Романов А.С., Семиколенов А.В. - Интенсивный перенос (953813), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

раздел 7.1) примем для получения авто1модельного решения m = 1 + − k , kn > 1 и найдем автомодельное решение в виде (7.9). Дляnфункции x f , определяющей положение фронтовой поверхности, также получим соотноше−1ние (7.12), где в отличие от точечного «взрыва» p =  γA1− m α ( ω − β )  < 0 , а остальные неравенства сохраняют свою силу.Если теперь принять величину C , определяющую мощность точечного взрыва, равной нулю C = 0 , то оказывается, что искомое автомодельное решение не равно тождественнонулю, а имеет видu ( x, t ) = A ⋅ ( − pt )nkn −1⋅ 1 − ηn +1nnnx kn −1 , η = x t , x f = ( − p ) n +1 ⋅ t .f ( )(7.9′)Тем самым автомодельное решение задачи оказывается независимым от пространственного положения точечного «взрыва».

В силу этого можно утверждать, что наряду с (7.9′)решением автомодельной задачи является также функция(εu ( x,t ) = A ⋅ t σ ⋅ x f + ∆ − x + ∆ε)αдля любой постоянной ∆ < ∞ , что, естественно, противоречит теореме сравнения 7.1, таккак в начальный момент все эти решения равны нулю.В связи с нетривиальным влиянием функции источника на качественный характерпроцесса переноса, представляет интерес обобщение теоремы сравнения 7.1 на функцию источника более общего вида.Теорема (сравнения) 7.2. Пусть функции u ( x,t ) ∈ Hˆ ( Ω ) , i = 1, 2 являются решениямиiдвух задач Коши (7.14) – (7.18), отличающиеся начальными условиями ui ( x,0 ) = u0i ( x ) , причем u01 ( x ) ≥ u02 ( x ) , x ∈ R .

Тогда u1 ( x,t ) ≥ u2 ( x,t ) , ( x,t ) ∈Ω , если выполнены условия(I): f ( z ) - кусочно-монотонная функция,(II): f ( z ) < 0 , 0 < z < a0 , a0 = const > 0 ,(III): f ( z ) ∈ Lip ( R+ ) ∩ C m ( R0 ) , m > 0 , причём существует постоянная A = const > 0 , такая,что f1 ( z ) = f ( z ) + A ⋅ z m ∈ Lip ( R0 ) .Доказательство Теоремы 7.2 основывается непосредственно на Теореме 7.1 и не требует дополнительных сведений, кроме неравенства Гронуолла-Беллмана (см., например, [2]).Рассмотрим две вспомогательные задачи Коши, отличающиеся от сформулированных в Теореме 7.2, заменой функции источника f ( ui ) на f λi ( uλi ) = f ( uλi ) − λ ⋅ uλi , λ = const > 0 , гдеuλi ( x,t ) , i = 1, 2 - решения полученных таким способом двух задач Коши.

Из теоремы 7.1следует, что ui ( x,t ) ≥ uλi ( x,t ) , ( x,t ) ∈Ω .Обозначим U i = ui − uλi , i = 1, 2 . Выберем полосу Ω1 ⊂ Ω , Ω1 ={( x,t ) x ∈ R,0 ≤ t ≤ t } ,*где t* = const > 0 . Если по полосе Ω1 проинтегрировать два уравнения (7.14), каждому из ко-15торых соответствует своя функция источника f λ1 и f λ 2 , затем применить формулу Грина, азатем вычесть их, то получим выражение ∂ u k ∂ u k n −1 ∂ u k ∂ u k n −1  ( i ) ( i ) − ( λi ) ( λi )  dt + λ u dxdt +  f ( u ) − f ( u )  dxdt = 0 .Udx+iλi ∫∫  ∂x ∂x∫∫Ω λi∫∫Ω  i∂x∂x∂Ω1∂Ω111Переходя в этом соотношении от двойного интеграла к повторному с учётом граничных условий (7.17) получимt*t*∫ U ( x,t ) dx − ∫ ∫  f ( u ) − f ( u ) dxdt − λ ∫ ∫ u*iλii0 RRλidxdt = 0 .0 RПри 0 < m < 1 , условия (I) – (III) теоремы 7.2 позволяют определить функциюf ( z ) = f ( z ) + A ⋅ zm ,( A > 0 - некоторая постоянная), такую, что f ( z ) ∈ Lip ( R0 ) .

Т.к. функция A ⋅ z m монотонновозрастающая, из последнего равенства получаемt*t*∫ U ( x,t ) dx − ∫ ∫  f ( u ) − f ( u ) dxdt − λ ∫ ∫ u*iλii0 RRλidxdt ≤ 0 .0 RЭто неравенство будет справедливо и в случае m ≥ 1 , только надо принять A = 0 , т.е.f ( z ) = f ( z ) . Используя далее произвольность выбора величины t* ∈ R+ и определениефункции f ( z ) , из этого неравенства получимt∫ U ( x,t ) dx ≤ M ∫ ∫ U ( x,ξ ) dxd ξ − λMiRi1⋅t0 R(Здесь M = const > 0 , M 1 = sup ∫ uλi dx < ∞ (см. условие (7.18))).t∈R+ R+Из неравенства Гронуолла-Беллмана получаем оценкиexp ( M ⋅ t )Ux,tdx≤λM.()i1∫RMСледовательно, ∫ U i ( x,t ) dx → 0 при λ → 0 .RПо теореме 7.1 при любом λ > 0 выполняются неравенства u1 ( x,t ) ≥ uλi ( x,t ) , i = 1, 2 иu2 ( x,t ) ≥ uλ 2 ( x,t ) . Поэтому, в силу непрерывности функций ui ( x,t ) ∈ C ( Ω ) , i = 1, 2 , получаем искомое утверждение u1 ( x,t ) ≥ u2 ( x,t ) , ( x,t ) ∈Ω .Замечание 1.

В Теоремах 7.1 и 7.2 предполагается ограниченность решения u ( x,t ) вовсей полуплоскости ( x,t ) ∈Ω . Если решение становится неограниченным при t > T ,T = const > 0 , то в качестве области определения можно рассматривать полосу{( x,t ) x < ∞ ,0 < t < T } . Все выводы при этом остаются справедливыми.Теоремы сравнения 7.1 и 7.2 позволяют эффективно исследовать качественные особенности эволюции начального распределения переносимой величины. Для примера рассмотрим возможность существования стационарных пространственно локализованных(имеющих ограничительный носитель или финитных) решений задачи Коши (7.14) – (7.18).16Стационарные пространственно локализованные решения задачи Коши существуют,если функция источника удовлетворяет условию (II) Теоремы 7.2. Эти решения могут реализовываться для всех t > 0 при специальном подборе начальных условий, или как предел эволюции решений задачи Коши при t → ∞ .Стационарное решение определяется из уравненияkkd  d ( us ) d ( us )dx  dxdxn −1 + f ( us ) = 0(7.21)k, n > 0, f ( 0 ) = 0 , us ( x ) ≥ 0 , x ∈ R .

Граничными условиями для уравнения (7.21) являютсяusx →∞= 0 , qsx →∞= 0.(7.22)Не теряя общности, решения задачи (7.21), (7.22) будем считать симметричными относительно плоскости x = 0 . Тогда уравнение (7.21) сводится к виду:1w n +1dw n +1= ± ∫fk ( ε ) d ε ,dx  w( 0 ) n(7.23)где w = u k , f k ( w) = f ( u ) . Интегрированием (7.23) получаем решение в квадратурах−1 ξ n +1 n +1x = ∫ ± ∫fk ( ε ) d εdξ .(7.24)nw( 0 ) w0()Непосредственно из уравнения (7.21) с учётом граничных условий (7.22) можно вывести условие существования стационарного решения (7.24), накладываемое на функцию источника.Для этого проинтегрируем уравнение (7.21) по независимой переменной и получимw∫ f ( w) dx = 0 .kRОткуда с учётом (7.23), найдём0∫w( 0 ) w n +1f k ( w) ± ∫fk ( ε) d ε w( 0) n−1n +1dw = 0 .Из последнего соотношения, после интегрирования и возвращения к переменной u получается условие, налагаемое на функцию источника f ( u ) , необходимое для существования стационарного решения (7.24):um∫uk −1f ( u ) du = 0 , um = us ( 0 )(7.25)0соответственно, в этих обозначениях w ( 0 ) = ( um ) .kПространственная локализация (ограниченность носителя) стационарного решения(7.24) возможна, если выражение в правой части (7.24) остаётся ограниченным при w → +0 .Обозначим−1 ξ n +1 n +1xф = ∫∫ k n f k ( ε ) d ε  d ξ ,k ( um )  ( um )тогда решение стационарной задачи должно быть записано в составном виде017us > 0 ,us = 0 ,x < xфx > xф.Найдём условие, налагаемое на асимптотическое поведение функции источника f ( u )при u → +0 , необходимое для локализации стационарного решения.

Для этого предположим,что для функции источника справедливо асимптотическое представление:f ( u ) ∼ −γu m при u → +0 ,где m = const > 0 .Асимптотическое представление решения us ( x ) при x → xф − 0 удобно также искатьв виде степенной зависимостиus ∼ a ⋅ ( xф − x ) ,αa, α = const > 0 . Подставляя это асимптотическое представление непосредственно в уравнение (7.21), получимa kn ⋅ n ⋅ ( k α ) ⋅ ( k α − 1) ⋅ ( xф − x )nn( k α−1)− γ ⋅ a m ⋅ ( xф − x )αm= 0.Отсюда находим выражение для величин α и a:( n + 1)1n, a =  γ −1 ⋅ n ⋅ ( k α ) ⋅ ( k α − 1)  ( m − kn ) .α=( kn − m )Таким образом, стационарное решение существует, если выполнено условие (7.25) ионо оказывается пространственно локализованным, если функция источника имеет асимптотическое представление f ( u ) ∼ −γu m , причём m < kn .Наличие стационарного пространственно локализованного решения еще не означает,что оно может реализовываться как результат эволюции начального распределения переносимой величины.

Класс начальных условий, для которых возможно u ( x, t ) → u s ( x) приt → ∞ достаточно узок, как это следует из следующего утверждения.Утверждение. Пусть выполнены условия теоремы 7.2 , накладываемые на функциюисточника (I) – (III). Пусть также задача Коши имеет локализованное стационарное решениеus ( x) (см. выше), причем начальное условие u ( x, 0) = u0 ( x) ≥ us ( x) (либо u0 ( x) ≤ us ( x) ),x ∈ R .

Тогда, если найдется такое ε = const , 0 < ε < ∞ , что функция u0 ( x) ≥ us ( x + ε ) (либоu0 ( x) ≤ us ( x + ε ) ), x ∈ R , стационарное локализованное решение us ( x) не может быть преде-лом эволюции решения u ( x, t ) , в том числе и при t → ∞ .Доказательство непосредственно следует из теоремы сравнения, если учесть, чтофункция u s ( x + ε ) также является стационарным решением задачи Коши. Поэтому на основании теоремы 7.2 одновременно u ( x, t ) ≥ us ( x) , u ( x, t ) ≥ us ( x + ε ) (либо u ( x, t ) ≤ us ( x) ,u ( x, t ) ≤ us ( x + ε ) ), ( x, t ) ∈Ω . Откуда и следует доказываемое утверждение.7.3.

Асимптотический анализ процесса переноса в окрестности фронтовой поверхности.Наличие фронтовой поверхности определяет качественные особенности интенсивногопереноса. Об этом свидетельствуют частные решения, приведённые в разделе 7.1. Во всехслучаях вид решения уравнения (7.1) однозначно связан с режимом движения фронтовой поверхности. Естественно предположить, что при эволюции произвольного распределения пе-18реносимой величины такая связь также существует, но лишь в окрестности фронтовой поверхности.

Поэтому само уравнение переноса (7.14) должно упрощаться вблизи фронта.Рассмотрим уравнение вида:∂u(7.26)= L ( u ) , u ( x,t ) ≥ 0 , ( x,t ) ∈Ω ,∂tгде функция u ( x,t ) ∈ C1,1 ( ω) ∩ C ( Ω ) (например, удовлетворяет задаче Коши (7.14) − (7.18),напомним, что ω = supp u\ ∂ supp u ), а L ( u ) - некоторый оператор. Будем считать, что фронтовая поверхность задана уравнением x = x f ( t ) , где x f ( t ) ∈ C1 ( R+ ) и для определённостибудем также считать, что u ( x,t ) > 0 при x > x f ( t ) и u ( x,t ) = 0 при x ≤ x f ( t ) .Замена переменных ( x,t ) ֏ ( x1 = x − x f ( t ) , t1 = t ) , приводит уравнение (7.26) к виду∂u∂u− xɺ f= L (u )∂t1∂x1(7.27)Уравнение фронтовой поверхности в новых переменных примет вид x1 = 0 .Очевидно, что limx1 →+0∂u= 0 в силу того, что u (0, t1 ) = 0 и непрерывности самой произ∂t1водной.

Характеристики

Список файлов книги