Романов А.С., Семиколенов А.В. - Интенсивный перенос (953813), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Оказывается, что в случае ω < α3 выполняется xɺ f ( 0 ) = −∞ , в случае ω > α3 выполняетсяxɺ f ( 0 ) = ∞ . При ω = α3 значение xɺ f ( 0 ) определяется величиной U 0 : если U 0 > ac , тоxɺ f ( 0 ) = −∞ ; если U 0 < ac , то xɺ f ( 0 ) = −∞ ; и наконец, если U 0 = ac , то для определения xɺ f ( 0 )необходимо уточнить асимптотическое представление (1.49) (постоянная ac определена в(1.42)).Для подтверждения полученных асимптотических представлений проведены численные расчёты задачи Коши по уравнению (7.14) в частном случае γ = 0 , k = 1 , n = 2 с начальным условием(1 − x )ω , x < 1,u ( x, 0 ) = 0 , x ≥ 1.Поставленная задача Коши дополнялась при расчётах граничными условиямиu ( l,t ) = 0 , l = ±2 , что возможно, если x f ( t ) < 2 .

Дифференциальное выражение (7.14) послеквазилинеаризации аппроксимировалось по неявной разностной схеме второго порядка точности. Положение фронта x = x f ( t ) определялось приближённо по условию:u ( x f ,t ) = 10 −5 ⋅ u ( 0 ,t ) . Достаточная точность достигалась при выборе шага сетки ∆x = 0 , 02 ,10 −3по x и t соответственно.3Некоторые результаты сравнения теоретических зависимостей с результатами численного моделирования приведены на рис.7.4, где показано движение фронта локализации∆t =x f − xф , xф = x f ( 0 ) во времени.

Кривые 1, 2 на рис. 7.4 рассчитаны по формуле (7.53) и со-ответствуют значениям показателя ω = 1,5 и ω = 2 , 0 . Положение фронта, полученное численными методами, указано точками. Для случая ω ≥ 3 теоретически установлена метастабильная локализация решения. При численных расчётах фронт оставался неподвижным в течение всего времени счёта до момента t = 20 ⋅ ∆t . Проведенные расчёты в области измененияпоказателя 0 ≤ ω < 3 полностью подтверждают соотношение (7.53).В этой связи отметим также инвариантные решения вида (7.9), в которых происходитобращение направления движения фронтовой поверхности по уравнению (7.11).

Эти решения находятся в соответствии с развитой выше асимптотической теорией.7.4. Затопленная струя дилатантной жидкости.Задача о затопленной струе, истекающей из отверстия конечного размера, не являетсяавтомодельной даже в приближении пограничного слоя. Поэтому теоретический и прикладной интерес представляет сама возможность получения оценок, носящих асимптотическийхарактер, позволяющих судить о качественной картине течения.

Известно, что система уравнений плоского пограничного слоя в ньютоновской жидкости в переменных Мизеса сводится к уравнению нелинейной теплопроводности, являющимся частным случаем уравнения(7.14) (при k = 2 , n = 1 , f ( u ) = 0 ). Постановка соответствующей задачи совпадает с (7.14) –(7.18) для финитного начального условия. Существование в этом случае фронтовой поверх-30ности (границы струи) просто означает ограниченность расхода жидкости через поперечноесечение струи, что связано с особенностью переменных Мизеса.Для неньютоновской жидкости со степенным реологическим законом система уравнений плоского пограничного слоя в переменных Мизеса также сводится к (7.14) при k = 2 ,n > 0 , f ( u ) = 0 . Если n > 1 (что соответствует дилатантной жидкости), то перенос импульсапоперёк струи имеет фронтовой характер и в физических переменных. Это означает конечную скорость распространения возмущений касательного напряжения по невозмущеннойжидкости.Условие n > 1 означает увеличение кажущейся вязкости при увеличении скоростисдвига.

Такое реологическое поведение жидкости называется дилатансией. Свойство дилатансии наблюдается у жидкостей, имеющих сложную физико-химическую структуру. Какправило, дилатансия имеет место в жидкости, в которой образуются периодические коллоидные структуры. К таким физико-химическим системам относятся, в частности, различногорода дисперсии с высокой и низкой концентрацией (например, гидродисперсии кремнезёмаили кварцевого стекла, дисперсии глинозёма в воде, железа в четырёххлористом углероде идр.) и растворы высокомолекулярных соединений. Заметим, что закон нарастания кажущейсявязкости с увеличением скорости сдвига может быть достаточно быстрым в широком интервале скоростей сдвига.

Так, в дисперсиях кварцевого стекла указанная связь близка к экспоненциальной.Будем основываться на степенной реологической модели дилатантной жидкости, азадачу о форме затопленной струи будем рассматривать непосредственно в физических переменных.Пусть из щелевого отверстия y < yф , где yф > 0 , расположенного в плоскости x = 0 ,вдоль оси x истекает плоская симметричная струя дилатантной жидкости (рис. 7.5). Уравнение переноса импульса в такой струе в приближении пограничного слоя может быть записано в виде:∂u∂u A ∂  ∂uu +v=∂x∂y ρ ∂y  ∂yn −1∂u .∂y (7.54)Здесь u ( x, y ) ≥ 0 , v ( x, y ) - проекции скорости жидкости (рис.7.5), A = const > 0 – показательконсистентности, ρ - плотность жидкости, n > 1 - индекс течения.Уравнение (1.4.1) необходимо дополнить уравнением неразрывности∂u ∂v+=0∂x ∂yи распределением продольной скорости в плоскости x = 0 (на срезе щели или сопла):U ⋅ ( y − y )ω ,фu ( 0, y ) = u0 ( y ) , u0 ( y ) = 0 , y > yфy < yф(7.55)где ω ≥ 0 , U > 0 .Как указывалось ранее, особенностью описываемого процесса является наличие границы струи y = y f ( x ) , y f ( 0 ) = yф (см.

рис.7.5), такой, чтоu ( x, y ) = 0 ,u ( x, y ) > 0 ,y ≥ y f ( x)y < y f ( x).31Следуя изложенной выше теории, будем искать продольную скорость u ( x, y ) в видеасимптотической зависимостиu ( x, y ) ∼ a ( x ) ⋅ ( y f − y ) при y → y f − 0 , где a > 0 , α > 0ασy=yf (x)y(7.56)n>2vuyфωx0α1α2n−n +1n=211<n<2Рис.

7.6.Рис .7.5Если определить функцию тока ψ = ψ ( x, y ) так, что v = −∂ψ∂ψ, u=, то, исходя из опреде∂x∂yления и выражения (7.56), её можно представить в видеα+1aψ = ψf −⋅ ( y f − y ) при y → y f − 0 , где ψ f = ψ ( x, y f ) .α +1Отсюда, дифференцируя, найдём асимптотическое представление для проекции скоростиv = v ( x, y ) :v ( x, y ) = −ψɺ f + yɺ f ⋅ a ⋅ ( y f − y ) +αα+1aɺ⋅ ( y f − y ) при y → y f − 0α +1(7.57)(точка обозначает производную по координате x).Подстановка асимптотических равенств (7.56), (7.57) в уравнение (7.54) приводит ксоотношениюα−12αn ( α−1) −1aɺAn −1ɺ f ⋅( yf − y) +ψ⋅ ( y f − y ) = ⋅ ( aα ) n ⋅ ( α − 1) ⋅ ( y f − y )(7.58)α ( α + 1)ρЕсли считать, что ψɺ f ≠ 0 , то из (7.58) следует, что α = α1 =An, ψɺ f = a n −1α1n .n −1ρВблизи среза щелевого отверстия x → 0 ширина струи y f → yф иψ f → ψ ф = ψ ( 0 , yф ) , поэтому приращение расхода в струе определяется асимптотическимсоотношениемα1 +1n −1при x → +0 .y f − yф )(2n − 1Отсюда следует асимптотическое представление при x → +0α1 +1α1n −1ψɺ f = aɺ ⋅y f − yф ) + a ⋅ yɺ f ( y f − yф ) .(2n − 1ψ f − ψф = a ⋅(7.59)32Соотношение (7.59) необходимо дополнить условием непрерывного перехода представления (7.56) в равенство (7.55)a ( x ) ⋅ ( y f − y ) = U ⋅ ( yф − y ) при y → y f − 0 и x → +0 .α1ωУчитывая, что yф − y = y f − y при y → y f − 0 и x → +0 из этого асимптотического равенстваможно получитьa ( x) ⋅( y f − y)α1 −ω= U при x → +0 .(7.60)Асимптотические соотношения (7.58) – (7.60) определяют функции a ( x ) , ψ f ( x ) иy f ( x ) .

В частности, для границы струи получается зависимостьA1 2n − 1  n n −1 yɺ f = A1 x , где σ = −1 +, A1 = ⋅ α1 U 1 + n − nω + 2ωρ⋅σ+1nω−n−ω()σσ+1.Зависимость σ ( ω) представлена на рис.7.6. Как видно, форма струи существенно зависит от неоднородности скорости на срезе сопла (показателя ω).Если значение постоянной n лежит в интервале 1 < n < 2 , то для значения σ получаемnинтервал −1 < σ ≤ −и yɺ f → ∞ при x → +0 , но ширина струи при этом конечная:n +1yф ≤ y f ( x ) < ∞ , так как σ > −1 .При n > 2 форма струи особенно сильно зависит от ω.

Если 0 ≤ ω < α1 , то yɺ f → ∞ приx → +0 , но ширина струи остаётся конечной; если ω = α1 , то 0 < yɺ f < ∞ ; если α1 < ω < α 2 ,n +1, то yɺ f ( 0 ) = 0 . При ω > α 2 и n > 2 полученные асимптотические представлеn−2ния оказываются несправедливыми. Естественно предположить, что в этом случаегде α 2 =y f ( x ) = yф по крайней мере в интервале 0 ≤ x < C , где C = const > 0 .Асимптотическое представление продольной скорости u ( x, y ) вблизи границы струиɺ = 0:y → yф − 0 следует из соотношения (7.58), где необходимо положить Ψf1n +1A 2− n13nu ( x, y ) =  ⋅⋅ α 2n ⋅⋅ ( χ − x )  ⋅ ( yф − y ) n + 2 при y → yф − 0.(n − 2) ρ ( 2n − 1)Здесь χ = const > 0 , 0 ≤ x < χ . Отметим, что функция в правой части этого асимптоти-ческого равенства является точным решением уравнения (7.54), удовлетворяющим начальному условию:0 , y ≥ yф1u ( 0, y ) =   A.n +12− n3n⋅ α 2 n ⋅ ( χ − x )  ⋅ ( yф − y ) n + 2 , y < yф ⋅  ρ ( 2n − 1)( n − 2 )Указанное точное решение уравнения (7.54) можно использовать в качестве мажорирующегопри ω ≥ α 2 , n > 2 .

На основании теорем сравнения (см. раздел 7.2) этим самым доказываетсяналичие у струи метастабильного участка y f = yф при ω ≥ α 2 , n > 2 по крайней мере, в интервале 0 ≤ x < χ . Форма струи в этом случае указана на рис.7.5. пунктирной линией. Факт33наличия метастабильного участка у затопленной струи дилатантной жидкости подтверждается экспериментальными данными.7.5. Затопленная турбулентная струя, истекающая из отверстия конечного размера.Достоверность развиваемой асимптотической теории в применении к задачам, описывающим реальные физические объекты, определяется подтверждением её выводов экспериментальными данными. Одну из таких возможностей даёт теория затопленных струй ньютоновской жидкости, хорошо подтверждённая экспериментально. Как указывалось, в переменных Мизеса задача о затопленной ламинарной струе в приближении пограничного слоя сводится к анализу уравнения нелинейной теплопроводности, которое является частным случаем (7.14). В данном разделе рассматривается турбулентная затопленная струя несжимаемойжидкости.

Характеристики

Список файлов книги