ln S имеет нормальное распределение со следующими параметрами – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонениеln S(t) в определенный момент времени t =T:⎛σ2E[ln S (t = T )] = ln S 0 + ⎜ µ −⎜2⎝⎞⎟T ;⎟⎠(2.66)D[ln S (t = T )] = σ T .Модели стохастических процессов, описанные выше, позволяютопределить стоимость любого производного финансового инструмента.Уравнение в частных производных для решения этой задачи было предложено Блэком и Шоулзом [II, 86]:∂W∂W 1 2 2 ∂ 2W+ rS+ σ S= rW ,∂t∂S 2∂S 2(2.67)где r – безрисковая норма дисконта.Однозначное решение таких дифференциальных уравнений можетбыть получено только при наличии строгих ограничений.
Для уравнения Блэка – Шоулза мы имеем европейский опцион, по которому невыплачиваются дивиденды, а его стоимость определяется определенными ограничивающими условиями. Другие типы опционов имеют более сложные ограничивающие условия, и для получения однозначногорешения необходимо использовать численные методы. На практике нашли широкое применение методы конечных разниц [II, 79; 80].Методы конечных разниц позволяют заменить частные производные в дифференциальном уравнении (2.67) на конечные разностныеприближения (finite difference approximations).В определенном методе конечных разниц эти приближения имеютследующий вид:∂W W (t + ∆t , S ) − W (t , S )≈;∂t∆t∂W W (t + ∆t , S + ∆S ) − W (t + ∆t , S − ∆S );≈∂S2 ∆S∂ 2W∂S2≈W (t + ∆t , S + ∆S ) − 2W (t + ∆t , S ) + W (t + ∆t , S − ∆S )∆S 2(2.68).Теоретические основы управления стоимостью…71В неопределенном методе конечных разниц эти приближения имеют вид∂W W (t + ∆t , S ) − W (t , S )≈;∂t∆t∂W W (t , S + ∆S ) − W (t , S − ∆S );≈∂S2 ∆S∂ 2W∂S2≈W (t , S + ∆S ) − 2W (t , S ) + W (t , S − ∆S )∆S 2(2.69).Численные методы порождают проблемы, связанные с повторяющимися округлениями результатов, которые могут привести к неустойчивости – серьезным отклонениям при расчете соседних значений.Для сравнения стоимостей денежных потоков в разные периодывремени в будущем необходимо осуществить дисконтирование – приведение к текущей стоимости.Дискретное дисконтирование используется во многих финансовых операциях, при этом для приведения будущих денежных потоков ктекущей стоимости их значение делится на дисконтный множитель:PV =FV ,(1 + rd ) n(2.70)где rd – годовая дискретная норма дисконта;n – число лет.Норма дисконта, используемая при дисконтировании разновременных затрат, результатов и эффектов, отражает скорректированную сучетом инфляции годовую доходность альтернативных и доступных нарынке безрисковых направлений вложений капитала.Если дисконтирование происходит чаще, чем один раз в год, тоформула (2.70) примет следующий вид:PV =FV⎛ rd ⎞⎜1 + ⎟m⎠⎝mn,(2.71)где rd – годовая дискретная норма дисконта;n – число лет;m – число периодов начислений в году.Период времени между процессами дисконтирования можно уменьшить до такой степени, что оно будет происходить непрерывно:72Глава 2PV = FVe − rc n .(2.72)Непрерывное дисконтирование представляет собой допущение,применяющееся в экономических моделях и существующее только втеории.
При непрерывной трактовке значение нормы дисконта, равноеr, означает, что участник считает эквивалентным получение единовременного (в момент времени t = t0) дохода в размере K денежных единици непрерывного равномерного получения доходов с интенсивностью Kденежных единиц в год начиная с момента t0. Непрерывная ставка дисконта связана с эквивалентной ей дискретной ставкой выражением, которое можно получить, приравняв правые части формул (2.71) и (2.72):⎛ r ⎞rc = m ln⎜1 + d ⎟.⎝ m⎠(2.73)Рассмотренные выше элементы математических моделей опционови методы дисконтирования денежных потоков позволяют разработатьмодели осуществления инновационных проектов.
В монографии рассматриваются следующие виды реальных опционов:– опцион на ожидание;– опцион на расширение;– опцион на приостановку;– опцион на прекращение.Опцион на ожидание представляет собой возможность осуществления инвестиций не в настоящий момент, а по истечении некоторогопериода времени, когда экономические условия могут стать более благоприятными и снизится риск негативного результата.Опцион на расширение имеет место в том случае, если руководствопредприятия приобретает информационную систему с избыточнойфункциональностью, чтобы впоследствии иметь возможность расширить масштабы ее применения.
Фактически, опцион на расширение всегда присутствует в технических системах, созданных по модульной(компонентной) структуре, позволяющей расширять функциональностьпутем замены или приобретения дополнительных модулей.Опцион на приостановку дает возможность принять решение овременной приостановке осуществления инновационного проекта. Такой опцион, как правило, присутствует во всех проектах, связанных сразработкой новых технологий. Решение о приостановке и возобновлении проекта принимается в зависимости от состояния его экономического окружения.Теоретические основы управления стоимостью…73Опцион на прекращение предоставляет возможность полностьюпрекратить деятельность по инновационному проекту в случае возникновения неблагоприятной экономической ситуации.
Опцион данноговида присутствует в пилотных проектах и в проектах-прототипах.В соответствии с теорией реальных опционов осуществление любого инновационного проекта представляется в виде определенной последовательности фаз и является комплексным опционом. Каждая фазатакого сложного проекта моделируется в виде простого опциона. Дляописания подобного простого опциона в монографии вводится понятиебазовой модели инновационного проекта.Базовая модель инновационного проекта (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
