Романов А.С., Семиколенов А.В. - Интенсивный перенос (953813), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Соответствующее уравнение турбулентного переноса импульса в приближениипограничного слоя в переменных Мизеса несколько отличается от (7.14), но развитый асимптотический метод может быть применен и здесь.Задача о форме турбулентной струи является классической. Начальный участок струи,истекающей из щелевого отверстия, рассматривается как слой смешения. По сравнению стаким подходом анализ соответствующей задачи Коши в переменных Мизеса позволяетучесть степень неравномерности профиля скорости на срезе сопла, а также, распространитьтеорию на осесимметричную струю.В приближении теории пограничного слоя турбулентный перенос импульса описывается системой уравнений (обозначения указаны на рис.7.7):u∂ ( z iu )∂x+∂u∂u 1 ∂  i τ +v=z∂x∂z z i ∂z  ρ ∂ ( ziv )∂z= 0 , τ = ρ ⋅ lT 2 ⋅(7.61)∂u ∂u⋅ .∂z ∂zЗдесь i = 0 ,1 соответствует плоской и осевой симметрии задачи соответственно, ρ плотность жидкости, τ - напряжение турбулентного трения, определённое по Прандтлю, lT –длина турбулентного перемешивания.

В рассматриваемом случае затопленной струиlT = c ⋅ y , с – эмпирическая константа теории.ζzv8u0 ( z )uy4zфz=zf ( y )0Рис. 7.72040Рис. 7.8.ξ34В плоскости сечения сопла y = 0 (рис.7.7) скорость жидкости зададим в виде степенной функции:(W ⋅ z − zфu ( 0 ,z ) = u0 ( z ) = 0 , z ≥ zфгде W = const > 0 , β = const > 0 .)βz < zф,(zф< 0) ,(7.62)Особенностью задачи о турбулентной затопленной струе в данной постановке является конечная ширина струи. Иными словами, в любом сечении струи существует границаструи z = z f ( y ) , z f ( 0 ) = zф такая, что u ( y,z ) > 0 при z < z f ( y ) и u ( y,z ) = 0 приz ≥ z f ( y ) (см.

рис. 7.7.). На границе струи z = z f ( y ) выполняются физически очевидныеусловия отсутствия скорости жидкости u ( y, ± z f ) = 0 и напряжения турбулентного тренияτ ( y, ± z f ) = 0 .Если перейти к новым независимым переменным, являющимся обобщением переменных Мизеса ( y,z ) ֏ ( t,x ) , где3ixf1 2 2dx  i +1dt = c y ( i + 1) ⋅ ∫  dy , dx = z i ⋅ u ⋅ dz ,4u 0то исходная задача (7.61), (7.62) в области 0 > x > x f сводится к задаче:3i2−1 i +1xf2x∂u( )  ∂u ∂  dxdx =  1+ ∫  ∫∂t ∂x   x f u  0 u    ∂x   u ( 0 ,x ) = u0 ( x ) = U 0 ⋅ ( x − xф )ω(7.63)(7.64)(7.65)и u = 0 , x ≤ xf .β, x f = x ( y,z f ) . Из условия ограниченности1+ βначального распределения скорости: 0 ≤ β < ∞ следует, что 0 ≤ ω < 1 .−1Здесь U 0 = W ⋅ W ⋅ zфi  ⋅ (1 + β ) , ω =ωОграничиваясь областью струи вблизи её границы x → x f + 0 , имеем−1xfdx  dx ∫x u  ∫0 u  → 0 .fТогда уравнение (7.64) преобразуется к виду22∂u ∂  ∂ ( u )   ∼ ∂t ∂x  ∂x   совпадающему с (7.14) для γ = 0 , k = n = 2 .x(7.66)Обратный переход к физическим переменным ( y,z ) осуществляется исходя из соотношений (7.63).После тривиальных вычислений для плоской струи ( i = 0 ) получим35z f ∼ zф + 3 6 ⋅ æ ⋅ (1 − ω) ⋅ y , y → +0 , æ 3 = 2c 2(7.67)и для осесимметричной струи ( i = 1 ):121 21 zф 2zf ∼ 2 ⋅+ 12 3 ⋅ (1 − ω ) 3 ⋅ t 3  , t → +0 . 2(7.68)В (7.68) функция t = t ( y ) вычисляется из соотношения−221 3 zф 283+⋅−ω121()3  = ⋅ c2 ⋅ d ( y3 ) .12 2Если выполняется неравенство y ≫ yф , то выражение (7.68) аппроксимируется соот-ношением11z f ∼ 33 ⋅ 2 ⋅ (1 − ω) 3 ⋅ æ ⋅ y , y → +0 , ( i = 1 ).(7.69)На рис.

7.8. приведено сравнение полученных теоретических зависимостей для граниzцы струи z = z f ( y ) с экспериментальными данными в относительных координатах ζ = f иzфξ=y. Кривые 1, 2 построены по формулам (7.67), (7.68). При этом полагалось, что ω = 0 ,zфæ = 0,1 для i = 0 и æ = 0, 077 для i = 1 соответственно. Крестиками помечены эксперимен-тальные данные для плоской турбулентной струи ( i = 0 ), а кружками – для осесимметричной( i = 1 ). Штриховая линия построена по приближённой зависимости (7.69). (Экспериментальные данные взяты из двух очень старых работ:Fortman E.Uber turbulente Strahlausbreitung//Ingenier – Arhiv .- 1934.- V.5, N1.

– S. 45 – 54.Trupel T. Uber die Einwirkung eines Luftsrahles auf die umgebende Luft//Z. fur das gesammte Turbinenwesen. – 1915. – Jg.12. – N 5–6.)Совпадение полученных теоретических зависимостей и экспериментальных данныхсвидетельствует об эффективности проведённого асимптотического анализа.Интересно отметить, что для плоской струи её граница сохраняет линейность (т.е.приращение ширины струи пропорционально расстоянию от среза сопла ( z f − zф ) ∼ y ) внезависимости от значения показателя β, определяющего закон распределения скорости жидкости на срезе сопла.

Изменение степени неравномерности распределения скорости жидкости при y = 0 приводит лишь к изменению угла раскрытия струи.В случае осесимметричной струи на значительных расстояниях от среза сопла её граница совпадает с поверхностью кругового конуса, вершиной которого является точка пересечения оси струи с плоскостью сопла. Неравномерность начального распределения скорости жидкости, характеризуемая показателем β, влияет лишь на угол при вершине конуса(угол раскрытия струи).Во всех случаях увеличение степени неравномерности (увеличение показателя β) приводит к уменьшению угла раскрытия струи.367.6. Проблема быстрого нагрева вещества с поверхности.Везде выше, за незначительным исключением, рассматривались интенсивные процессы переноса, происходящие в неограниченной среде. Соответствующие задачи математической физики формулировались как задачи Коши.Существует одна проблема, имеющая важное практическое применение, анализ которой может быть принципиально проведен только в рамках краевой задачи.

Эта проблемаможет быть сформулирована следующим образом – возможно ли нагревать вещество с поверхности так быстро, что при этом область прогрева внутри вещества оказывалась бы пространственно ограниченной, несмотря на то, что температура на поверхности вещества достигала бы очень больших значений или, имея в виду соответствующую математическую абстракцию, становилась бы бесконечно большой.Соответствующая физическая и техническая проблема может быть переформулирована так – возможно ли нагревать так быстро, чтобы при малых затратах энергии достигатьочень высоких температур.

Например, для «поджигания» термоядерного горючего необходимо достижения температуры в сто миллионов градусов. В этой связи естественно возникает технический вопрос о подборе удовлетворительного источника энергии. Наиболее привлекательными оказываются лазерные установки с очень высокой энергией в очень короткомимпульсе.В качестве иллюстративного примера рассмотрим краевую задачу для уравнения нелинейной теплопроводности со степенным коэффициентом переноса (переменные безразмерные):∂u ∂  σ ∂u (7.70)= u , u ( x, t ) ≥ 0 , t > 0 , x > 0 , σ = const > 0 ,∂t ∂x  ∂x u ( x,0 ) = u0 ( x ) ≥ 0 , x > 0 , u0σ+1 ∈ C1 ( R+ ) , u ( 0,t ) = u1 ( t ) ≥ 0 , t > 0 .Быстрый нагрев здесь моделируется видом функции u1 ( t ) , которая неограниченновозрастает при увеличении t .Следует отметить, что в линейном случае (соответственно, при σ = 0 ), рассматриваемых ниже эффектов не существует, то есть если σ = 0 и u1 (t ) → ∞ при t → T0 , T0 = const > 0 ,то и u ( x, t ) → ∞ для всех x > 0, t → T0 .Рассмотрим некоторые характерные автомодельные решения для краевой задачи(7.70).

Подробности в полной мере изложены в монографии [1]. Слово «обострение» в названии монографии в данном случае означает обращение в бесконечность функции u1 (t ) → ∞ законечное время при t → T0 , T0 = const > 0 .1. Степенной граничный режим.Пусть u1 ( t ) = (1 + t ) , t > 0 , m = const > 0 . То есть обострение отсутствует, но темпеmратура на поверхности x = 0 достигает сколь угодно больших значений с течением времени.Соответствующее автомодельное решение имеет видxm,u ( t,x ) = (1 + t ) ⋅ θ ( ξ ) , ξ =1+ mσ 2(1 + t )( )где функция θ ( ξ ) ≥ 0 удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению(θσ1 + mσ⋅ θ′ )′ +⋅ θ′ ⋅ ξ − m ⋅ θ = 0 , ξ > 0237с краевыми условиями θ ( 0 ) = 1 , θ ( ∞ ) = 0 .При m =1σавтомодельное решение совпадает с решением типа простой волны, рас-сматриваемой в разделе 7.1.0 < t1 < t2 < t3u(x,t)t=t30 < t1 < t2 < t3u(x,t)t=t3t=t2t=t2t=t1t=t1t=0t=0xx0Рис.

7.10xРис. 7.11Решение поставленной задачи финитно. То есть существует фронт тепловой волныx f (t ) = ξ f (1 + t )1+ mσ2, что u ( x, t ) = 0 , x > x f (t ) , где ξ f = mes ( supp ( θ ) ) < ∞ . Физически это озна-чает пространственную ограниченность тепловых возмущений, идущих от стенки.Качественный вид получающегося решения приведен на рис.

Характеристики

Список файлов книги