Романов А.С., Семиколенов А.В. - Интенсивный перенос (953813), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

При t → t0 решение u ( x,t ) → ∞ в полупространстве x < 0 . Во всяком случае, фронт останется неподвижнымв течение указанного интервала времени. Назовём состояние фронта метастабильным, еслион неподвижен в течение конечного интервала времени.Процесс эволюции интенсивного возмущения в нелинейной среде со стоком можетпроходить различные стадии, сопровождающиеся как волной нагрузки, так и волной разгрузки. Для иллюстрации приведём автомодельное решение задачи о точечном «взрыве» дляплоской симметрии.

Начальное распределение переносимой величины задаётся в моментвремени t = 0 в начале координат: u ( x,0 ) = Q ⋅ δ ( x ) , где δ ( x ) - дельта-функция.В ходе решения подберём показатель степени m у функции источника в (7.1′′′) так,чтобы решение можно было бы получить аналитически.Решение будем искать в виде(εu ( x,t ) = A ⋅ t σ ⋅ x f − xε).α(7.9)После подстановки (7.9) в (7.1′′′) получим тождество(εA ⋅ σt σ−1 ⋅ x f − xε)α(+ A⋅tσ ⋅ xf − x= Akn ⋅ t σkn ( k α ) ( k α − 1) nε n +1 x(n+ Akn ⋅ t σkn ( k α ) ε n n (1 − ε ) xnεn +1)( ε−1)n ( ε−1) −1((ε)α−1αεd ( xf )⋅ xf − xε⋅ xf − xε)ε=dtε)( k α−1) n −1( k α−1)nРешение нетривиально, если показатели степени двучлена+(ε− γAm x f − x(xεf− xεε)αm.) в последнем соотно-шении одинаковы.

Откуда найдём α − 1 = n ( k α − 1) − 1 , α − 1 = αm , следовательно α =m = 1+1− k . Сокращая, получимnn,kn − 19A ⋅ σtσ−1(ε⋅ xf − xε) + A ⋅ t ⋅ασ= Akn ⋅ t σkn ( k αε ) ( k α − 1) nεx(nd ( xf )εdtn +1)( ε−1)=− Akn ⋅ t σkn ( k αε ) n ( ε − 1) xnn( ε−1) −1(ε⋅ xf − xε) − γAm −1 σmt .Если приравнять в этом тождестве показатели при x в первом и третьем слагаемыхn +1, n ( ε − 1) − 1 = 0 . Таким образом тождество распадается на дифnференциальное уравнение и тождествоεd ( xf )εnσ−1σ Aσt x f + At α= Akn ⋅ t σkn ( k α ) ε n n ⋅ (1 − ε ) − γAm ⋅ t σm.dtnnσ−1σknkn σknn +1kn − Aσt = A t ( k α ) ( k α − 1) n ⋅ ε − A ⋅ t ( k α ) n ⋅ (1 − ε )ε = ( n + 1)( ε − 1) , то ε =1 k ( n + 1) n 1− kn1Из второго соотношения системы: σ = −и амплитуда A =  n ( k + 1)  .kn − 1 kn − 1 Первое уравнение системы является линейным неоднородным дифференциальнымуравнением первого порядка относительно функции ( x f ) (предполагается, что x f > 0 )εd (xf)ε n +1 γ m −1 σ( m −1)(7.11)t −1  2=− A tdtα n ( k + 1) Решение этого обыкновенного неоднородного уравнения (7.11) может быть найдено− (xf)εкак сумма решений соответствующего однородного уравнения ( x f)εgи частного решениянеоднородного уравнения ( x f ) p .εРешение однородного уравнения имеет вид(x )fεg= Ct β , β =n +1> 0,n ( k + 1)2где C = const > 0 - постоянная интегрирования.Частное решение будем искать в виде ( x f )εp= − pt ω .

Подставим это выражение вуравнение (7.11) и найдём, что p = γAm −1  α ( ω − β )  , ω = σ ( m − 1) + 1 =−1( n + 1) > 0 .nМожно показать, что выполнено неравенство ω > β > 0 , откуда p > 0 .Таким образом, закон движения фронта принимает окончательный видnn +1x f ( t ) = Ct − pt  ≥ 0,(7.12)Постоянная C > 0 определяется интегральной величиной начального распределенияпереносимой величины, то есть значением Q > 0 .βПусть η =ωx, тогда формулу (7.9) можно записать в видеxfu ( η,t ) = At σ ( x f)εα(1 − η )ε α10При малых значениях t выполняется асимптотическое равенство ( x f ( t ) ) = Ct β , поэтому приεt →0:(u ( η,t ) = At σC α t αβ 1 − η)ε α.Решение (7.9) является слабым решением задачи, то есть удовлетворяет начальномуусловию, заданному в классе обобщённых функций+∞limt →+0∫ u ( x,t ) ⋅ χ ( x ) dx = Q ⋅ χ ( 0)−∞для любой финитной функции χ ( x ) ∈ C ∞ ( R ) .

Таким образом, получаемnn +1 kn −1QAC ∫ 1 − η n  d η = .20Соответственно для коэффициента C > 0n 1kn −1−nkn −11n +1nC =Q2 A ⋅ ∫  1 − η  d η.0Построенное автомодельное решение показывает, что при точечном «взрыве» в средес распределёнными стоками переносимой величины, движение фронтовой поверхности, разграничивающей невозмущённую область, где u = 0 , и возмущённую область пространства сu > 0 , может иметь сложный характер. В рассматриваемом автомодельном случае скоростьфронтовой поверхности определяется формулойkn −1nxɺ f =nkn −11−n⋅ ( x f ) n ⋅ Cβ ⋅ t β−1 − pω⋅ t ω−1  .n +11Это величина больше нуля ( xɺ f > 0 ) при 0 < t < t1 , где t1 = ( β C ωp ) ω−1 , что соответству1ет волне нагрузки, и меньше нуля ( xɺ f < 0 ) при t1 < t < t2 , t2 = ( C p ) ω−β , что соответствуетволне разгрузки.При t > t2 , u ( x,t ) = 0 , то есть переносимая величина исчезает за конечное время.

Процесс нелинейного переноса в данном случае оказывается ограниченным в пространстве и вовремени, несмотря на неограниченность начального условия.7.2. Обобщённое решение. Задача Коши. Теоремы сравнения решений.Наличие фронтовых поверхностей при распространении переносимой величины понулевому фону физически связано с вырождением уравнения переноса при u = 0 . На самомделе, выполняя дифференцирование, уравнение (7.1′′) с учётом (7.2) можно переписать в виде∂u ∂u  ∂ 2u ∂   ∂u   ∂u= λ  u, ⋅ 2 +  λ  u,  ⋅ + f (u ) .∂t ∂x  ∂x ∂x   ∂x   ∂x∂λЕсли принять, что λ = 0 и≠ 0 при u = 0 , то уравнение переноса становится экви∂xвалентным уравнению первого порядка вблизи фронтовой поверхности. Поверхность фронта11является поверхностью слабого разрыва функции u ( x,t ) , так как на ней могут не существо∂u ∂u,и производные более высоких порядков.

Поэтому, если включить∂x ∂tв область определения одновременно и область, где u > 0 , и область, где u = 0 , то классического решения, вообще говоря, не существует.Поэтому необходимо определить обобщенное решение для уравнения переноса (7.1),избегая требования гладкости, налагаемые на решения дифференциального уравнения. Самым естественным способом является переход от дифференциального уравнения (7.1) к интегральному закону сохранения. То есть вместо (7.1) можно рассматривать интегральные соотношения видаdud Ω = − ∫∫ q,dSdt ∫∫∫VSвать производные()для произвольного неподвижного объёма V, ограниченного замкнутой поверхностью S. Ясно, что в этом случае требования гладкости, налагаемые на решения, не являются необходимыми.

Достоинством такого «физического» подхода является его высокая наглядность. Сматематической точки зрения наглядность часто не является достоинством, а «физический»подход к решению проблемы имеет недостаток – уменьшение размерности области, на котором определяется решение в правой части последнего соотношения.Другой подход к определению обобщённого решения также строится на переходе отдифференциального соотношения (7.1) к интегральному.

Основная идея такого перехода состоит в применении формулы интегрирования по частям после умножения обеих частейуравнения (7.1) на произвольную непрерывно дифференцируемую функцию ϕ ( r ,t ) . Такимобразом, для некоторой области Ω пространства независимых переменных получаем∂u∫Ω ϕ ∂t d Ω = −Ω∫ ϕ ⋅ div ( q ) d Ω .Откуда, после интегрирования по частям, получим ∂ϕ∂∫Ω u ∂t + ( grad ϕ,q ) d Ω = Ω∫  ∂t ( uϕ) + div ( ϕq ) d Ω .(7.13)Как видно, в левой части (7.13) требования к гладкости решения u ( r ,t ) смягчены.Очевидно также, что правая часть соотношения (7.13) должна вычисляться только награницах области Ω (естественно, после интегрирования по времени и применения формулыГаусса-Остроградского).

Поэтому возникающие проблемы могут быть решены за счёт соответствующего выбора функции ϕ ( r ,t ) и формы области Ω. Например, там, где граница области Ω не совпадает с поверхностью, на которой известны переносимая величина u (r , t ) иее поток q(r , t ) , можно принять ϕ(r , t ) = 0 , не снижая общности соотношения (7.13).Корректность определения решения, в конечном итоге, обуславливается соответствующими теоремами существования и единственности.Вернёмся от общих рассуждений к изучению уравнения (7.1′′). Решение проблемыопределения обобщённого решения упрощается, если заранее учесть его дифференциальныесвойства. Назовём носителем решения supp ( u ( x,t ) ) замыкание множества пар ( x,t ) , таких,что u ( x,t ) > 0 и будем считать множество supp ( u ( x,t ) ) односвязным, а границу носителя12()l ( x,t ) = ∂ supp ( u ( x,t ) ) - кусочно-гладкой.

Будем считать, что решение удовлетворяет уравнению (7.1′′) внутри носителя, то есть при ( x,t ) ∈ ω , где ω = supp ( u ( x,t ) ) \ l ( x,t ) , в классическом смысле, и что решение вместе со своим потоком непрерывно во всей области определения. В соответствии с этими предположениями будем говорить, что u ( x,t ) ∈ Hˆ ( Ω ) , еслиu ( x,t ) ∈ C 2 ,1 ( ω) ∩ C ( Ω ) и q ( x,t ) ∈ C ( Ω ) .Назовём функцию u ( x,t ) ∈ Hˆ ( Ω ) решением задачи Коши для уравнения переноса вида (7.1′′)∂u∂q∂u ∂u= − + f (u ) , q = −⋅∂t∂x∂x ∂xесли выполнены начальные условияkn −1, ( x,t ) ∈Ω , f ( u ) ∈ C ( R0 ) , R0 = R+ ∪ {0} , f ( 0 ) = 0 (7.14)u ( x,0 ) = u0 ( x ) , x ∈ R,(7.15)гдеu0 ( x ) ∈ C ( R ) , u0 ≥ 0 , ∫ u0 ( x ) dx = E0 < ∞ ,(7.16)Rграничные условияu ( x,t )x →∞= 0, qx →∞=0(7.17)и условие ограниченности интеграла∫ u ( x,t ) dx < ∞ , t ∈ R .(7.18)+RСледует отметить, что второе «потоковое» условие из (7.17) является следствием приведённой формулировки задачи Коши.

Несмотря на это, если его учесть заранее (также какдифференциальные свойства решения), то это существенно упрощает исследования.Вернёмся к определению обобщённого решения, основанного на формуле (7.13) длясформулированной задачи Коши (7.14) – (7.18). Выберем в качестве области Ω прямоуголь-{( x,t ) ( x,t ) ∈ ( 0,T ) × ( x ,x )} , T = const > 0 , x ,x = const > 0 , x > x и получим∂ u ∂ u∂∂  ∂ (u ) ∂ (u ) u ∂ϕ + ( ) ( ) ∂ϕ + ϕ⋅ f ( u )  dxdt =ϕdxdt .( uϕ) dxdt +ник Ω =T x2k∫∫o x11∂t∂xk21n −1∂x∂x22T x2T x2o x1o x1∫ ∫ ∂t1k∫ ∫ ∂x ∂xk∂xn −1Если теперь определить финитную функцию ϕ ( x,t ) равной нулю при t = 0 , t = T , x = x1 ,x = x2 , то правая часть этого равенства окажется равной нулю и, окончательно, получимn −1∂ ( u k ) ∂ ( u k ) ∂ϕ∂ϕu++ϕ⋅fu(7.19)( )  dxdt = 0 .∫o x∫  ∂t ∂x ∂x ∂x1Таким образом, обобщённым решением задачи Коши (7.14) - (7.18) следует считатьнепрерывную неотрицательную функцию u ( x,t ) , удовлетворяющую уравнению (7.19) дляT x2любых T > 0 , x1 , x2 ∈ R .Качественное исследование свойств обобщённых решений уравнения (7.1′′) можетбыть основано на теоремах сравнения, являющихся обобщением принципа максимума,13сформулированного в теории уравнений математической физики для уравнений параболического типа.ˆ ( Ω ) суперрешением уравнения (7.14), еслиВ этой связи, назовём функцию θ ( x,t ) ∈ Hвыполнено неравенствоn −1kk∂θ ∂  ∂ ( θ ) ∂ ( θ )≥+ f ( θ) .∂t ∂x  ∂x∂x(7.20)Во многих случаях суперрешение θ ( x,t ) удаётся построить аналитически и использовать затем для выяснения качественных особенностей решения, базируясь на теоремах сравнения по начальным данным и функциям источника f ( u ) .

Ниже приводится формулировкатеоремы сравнения, объединяющая различные её варианты.ˆ ( Ω ) является суперрешениемТеорема (сравнения) 7.1. Пусть функция θ ( x,t ) ∈ Hуравнения (7.19) с функцией источника f1 ( θ ) , такой, что f1 ( 0 ) = 0 , f1 ( θ ) ∈ C ( R0 ) , и выполнено одно из условий:(i) f1 ( z ) > f ( z ) , z ∈ R+ , причём f1 ( z ) ∈ C1 ( R0 ) , то есть существует непрерывная производная f1′ ( z ) , либо существует a0 = const > 0 , такая, что f1 ( z ) ≤ 0 при z ∈ [ 0,a0 ] , т.е. функцияисточника непрерывная и неположительная при малых значениях переносимой величины;(ii) f1 ( z ) = f ( z ) , f ( z1 ) ≥ f ( z2 ) при z2 > z1 , z ∈ R+ , то есть функция источника невозрастающая.Тогда, если θ ( x,0 ) ≥ u0 ( x ) , x ∈ R , то θ ( x,t ) ≥ u ( x,t ) , ( x,t ) ∈Ω .ˆ ( Ω ) как субрешение уравнения (7.19) приЗамечание.

Если определить функцию θ1 ( x,t ) ∈ Hвыполнении неравенстваn −1kk∂θ1 ∂  ∂ ( θ1 ) ∂ ( θ1 )≤+ f ( θ1 )  ,(7.20′)∂t ∂x  ∂x∂xто для него выполняются все выводы теоремы 7.1 с заменой соответствующих неравенств напротивоположные.Следует отметить, что условия (i) или (ii), налагаемые на функцию источника, не являются избыточными. Отказ от этих условий приводит, например, к неединственности решения краевой задачи (подробнее смотри в монографии [1]), что в конечном итоге противоречит теореме сравнения.В качестве примера укажем на возможность неединственности решения для рассматриваемой здесь задачи Коши (7.14) – (7.18), при отказе от условий (i ) и (ii) теоремы сравнения (7.1).Если у функции источника в правой части уравнения (7.1′′′) поменять знак, то получимn −1kk ∂u ∂  ∂ ( u ) ∂ ( u ) =+ γu m , γ > 0 ,m > 0.∂t ∂x  ∂x∂x 14Ясно, что в этом случае функция источника f (u ) = γ u m при 0 < m < 1 не удовлетворяет условиям теоремы сравнения 7.1.Также как в задаче о точечном «взрыве» (см.

Характеристики

Список файлов книги