Романов А.С., Семиколенов А.В. - Интенсивный перенос (953813), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

7.10. Как видно, приt → ∞ всё пространство x > 0 нагревается до u → ∞ .2. Экспоненциальный граничный режим.tПусть u1 (t ) = e , t > 0 . Соответствующее автомодельное решение имеет видu ( x, t ) = et ⋅θ (ξ ) , ξ = xe−σt2,где функция θ (ξ ) удовлетворяет краевой задаче(θ σ θ ′)′ +σθ ′ξ − θ = 0 , ξ > 0 , θ (0) = 1 , θ (∞) = 0 .2Решение этой автомодельной задачи также финитно.

То есть существует поверхность,σt фронт тепловой волны, x f = ξ f ⋅ exp   , t > 0 , ξ f = mes ( supp ( θ ) ) < ∞ . 2 Качественный вид решения указан на рис. 7.10. Сравнивая автомодельные решения состепенным и экспоненциальным граничным режимом можно сделать вывод, что наличиефронтовой поверхности не связано с видом граничного режима.

Тогда как напротив, глубинапроникновения тепла отслеживает скорость нагрева границы.Заметим, что принцип максимума позволяет обобщить эти выводы на широкий кругнеавтомодельных задач.Естественно задаться вопросом: можно ли нагревать так быстро, чтобы область нагрева была ограничена даже при u1 → ∞ . Для ответа на этот вопрос рассмотрим еще один пример автомодельного решения краевой задачи (7.70).3. Степенной граничный режим с обострением.38Пусть u1 ( t ) = (T0 − t )−1σ, где T0 = const > 0 - постоянная величина, которую естественноназвать временем обострения. Искомое автомодельное решение имеет видu ( x,t ) = (T0 − t )−1σ2σx1 −  , x0  2 ⋅ ( σ + 2) где x0 =  > 0 .

За всё время обострения тепловые возмущения не проникают вσокружающее пространство за пределы x = x0 , то есть за все время 0 < t < T0 , u ( x, t ) = 0 при12x > x0 (см. рис. 7.11). Следуя монографии [1], назовем такой режим нагрева «S» - режимом.Важно отметить, что не всякий граничный режим с обострением обеспечивает лока1nлизацию теплового воздействия. Например, пусть u1 ( t ) = (T0 − t ) , 0 < t < T0 , где n < − .σxЭтому режиму отвечает автомодельное решение u ( x,t ) = (T0 − t ) ⋅ θ ( ξ ) , ξ =, где(1+ nσ ) 2−Tt(0 )θ ( ξ ) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению. Точка фронта движется по закону x f ( t ) = ξ ⋅ (T0 − t )(1+ nσ )2, причём x f ( t ) → ∞ при t → T0 − 0 .

Назовём этот режим«HS». 1 Напротив, если n ∈  − , 0  , то это «LS»-режим с обострением. В данном случае на σ грев с обострением происходит только в точке x = 0 . Во всех остальных точках пространства( x > 0 ) температура равномерно ограничена сверху при t ∈ ( 0 ,T0 ) .Рекомендуемая литература1. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений/А.А.Самарский, В.А.Галактионов, С.П.Курдюмов, А.П.Михайлов.

– М.: Наука, 1987. – 487 с.2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970. – 400 с.3. Фроммер М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первогопорядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер//УМН. – 1941. –Вып.

9. – С. 212 – 253..

Характеристики

Список файлов книги