Романов А.С., Семиколенов А.В. - Интенсивный перенос (953813)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1Московский государственный технический университетимени Н.Э.БауманаА.С.Романов, А.В.СемиколеновИНТЕНСИВНЫЙ ПЕРЕНОСРекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э.Бауманав качестве методического пособияпо курсу «Нелинейные процессы переноса»МоскваИздательство МГТУ им. Н.Э.Баумана20122ПредисловиеНастоящее учебное пособие посвящено изложению основных положений теории интенсивных процессов переноса.

Последнее означает, что рассматриваются процессы переноса различной физической природы, объединяемые их «интенсивностью», которая приводит квырождению соответствующих уравнений переноса.Учебное пособие представляет часть курса «Нелинейные процессы переноса», читаемого студентам МГТУ им. Н.Э.Баумана, обучающимся по специальности «Техническая физика».В разделе рассматривается нелинейный перенос, описываемый уравнением типа турбулентной фильтрации, особенностью которого является вырождение при малой интенсивности процесса переноса. Демонстрируются возможности анализа процесса переноса, основанные на принципе максимума и на асимптотических соотношениях, связанных с пространственной ограниченностью интенсивного процесса переноса.3Оглавление4Глава 7.

Интенсивные процессы переноса7.1. Интенсивные возмущения в нелинейной среде.В основе общего подхода к анализу интенсивного переноса в нелинейных системахразличной физической природы лежит единство их математического описания. На феноменологическом уровне процесс переноса описывается дифференциальными уравнениями, которые являются специфическими выражениями законов сохранения (энергии, импульса, вещества и т.д.) и имеют вид∂u(7.1)= −div ( q )∂tгде u ( r ,t ) ≥ 0 - переносимая величина (потенциал переноса), q ( r ,t ) - вектор плотности потока переносимой величины в точке пространства, определяемой радиус-вектором r в момент времени t .Если процесс переноса происходит вдоль прямой x ∈ R , то уравнение переноса упрощается∂u∂q(7.1′)= − , q = {q ( x,t ) ,0,0}∂t∂xДля потока q ( x,t ) постулируется феноменологическое соотношение∂u,∂xпричем коэффициент переноса λ в достаточно общем случае является функцией переносимой величины и модуля её градиентаq = −λ ∂u λ = λ  u,. ∂x В частности, можно рассматривать степенную функциюλ = k ⋅uk −1∂u k⋅∂xn −1, k ≥ 1 , n ≥ 1.(7.2)как обобщённую форму многих известных законов переноса.

Например, n = 1 , k > 0 соот-ветствует лучистой ( 3,5 ≤ k ≤ 6,5) и электронной ( k = 3,5) тепловодности; k = 1 , n ≥ 1 соответствует одномерному сдвиговому течению неньютоновской дилатантной жидкости со степенным реологическим законом (см. раздел 2.6). В общем случае соотношение (7.2) описывает перенос импульса при турбулентной фильтрации.При анализе процессов, описываемых соотношениями (7.1′), (7.2), особый интереспредставляет выявление специфических нелинейных эффектов, отсутствующих в линейнойтеории, и их физическая интерпретация.

Наибольшее количество исследований в этом направлении основывается именно на этих соотношениях.Простейшим частным решением уравнения (7.1′) с законом (7.2) является решениетипа «простой» волны. Будем считать, что переносимая величина является функцией однойпеременной u = u ( η) , где η = x − vt , где v = const - скорость волны, величина которой ограничена 0 < v < ∞ . Тогда уравнение (7.1′) переписывается в видеn −1kkdud  d (u ) d (u ) −v=.dη dη  dηdη(7.3)5Уравнение (7.3) необходимо дополнить граничными условиями при η → +∞ или η → −∞ .Для определённости будем считать, чтоu =0, η→∞(7.4)Кроме граничного условия (7.4) искомое решение должно также удовлетворять условию непрерывности переносимой величины u ( η) и её потока q ( η) :u ( η) ∈ C ( R ) , q ( η) ∈ C ( R ) .(7.5)Интегрируя уравнение (7.3) при условии (7.4), найдем искомую функцию u (η ) в виде ( kn − 1)u = v1 nη f − η) (knnkn −1, η f = const .Эта действительная функция определена при η ≤ η f , при этом u ( η f ) = 0 , q ( η f ) = 0 , еслитолько k ⋅ n > 1 .

Функция u ≡ 0 также является (тривиальным) решением уравнения (7.3). Поэтому решение, имеющее место во всей области определения η∈ R , можно представить в«составном» видеnkn −1k⋅n−1() v1 n( η f − η)  , η ≤ η fu = k ⋅n0 , η > η f(7.6)Из (7.6) следует, что требуемое физическое условие непрерывности переносимой величины u ( η ) и потока q ( η ) выполнено при kn > 1 , так как в данном случае из (7.3) следует,что q = v ⋅ u .Найдем производнуюnn +1− kn ( kn − 1)  kn −1dukn −1= − v1 nη−η) ( fdηn dudun +1→ 0 , если k <(напомним, что всегда kn > 1 ), и→∞ndηdηn +1при η → η f − 0 , если k >. Несмотря на это, поток q = v ⋅ u всегда непрерывен, если неnпрерывно решение.Таким образом, в рассматриваемом случае характерной особенностью нелинейногопереноса является его пространственная ограниченность, математически выражающаяся наличием фронта волны η = η f , на котором обращаются в ноль, как переносимая величинаКак видно при η → η f − 0 ,u ( η f ) = 0 , так и поток q ( η f ) = 0 .Для физической интерпретации принципиально важно отметить, что коэффициент переноса λ ( u, u′x ) также обращается в ноль на фронте волны.

Это означает, что на фронте волны вырождается сам процесс переноса. Строго говоря, формула (7.2) в этом случае буде неверной, так как необходимо учитывать процессы переноса, имеющие другую физическуюприроду и не вырождающиеся при малой интенсивности процесса переноса. Следовательно,можно назвать рассматриваемые здесь процессы переноса интенсивными, т.е. преобладающими или «включающимися» при достаточной интенсивности самого процесса переноса.

К6таким интенсивным процессам следует отнести, например, лучистый теплоперенос и турбулентный перенос импульса.Из вида решения (7.6) вытекает необходимое условие v > 0 , которое означает, что вотсутствие объёмного поглощения может существовать только волна «нагрузки», когдафронт волны, положение которого определяется соотношением η = η f (или в других переменных x f ( t ) = η f + vt , где x f ( t ) - координата фронта) движется в сторону невозмущённойобласти пространства.Если в среде имеется объёмное поглощение (объёмные стоки) или выделение (объёмные источники) переносимой величины, мощность которых зависит от самой переносимойвеличины, то в уравнениях (7.1) и (7.1′) это будет учтено наличием дополнительного слагаемого∂u∂q(7.1′′)= − + f (u ) ,∂t∂xгде функция f ( u ) называется функцией источника и равна мощности распределённых (объёмных) стоков и источников.

Положительный знак функции f (u ) определяет наличие источников, а отрицательный - стоков.Физическая природа функции источника может быть самой разнообразной. Например,в случае теплопередачи она описывает действие различных экзо- и эндотермических реакций, излучение через «окна прозрачности» из нагретой области атмосферного воздуха и т.п.При переносе импульса источником может служить взаимодействие движущегосявещества с внешними силовыми полями. Так, при поперечном переносе импульса при сдвиговом магнитогидродинамическом течении дилатантной жидкости со степенным реологическим законом процесс описывается уравнением (7.1′′) с учётом закона (7.2) при k = 1 и линейной функцией источника f ∼ u .При фильтрации аналогичным образом описываются процессы адсорбции и десорбции.Для определённости возьмём функцию источника в виде f ( u ) = −γ ⋅ u m , γ = const ,m = const > 0 .

Тогда уравнение переноса (7.1′′) с учётом закона (7.2) примет видn −1kk ∂u ∂  ∂ ( u ) ∂ ( u ) =− γu m .(7.1′′′)∂t ∂x∂x∂xПоложим также γ > 0 , что соответствует случаю, когда в среде действуют стоки пере-носимой величины, степенным образом зависящие от самой величины. По аналогии с указанным выше решением типа «простой» волны в отсутствии стоков, будем искать решениеуравнения (7.1′′′), с учётом условий (7.4), (7.5), в видеu = a ⋅ ( η f − η) , η f = const , a = const > 0 , α = const > 0α(напомним, что η = x − vt ).Решение задачи выглядит наиболее просто в случае, когда при подстановке решениязаданного вида в уравнение (7.1′′′) показатели степени при биноме ( η f − η ) всех трех слагаемых равны.

Откуда найдем, что m = 1 +вид1− k и решение, как и прежде, имеет составнойn7na ( η f − η) kn −1 , η ≤ η fu=,0, η > η fгде постоянная a > 0 определяется в зависимости от скорости волны из уравнения:1− kn( kn − 1) . kn nv = a kn −1 ⋅ −a⋅γ⋅n kn − 1 nИз этого соотношения следует, что если a > a , a = γ**nkn −1(7.7)n kn − 1 kn −1  kn  n   kn − 1 − n2, то v > 0 . Еслиже a < a* , то v < 0 .

То есть существуют как волна нагрузки v > 0 , так и волна разгрузкиv < 0 . В последнем случае, фронт движется в сторону возмущенной среды, где u > 0 .Здесь, так же как и для случая γ = 0 , необходимо выполнение условия kn > 1 , котороеприводит к неравенству m < 1 (то есть 0 < m < 1 ).Существование волны разгрузки v < 0 не означает изменения направления потока,определяемым знаком функции q ( η) .

Этот эффект связан исключительно с действием распределённого стока (поглощения) переносимой величины. Подтверждением этому являетсявозможность исчезновения переносимой величины за конечный промежуток времени в однородно возмущённой среде при действии в ней объёмных стоков переносимой величины(напомним, что в этом случае γ > 0 в уравнении (7.1′′′)).Однородное по пространству состояние среды описывается функцией u = u ( t ) . Вэтом случае уравнение (7.1′′′) приобретает вид∂u= −γu m .∂tОткуда после интегрирования получим, что функция11− m γu=( t0 − t )  , t ∈ [0,t0 ] , t0 = const > 01 − mявляется решением уравнения (7.1′′′) на ограниченном интервале времени 0 ≤ t < t0 .За этот промежуток времени вещество из однородно возмущённого состояния переходит в невозмущённое u ≡ 0 , t ≥ t0 .Необходимым условием существования полученного однородного решения являетсянеравенство m < 1 , которое также является необходимым условием существования волныразгрузки.Таким образом, на примере простой волны установлено, что интенсивные процессыпереноса протекают в ограниченной области пространства, и что существует фронтовая поверхность, строго разделяющая возмущённую и невозмущённую области пространства.

Приналичии объёмных стоков может существовать как волна нагрузки (v > 0) так и волна разгрузки ( v < 0 ). Очевидно, что возможно и стационарное состояние вещества ( v = 0 ) приa = a* (см. формулу (7.7)). Несмотря на это, неподвижность фронта возможна и по другойпричине. Для иллюстрации такой возможности обратимся к уравнению (7.1′′′) без функцииисточника γ = 0 .8Будем искать решение уравнения (7.1′′′) методом разделения переменных, когда искомаяфункция имеет вид произведения двух функций от разных аргументов u = T ( t ) ⋅ X ( x ) ,T ( t ) > 0 , X ( x ) > 0 .

После подстановки в уравнение без источников ( γ = 0 ) получим соотношение d X k n −1 d X k ( ) = A,dT1d ( )T − kn=dt X dx  dxdx где A = const - постоянная разделения. Из этих уравнений найдём частное решение1n1− knn +1 kn − 1  21 A ( kn − 1)2 ( − x ) kn −1 ,x ≤ 0tt−()0u = ,( k + 1) n  ( k + 1) n 0 , x ≥ 0(7.8)для которого оказываются выполненными условия непрерывности (7.5).При kn > 1 функция (7.8) определена в интервале времени 0 ≤ t < t0 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги