Романов А.С., Семиколенов А.В. - Интенсивный перенос (953813), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Тогда, предполагая, что∂u1(0, t1 ) ≠ 0 , получим искомое асимптотическое представ∂x1ление для левой части уравнения (7.27)∂u∂u∂u, x1 → +0 , xɺ f ≠ 0 .− xɺ f∼ − xɺ f∂t1∂x1∂x1Если все же(7.28)∂u1(0, t1 ) = 0 , то уточним поведение этой производной в окрестности∂x1фронта x1 → +0 .

Предположим, что функция u1 ( x1 , t1 ) ∈ C 1,1 (ω) ∩ C α ,1 (Ω) , и рассмотрим1βфункцию u1 = u , причём β > 0 выберем так, чтобы u1 ( x1 ,t1 ) ∈ Cположимα∂u< 1 и рассмотрим отношение: ξ ( x1 ,t1 ) =∂t1β1,1α,1β( ω) ∩ C ( Ω ) . При этом∂u, ( x1 ,t1 ) ∈ Ω . Замечая, что∂x1∂u1∂u→ 0 при x1 → 0 , а 1 → ∞ при x1 → +0 , ( x1 ,t1 ) ∈ Ω , получим∂t1∂x1 ∂u∂u lim  = 0.x1 →+0 ∂t∂x1  1Отсюда так же следует искомое асимптотическое представление (7.28).Асимптотическое представление (7.28) является достаточно грубым, поскольку нетоценки величины остатка. Его вид не зависит от вида оператора L(u) .

Более точное асимпто-тическое представление можно получить, конкретизируя вид оператора L ( u ) .С учётом (7.28) уравнение (7.14) вблизи движущейся фронтовой поверхности оказывается асимптотически эквивалентным уравнению19kk n −1 ∂u∂  ∂ (u ) ∂ (u ) + f ( u ) , xɺ f ≠ 0 .− xɺ f=(7.29)∂x1 ∂x1  ∂x1∂x1Соотношение (7.29) позволяет определить главный член асимптотического представления решения вблизи фронтовой поверхности.Положим в (7.29) для определенности f ( u ) = −γ ⋅ u m , γ = const > 0 , m = const > 0 .Порядок уравнения (7.29) можно понизить, если в качестве зависимой переменной∂wвыбрать p =, считая её функцией p = p ( w ) , где w = u k .

Уравнение (7.29) тогда принима∂x1ет видdp=dw−xɺ fkw1− kkmp + γ ⋅wkn ⋅ pn,(7.30)k > 0 , n > 0 , m ≥ 0 , xɺ f ≠ 0 .Нас интересует интегральная кривая, проходящая через точку p = w = 0 и лежащая в Iквадранте плоскости ( w, p ) . Из (7.30) видно, что эта точка является особой.Асимптотическое представление решения (7.30) при w → 0 будем искать в виде изолированных соприкасающихся парабол:p = b ⋅ wβ , b > 0 , β > 0 .(7.31)В рамках этого метода имеется возможность не только определить вид искомогоасимптотического представления, но и исследовать единственность соответствующей интегральной кривой.

Для выяснения единственности интегральной кривой рассмотрим функциюm xɺ f 1−kkk−⋅w⋅p+γ⋅w1β−1Ψ (b1 , w) = w−β ⋅  k−⋅β⋅bw ,1n ⋅ p1nгде p1 = b1wβ . Смысл этой функции становится ясен, если учесть, что выражение в скобкахесть «невязка», возникающая в уравнении (7.30) при замене коэффициента b на b1 в представлении (7.31). Знак производной∂Ψ(b1 , w) при b1 → b и w → 0 определяет количество∂b1интегральных кривых. Подробности можно найти в работе [3].Для определения конкретного вида асимптотического представления интегральнойкривой подставим (7.31) в (7.30) и получим1− kmmβ+xɺb n +1 ⋅ n ⋅β ⋅ wβ(1+ n ) −1 = − f b ⋅ w k + γ ⋅ b k ⋅ w k .(7.32)kАнализ соотношения (7.32) можно провести для трёх случаев в зависимости от величины показателя m .1Если m > m1 , m1 = 1 + − k , то из (7.32) получаем две возможности: всегда при значеnнии показателя m ≥ 0 возможна волна нагрузкиβ=11, b = ( − xɺ f ) n , xɺ f < 0 ,kn(7.33)20при значении показателя m < 1 возможна и волна разгрузки( m − 1) , b = γk , xɺ > 0 .β = 1+fkxɺ fПри этом(7.34) γ ⋅k ∂Ψ1∂Ψ(b, 0) = − < 0 в случае (7.33) и(b, 0) = − < 0 в случае (7.34). xɺ ∂b1k∂b1fТем самым устанавливается единственность обоих соответствующих интегральных кривых.Если m = m1 , то из (7.32) следует1(7.35), b ⋅ ( b n + xɺ f ) = γ .knПри этом возможны два варианта: если b n +1 > γ , то xɺ f > 0 (волна разгрузки); если b n +1 < γ , тоβ=xɺ f < 0 (волна нагрузки).

В обоих вариантах∂Ψm 1(b, 0) = −  γ ⋅ b − n −1 +  < 0 и, следовательно,k k∂b1соответствующие интегральные кривые единственны.Если m < m1 , то асимптотическое представление (7.31) не зависит от скорости фронтаxɺ f :1( m + k ) ,  γ ⋅ k  ( n+1) .β=b=k (1 + n ) n ⋅β При этом производная(7.36)∂Ψn +1(b, 0) = −< 0 , что также гарантирует единственность∂b1βинтегральной кривой.Полученных таким образом формул (7.33) – (7.36) вполне достаточно для определенияасимптотического представления переносимой величины u ( x, t ) вблизи фронта, если егоскорость xɺ f ≠ 0 .

На самом деле, из соотношения (7.31) следуетnu = a ⋅ x1α , a ( t ) = b ⋅ (1 − β )  kn −1 , α =1.k (1 − β )(7.37)Тогда из (7.33) – (7.37) определяются искомые асимптотические соотношения для переносимой величины u ( x,t ) вблизи фронта.В соответствии с разобранными выше случаями для значений показателя m получаем,что если m > m1 , то возможны два варианта:xɺ f ( t ) = − ( k α1 ) ⋅ a kn −1 < 0 , α = α1 =nn.( kn − 1)(7.38)Это асимптотическое представление вида (7.31) , то есть когда xɺ f ≠ 0 , единственно, если показатель m > 1 . Если же m < 1 , то появляется вторая возможность1xɺ f ( t ) = (1 − m ) ⋅ γ ⋅ a m−1 > 0 , α = α1 =, m < 1.(1 − m )Если m = m1 , то α = α s = α1 = α 2 = α 3 =( n + 1)( kn − m ),(7.39)21xɺ f ( t ) =γα3 ⋅ a− ( k ⋅ α 3 ) ⋅ a kn −1 < 0 .n1α3(7.40)α1 ( kn − 1) n +1 γ  ( n +1)Следовательно, если ввести обозначение as = , то при m = m1n n +1 k n xɺ f < 0 , a ( t ) < as(7.41) xɺ f > 0 , a ( t ) > asПоэтому при m = m1 , в принципе, возможны оба режима движения фронта: и xɺ f < 0 , иxɺ f > 0 .

При этом в асимптотическом представлении (7.37) значение a ( t ) различно для раз-ных режимов, но показатель α одинаковый: α = α s .Наконец, если m1 > m ≥ 0 , то из соотношения (7.37) нельзя выразить xɺ f ( t ) , однакоможно утверждать, что в этом случае α = α3 и1 ( kn − m )γ ( n + 1).a ( t ) = ac =  n n +1 nk α 3 ( k + m ) При m = m1 постоянная ac в (7.42) совпадает с as из (7.41).(7.42)Остановимся теперь на возможности существования неподвижного положения фронта: xɺ f ≡ 0 , по крайней мере, в течение некоторого промежутка времени. Проведённый асимптотический анализ, основанный на уравнении (7.30), не исчерпывает всех возможностей дляуравнения (7.14), так как выражение (7.30) не имеет места при xɺ f ≡ 0 .

Поэтому обратимсянепосредственно к уравнению (7.14), предполагая, как и ранее, u ( x,t ) = a ⋅ x1α при x1 → +0 .Подставляя это асимптотическое представление в (7.14) и полагая xɺ f ≡ 0 , получимaɺ ⋅ x1α = a kn ⋅ n ⋅ ( k α ) ⋅ ( k α − 1) ⋅ x1n( k α−1)−1 − γ ⋅ a m ⋅ x1mα .n(7.43)Из (7.43) следует, что при m < 1 фиксированное положение фронта возможно для α = α3 иa ( t ) = ac = const из (7.42) в асимптотическом представлении решения u ( x,t ) .При m = 1 режим движения xɺ f ≡ 0 возможен при α = α 3 = α 4 =a ( t ) = e−γt ⋅ α 4 −α1( n + 1)( kn − m )11 − exp ( −γ ⋅ ( kn − 1) ⋅ t )⋅  n ⋅ ( k + 1) ⋅ k n ⋅ ( Θ − θ ( t ) )  1− kn , θ ( t ) =γ ⋅ ( kn − 1)и α > α4 :(7.44)иa ( t ) = a0e −γt .(7.45)Здесь Θ, a0 = const > 0 .При m > 1 из (7.43) следует, что режим xɺ f = 0 имеет место при α = α 4 и1a ( t ) = α 4 −α1 ⋅  n ⋅ ( k + 1) ⋅ k n ⋅ ( T − t )  1− kn , T = const > 0 .(7.46)Следует особо отметить случай m = 0 .

Уравнение вида (7.14) с функцией источникаf = −γ и k = 2 соответствует МГД-течению степенной жидкости в поперечном магнитном22поле в ламинарном пограничном слое. Надо иметь в виду, что в этом случае уравнение переноса типа (7.14) возникает из уравнения видаn −122∂u∂  ∂ (u ) ∂ (u ) u=u− γu∂t∂x  ∂x∂xпосле сокращения на u. То есть тривиальное решение u = 0 является алгебраическим корнемэтого уравнения.Проведённый асимптотический анализ совместно с теоремами сравнения решений поначальным данным и функциям источника (раздел 7.2) позволяет эффективно анализироватьпроцессы, происходящие в системах, описываемых уравнением (7.14).

В качестве примерарассмотрим поперечную передачу импульса в дилатантной электропроводной жидкости впоперечном постоянном магнитном поле.Пусть электропроводная дилатантная жидкость занимает полупространство+∞ < x < 0 , однородное магнитное поле B0 = const направлено вдоль оси x, пластина (x=0)движется поступательно в своей плоскости с постоянной по направлению скоростью U 0 ( t ) .В безындукционном приближении нестационарная краевая задача, описывающая сдвиговоеМГД-течение дилатантной жидкости, записывается в виде∂u∂  ∂u ∂u=ω ∂t∂x  ∂x ∂xn −1 − ω⋅ γ ⋅ u , x ∈ R+ , t ∈ R+∂uu ( x,0 ) = Φ ( x ) , u ( 0 ,t ) = U 0 ( t ) , u ( ∞ ,t ) = 0 ,( ∞ ,t ) = 0 .∂xЗдесь u ( x,t ) - скорость жидкости, ω =(7.47)σ ⋅ B0 2A, γ=, σ - электропроводность жидкости, ρ ρω⋅ρеё плотность, A > 0 , n > 1 - реологические характеристики жидкости.∂uПоложим U 0 ( t ) = U 01 = const и= 0 , тогда соответствующая задача имеет решение∂tn +1n −1U ⋅ 1 − x, 0 < x < xф1 , ,u S 1 ( x ) =  01  xф1 0 , x > xф1 .(7.48)1 2n ( n + 1)n U 01n −1  n +1xф1 =  .n +1 γ ( n − 1)Как видно, стационарное решение (7.48) имеет компактный носитель.

Характеристики

Список файлов книги