Романов А.С., Семиколенов А.В. - Интенсивный перенос (953813), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Положениефронтовой поверхности определяется равенством x = xф1 .На основании теоремы сравнения 7.1 можно заключить, что решение задачи (7.48) с0 ≤ U 0 ( t ) < ∞ и ограниченным начальным условием Φ ( x ) < ∞ , x ∈ R+ с компактным носителемΦ ( x ) > 0, 0 ≤ x < x f ( 0 ) ,Φ ( x ) = 0, x ≥ x f ( 0 ) ,также имеет ограниченный по координате x носитель:23u ( x,t ) > 0 , 0 ≤ x < x f ( t ) ,u ( x,t ) = 0 , x ≥ x f ( t ) ,где поверхность x = x f ( t ) является фронтовой поверхностью.tсводит уравнение (7.47) к виду (7.14). Тогда в новых переωменных на основании проведённого анализа можно получить асимптотическое представление решения при x → x f + 0Замена переменной t →nu ( x,t ) = a ( t ) ⋅ ( x f − x ) n −1 , a ( t ) > 0для движущегося фронта xɺ f > 0 . Решения для xɺ f < 0 не существует.

Т.е. область с отличными от нуля сдвиговыми возмущениями не может уменьшаться. Этот факт соответствует необратимости процессов переноса, частным случаем которых является гидродинамика неньютоновских дилатантных жидкостей.Рассмотрим переход решения с одного стационарного решения для соответствующегоU 01 = const на другое U 02 = const , U 02 > U 01 > 0 . Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что функцияn +1xU ⋅  1 −u* ( x,t ) =  02  xф1 0 , x ≤ xф1 ,1n −1t  , 0 < x < xф1 ,1 −  T является решением краевой задачи (7.47) при U 0 ( t ) =U 02(1 − t T )1( n −1)> U 02 для γ = 0 , т. е. приотсутствии функции источника, с неподвижным фронтом x = xф1 = const в течение времени(U0 ≤ t < T , T = 01U 02 ).

На основании Теоремы 7.1 можно утверждать, что решение укаγ ⋅ ( n − 1)n −1занной задачи о перестройке стационарных режимов течения жидкости при U 02 > U 01 метастабильно локализовано, по крайней мере, в течение времени 0 ≤ t < T . Применяя Теоремы7.1 и 7.2 , можно показать, что фронт обязательно придёт в движение, начиная с моментаt = T1 > T .Для наглядности полученных теоретических утверждений приведем результаты численного исследования первой краевой задачи в безразмерных переменных для одного частного случая перестройки двух стационарных режимов движения жидкости.Выберем в качестве характерных величин T ∗ − характерное время, U ∗ − характернуюскорость, X ∗ − характерную длину.

Сохраняя для зависимых и независимых безразмерныхпеременных те же обозначения, что и для размерных, получим краевую задачу формальнополностью совпадающую с (7.47). Лишь только параметры ω и γ становятся безразмернымиω=AT ∗ (U ∗ )ρ( X ∗ )n −1n +1, γ=σB0 2T ∗.ρ24Для конкретного расчета примем показатель n = 2 , и параметры ω = 1 , γ = 36 . Выберем также начальное условие в виде(1 − x )3 , 0 < x < 1u ( x, 0 ) ≡ u S 1 ( x ) = .0 , x ≥ 1Это начальное условие u S 1 ( x ) является стационарным решением уравнения (7.41),при выбранных значениях параметров ω, γ и показателя n, в чем нетрудно убедиться подстановкой его в уравнение (7.47).В качестве краевого условия примем u ( 0, t ) = 2 .

Этому краевому условию соответствует стационарное решение31 1 2 3 − x  , 0 < x < 2 3.u ( x,0 ) ≡ uS 2 ( x ) = 10 , x ≥ 2 3Таким образом, рассматриваемая задача на самом деле является задачей о перестройкестационарных режимов u S 1 ( x ) и u S 2 ( x ) .Для численного решения используется сеточная аппроксимация искомой функцииu = u ( k ∆x, iτ ) , ∆x - шаг по координате, k - номер узла по координате, τ - шаг по времени, imk- номер слоя по времени.Рассматриваемое уравнение является нелинейным, поэтому решение на i+1 слое повремени ищется последовательными приближениями для неявного сеточного уравненияточности порядка O (τ + ∆x 2 )( uɶ )j i +1k− ukiτi +1  ∂uɶ  j −1 = 2  ∂x  k( uɶ )j i +1k +1− 2 ( uɶ j )∆xi +1k2+ ( uɶ j +1 )i +1k −1− 36 ( uɶ j ) ,i +1ki +1  ∂uɶ  j −1 где j − номер итерации, а   − значение модуля первой производной в узле с но  ∂x  kмером k на временном слое i + 1 , вычисленное по значениям функции предыдущей итераi +1i  ∂uɶ 0  ∂u ции с номером j − 1 .

При этом   = . На каждом слое по времени сходимость  ∂x  ∂xkkитераций проверялась по условию uki +1 = lim ( uɶ j ) .i +1j →∞kВыбор именно такой схемы счета связан с соображениями ее устойчивости.Результаты расчетов приведены на рис. 7.1. Как видно, решение всегда финитно. Вначале решение метастабильно, причем носитель совпадает с носителем стационарного решения u S 1 , и лишь с некоторого момента времени граница носителя начинает перемещаться.На рис.7.2 приведены результаты аналогичного расчета обратной перестройки течения с большего стационарного решения uS 2 на меньшее u S 1 при изменении скачком граничного условия при x = 0 .253u121,2341,00,85670,680,40,2000,20,40,60,81,01,2xРис. 7.1.

Перестройка с меньшего стационарного решения на большее.1) t=0, 2) t=1⋅10-4, 3) t=2.1⋅10-3, 4) t=9.3⋅10-3, 5) t=2.69⋅10-2, 6) t=4.93⋅10-2,7) t=7.49⋅10-2, 8) t→∞.3u1231,2451,060,80,670,480,20,00,00,20,40,60,81,01,2Рис. 7.2. Перестройка с большего стационарного решения на меньшее.1) t=0, 2) t=2.75⋅10-4, 3) t=3.64⋅10-3, 4) t=9.21⋅10-3, 5) t=2.52⋅10-2, 6) t=6.52⋅10-2,7) t=1.65⋅10-1, 8) t→∞.x26Причиной разобранных особенностей движения фронтовой поверхности при перестройке стационарных режимов является альтернативный характер асимптотического поведения решения вблизи фронта.

Именно перестройка асимптотики решения вблизи фронтапроисходит за конечное время, тогда как скорость распространения сдвиговых напряженийпо возмущённому фону (при u > 0 ) бесконечна.7.4. Асимптотические законы движения фронтовой поверхности.Процесс эволюции возмущения переносимой величины на начальном этапе представляет особый интерес. Интенсивность и, следовательно, нелинейность процесса переноса вомногих случаях определяется именно уровнем интенсивности начального возмущения. Придальнейшей эволюции в результате диссипации процесс переноса становится менее интенсивным, так что само уравнение (7.14) может оказаться неприменимым.Динамика движения фронтовой поверхности при t → 0 определяет реализацию конкретного режима фронтового решения задачи Коши (7.14) – (7.18). Начальное условие будемсчитать финитным и, для простоты, симметричным относительно плоскости x=0:u0 ( x ) > 0 , x < − xфu ( x, 0 ) = 0 , x ≥ − xфгде xф = const < 0 . Положимu0 ( x ) ∼ U 0 ⋅ ( x − xф ) , x → xф + 0 ,ω(7.49)U 0 > 0 , ω > 0 - некоторые постоянные.Асимптотический характер движения фронтовой поверхности при t → +0 определяется начальным распределением переносимой величины вблизи поверхности фронта (7.49).Действительно, дифференцируя по времени тождество u ( x f ( t ) ,t ) ≡ 0 и используя затемуравнение (7.14), получим выражение   ∂ u k n()∂u   ∂m − γ ⋅u(7.50)xɺ f = − lim  x → x f + 0  ∂x ∂x∂x определяющее режим движения фронта для всех t > 0 .

Подставив асимптотическое представление (7.49) в соотношение (7.50) найдёмn ( ωk −1) −ωω( m −1) −1 nγnxɺ f ( 0 ) = − lim U 0 kn −1 ⋅ ( ωk ) ⋅ ( ωk − 1) ⋅ ⋅ ( x − xф )− ⋅ U 0 m −1 ⋅ ( x − xф ) , (7.51)x→ x f + 0ωωоткуда и следует указанная зависимость.Это положение проиллюстрируем сначала в случае m > 1 , для которого определим за-кон движения фронта x f ( t ) при t → 0 . Будем исходить из естественного условия непрерывного перехода асимптотического представления решения u ( x,t ) (7.37) в начальное распределение (7.49) при t → 0 .

Предполагая, что фронт движется при t > 0 (а при m > 1 можетиметь место режим движения фронта только с xɺ f < 0 ), получимa ( t ) ⋅ ( x − xф ) ∼ U 0 ⋅ ( x − xф ) , t → +0 , x → xф + 0 .α1ω27tУчитывая, что ( x − x f ) ∼ ( x − xф ) при t → +0 , x → xф + 0 и ( x f − xф ) = − ∫ xɺ f ( ξ ) d ξ ,ωω0получим уравнение для определения асимптотического представления функции x f (t ) приt →0: ta ( t ) ⋅  − ∫ xɺ f ( ξ ) d ξ  0α1 −ω= U 0 , x f ( 0 ) = xфУчитывая далее выражение (7.38) для a ( t ) = ( k α1 )образуется к видуn−n( − xɺ )1kn −1f(7.52), уравнение (7.52) пре-−ωn t kn −1kn−1 .ɺɺ−x⋅−xξdξ=U⋅kα( f)  ∫ f( ) 0 (1) 0Это уравнение сводится к линейному уравнению первого порядка относительно функции1kn −1β1tϕ ( t ) =  ∫ xɺ f ( ξ ) d ξ  , β1 = 1 + n + ω − knω .0Решая его, найдёмxɺ f = A1 ⋅ t σ1(7.53)1n β1 kn   1где A1 = − β11−β1 ⋅U 0 kn −1 ⋅   , σ1 = − 1 .

Зависимость показателя σ1 от ω (см. формулуβ1 kn − 1  (7.49)) качественно показана на рис.7.3 (кривая 1).Если ω < α1 , то xɺ f → −∞ при t → +0 , но, тем не менее, x f − xф < ∞ , посколькуσ1 > −1 , A1 < ∞ .Если ω = α1 , то xɺ f = −α1n ⋅U 0kn−1 = const при t → +0 .Наконец, если α1 < ω < α 4 , то xɺ f → 0 при t → +0 . xf  −  xф σ210,40α1ωα3α2α4-10,20Рис. 7.312Рис. 7.424t⋅10328Любопытен предельный переход ω → α 4 − 0 , при котором из (7.53) следует, что производныевсё более высоких порядков от функции x f ( t ) обращаются в ноль при t → 0 . Замечая это,можно предположить, что в пределе ω = α 4 фронт остаётся неподвижным, по крайней мере,в течение конечного интервала времени: x f = xф , 0 < t < T < ∞ .

Напомним в этой связи, чтопри m > 1 значение показателя α = α 4 =n +1в асимптотическом представлении решенияkn − 1u ( x,t ) (7.37) с a ( t ) , задаваемой формулой (7.46), соответствует метастабильному режиму,при котором x f = const в течение конечного интервала времени 0 < t < T .Таким образом, при m > 1 выбор режимов движения фронта x = x f ( t ) однозначно зависит от показателя ω в асимптотическом представлении (7.49).

Если ω < α 4 , то при t → 0реализуется режим движения фронта с xɺ f ( t ) < 0 и размер носителя решения увеличивается стечением времени. Если ω ≥ α 4 , то фронт x = x f ( t ) неподвижен, по крайней мере, в течениеконечного промежутка времени.В случае линейного стока m = 1 сохраняются все выводы о характере движения фронта x = x f ( t ) , полученные при m > 1 .При ω = α 3 , 1 ≤ m < kn можно дополнительно указать, что фронт может оставатьсянеподвижным для любого промежутка времени: x f = const , t ∈ R+ .

Для этого достаточносравнить начальное условие (7.49) с решением (7.10). Из сравнения следует, что для реализации такой ситуации необходимо выполнение неравенства: kn − m  ( kn − m )γ ≥ U0⋅⋅ k ( n + 1)  n ( k + m ) .В области изменения параметра m1 ≤ m < 1 возможны три режима движения фронта:nkn − mxɺ f ( t ) < 0 , xɺ f ( t ) = 0 , xɺ f ( t ) > 0 .Закон движения фронта в случае режима xɺ f ( t ) < 0 по-прежнему описывается выражением (7.53). Аналогично может быть определён закон движения фронта при t → +0 в случае xɺ f ( t ) > 0 :ξ γ ⋅ (1 − m ) 1xɺ f = B ⋅ t , B = . , σ = −1 + ξ , ξ =ω (1 − m ) U0Зависимость σ2 от параметра ω приведена на рис. 7.3 (кривая 2). Важно отметить, что в рассматриваемой области изменения параметра m1 ≤ m < 1 справедливы неравенстваσ2α1 ≤ α 3 ≤ α 2 , α 3 ≤ α 4 , что учтено на рис.7.3.

Кривые 1 и 2 пересекаются при значенииω = α 3 . Применяя теорему сравнения можно показать, что при ω < α3 выполняется xɺ f < 0 ,если же ω > α 3 , то xɺ f > 0 при t → +0 . При ω = α 3 вопрос о направлении движения фронтане может быть однозначно решён на основе проводимого асимптотического анализа. Повидимому, при ω = α 3 могут реализоваться все три режима, которые возможны приm1 ≤ m < 1 .29При 0 ≤ m < m1 , исходя из соотношения (7.51), определяются значения xɺ f ( 0 ) .

Характеристики

Список файлов книги