Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 45
Текст из файла (страница 45)
8.1.1. Прямые показатели качества. Среди прямых показателей наиболее часто используются время регулирования и пере- регулирование. Напомним; временем реерянровинни 1р называется минимальное время, по истечении которого отклонение переходной 6, Ь1ос) 2Т 4Т б?' 8?*1р 10?' 12?' Рис. 8.1. Переходная характеристика характеристики от установившегося значения 61оо) не превышает заданной величины Ь (рис. 8.1). Обычно принимают Ь = (0,02— — 0,1)6(со).
8.1. Ноназапаелп качества в переходном режпме 253 Перерегулированием а называют максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения, выраженное в процентах к установившемуся значению: ц = 100%. 6(оэ) Для графического определения прямых показателей качества необходимо иметь переходную характеристику. Ее можно построить по дискретной переходной функции 6(1Т), соединяя дискретные точки плавной кривой. Рассмотрим вычисление переходной функции. По определеникв переходная функция 6(1Т) есть функция, которая описывает реакцию системы на единичное воздействие д(1Т) = 1(1Т) при нулевых начальных условиях.
И так как х-изображение от единичной решетчатой функции имеет вид С'(х) = Я(1(1Т]) = хДх — 1), х-изображение переходной функции равно ( ) — И'яв( ) ( ) — ~„о( ) —, где И'„* (х) — передаточная функция относительно входа д(1Т) и выхода у(1Т). Изображение переходной функции есть отношение полиномов: Н,( В*(х) Ьох'" -Ь Ь~х™ ' В-... -> Ьм ( А*(х) аох" +аехв ' -ь...-~-а„ С другой стороны, по определению х-преобразования Н'(х) = ~ ~6(1Т)х с=о Поэтому значения переходной функции Ц1Т) можно найти, разложив Н'(х) в ряд Лорана путем деления числителя В*(х) на знаменатель А'(х) по правилу деления многочленов. При этом в многочленах В*(х) и А*(х) слагаемые должны располагаться в порядке убывания степени х.
Пример 8.1. Определить значения переходной функции Ц1Т) (1 = О, 1,..., 5) дискретной системы с передаточной функцией О,Цх — Ц во а а+ОЗ Решение. х-изображение переходной функции имеет вид Н*(х) = И"„*„(х)— Произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, для первых пяти слагаемых получим Н"(х)=01х х+01х з+007х з+004х в+0061х в+...
Отсюда имеем 6(0) = О, 6(Т) = ОЛ, 6(2Т) = 0,1, 6(ЗТ) = 0,07, Ь(4Т) = 0,04, 6(5Т) = 0,061. 254 Гл. д. Оненка качества даскретных снстелс Если разность между степенями знаменателя и числителя равна г, то первый член разложения Н*(я) в ряд Лорана будет иметь степень з ". Поэтому первые г значений Ь[1Т] будут равны нулкк Ь[0] = Ь[Т] =... = Ь[(г — 1)Т] = О. Лругой способ вычисления переходной функции основан на формуле разложения, которая определяется следующим образом: если все полюсы ьч (г = 1, .2,..., п) функции Н*(я) (т, е, корни уравнения А'(з) = = 0) простые и не равны нулю, то [6] а Ь.~1Т] = ~~,( ') я,' ', 1 = 1, 2,..., (8.1) где А*'(е,) = де Ьо Начальные значения: Ь[0] = 0 при гп ( и и Ь[0] = — при щ = п.
ао П р и м е р 8.2. Определить переходную функцию Ь ~Т], если е-изображение имеет вид Зе+ 1 еа -Ь бе + 6 Решение. В данном случае В*(е) = Зе+ 1 и А*(е) = ее+ 5з + + 6. Производная есть А*'(г) = 2з+ 5, полюсами являются е1 = — 2 и ез = — 3. И в соответствии с формулой (8.1) Ь[1Т] = — 5( — 2)' 1+8( — 3)~ ~, 1= 1,2,... Начальное значение Ь[0] = О,так как степень числителя меньше степени знаменателя. Если Н*(е) имеет кратные полюсы,то полюсу е кратности Ь в формуле разложения соответствует слагаемое, определяемое предельным соотношением [6] (8.2) Если среди полюсов Н'(е) имеется нулевой полюс (е = 0), то при вычислении соответствующего этому полюсу слагаемого следует пользоваться формулой (8.2) и в том случае, когда этот полюс является простым.
Пример 8.3. Определить переходную функцию Ь[1Т], если ее е-изображение имеет вид Решение. В данном случае В'(е) = яа+ 2,5е+ 1 и А*(г) = = я(г — 1)з(е + 1). Производная есть А" (е) = 4ез — Зеа — 2я+ 1, полюсами являются зг = О, ез = 1 и яз = — 1. Слагаемое, .соответствующее нулевому полюсу (яз = 0), и соответствии с формулой (8.2) 8.1.
Показатели качества в переходном реакпмс 255 определяется следующим образом: г+2,5 +1 ~,] ](1 при 1=1, 11ш Ьх о1 ( — Ц ( -ЬЦ 1 (О при 1)1. Полюс гг = 1 имеет кратность 2, и ему соответствует слагаемое г з -Ь2,5зз-1 ~ г] 1пп — рг — Ц : ~г дх (~ е(з — Цг(х -е Ц е-лз де ~ х-Ь1 Полюс хз — — — 1 является простым, и ему соответствует слагаемое (см. (8.1)) В (-') ( 1)~-х =0125( 1)~-~ А"'( — Ц Таким образом, имеем 6(Т] = 1+ 2,25 — 3,37ое -ь 0,125 = О, 6((Т] = 2,251 — 3,375+0,125( — 1)' ', 1= 2,3,...
Начальное значение: 6[0] = О. Вычисление переходной функции мезкду точками съема сисналов. Функция 6((Т] определяет значения переходной функции в моменты сьема сигнала 1 = 1Т (1 = О, 1, 2,...). При необходимости можно получить функцию 6„(1Т], которая определяет значения переходной функции в промежуточные моменты времени 1 = (1 — т]Т) (О < х < Т, 1=1,2,...).
Для этого рассмотрим структурную схему (рис. 8.2, б), которая ~,- ~5(в) Рнс. 8.2. Структурные схемы (к оззрецеленню переходной функции 6 (1Т]): а - исходная схема; б — . преобразованная схема получается из исходной (рис. 8.2, а) подключением на выходе звена чистого запаздывания. Из этих схем имеем 3т(И;(в)) 1 + лт (И'з(в)1Рг(в)) Хт(Ъуз(в)е 1 "т( е( ) г(в)) Так как ух(1) = у(1 — т) и при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях у(1) = 6(1) и у„(1) = 6,(1), то 6,(1) = = 6(1 — т).
Соответственно для х-изображений переходных функ- 250 Глн 8. Оценка качества дискрстнык систем ций 6[1Т] и 6,[1Т] имеем '( 1+ Ят(И''Пв)И'а[в)) в — 1 Н;[.) = г(6,[1Т]) 1 -с Ят(И'с[в)Ига[в)) в — 1 е-'гт(И 1[в)) в 1+ Хг(И'Пв)Ига[в)) е — 1 [8.3) где е = 1 — т1Т. Пример 8.4. Пусть вдискретной системе (см. рис. 8.2, а) Исг[в) = 1 — е — тч И'з(в) = 1 и период следования импульсов Т = 0,2. Трев[в -'е 1) ' буется определить решетчатую функцию, которая принимает значения переходной функции 6(1) в моменты 1 = [1 — д)Т, где д = 0,25, 1=1,.2,... Решение. Искомой функцией будет 6„[1 Т], где т = с1Т = 0,05.
В данном случае е = 1 — д = 0,75 и ,(1 — е ™~ в;( 1 ~ 015вь003 — г ~.(.() '[))=~.(',;„~= ',~.(,'„))=,"'„'„ Подставив зги выражения в (8.3), получим Н;(в) = Х(6,[1Т]) = Отсюда в соответствии с формулой (8.1) 6„[1Т] = 0,9 — 0,.75(0,8)~ ~, 1 = 1,2,... 8.1.2. Косвенные показатели качества. Как и в случае непрерывных систем, для оценки качества дискретных систем используются следующие косвенные показатели качества: корневые, частотные и суммарные [аналог интегральных). Корневым показателем качестви является степень устойчивости и*, которая определяется следующим образом: г1' = шш ( — 1п [за[), где ва корни характеристического уравнения. Степень устойчивости является косвенной мерой быстродействия системы.
Суммарной квадратической ошибкой называе~ся ряд ,Узо -- ~~ е [1Т], е,[1Т] = е[1Т] — е, [1Т]. с=о Здесь е„[1Т] "-. переходная составляющая ошибки, е[1Т] -- ошибка и е [1Т] установившаяся ошибка (вынужденная составляющая ошибки).
8.1. Понаэаднела качества в переходном реаииме 257 Частотные показатели --- запас устойчивости по амплитуде и запас устойчивости по фазе —. определяются точно так же, как и в случае непрерывных систем. Но в случае дискретных систем указанные показатели можно определить как по частотным, так и по псевдочастотным характеристикам. Однако псевдочастотные характеристики не находят широкого применения. 8.1.3. Особенности переходного процесса дискретных систем.
В непрерывных линейных системах переходная функция всегда принимает установившееся значение при 1 = оо. Однако возможны линейные дискретные системы, в которых переходный процесс заканчивается за конечное число шагов, т. е. существует такое положительное число 1о, что 1ь[1Т] = Ы1оТ] = Ь[оо] У1 > 1о. (8.4) Если выполняется условие (8.4), то переходный процесс называется оптимальным, а система, в которой происходит такой процесс, называется оптимальной (по переходному процессу) системой. Условие оптимальности системы]по переходному процессу).
Переходя к оригиналам,из равенства У* (х) = И;;„(х) С* (х) по теореме о свертке получим у]1Т] = ~тдд~йТ)у[(1 — й)Т). (8.5) По определению переходной функции при у[1Т] = 1[1Т] из (8.5) имеем / 17 [1Т] Х~ ю д [йТ) (8.6) ь=о Отсюда следует, что система будет оптимальной по переходному процессу, т.е. будет выполнено условие (8.4), если до д[1Т] = 0 при й > 1о. (8.7) При выполнении этого условия передаточная функция, связанная с весовой функцией х-преобразованием, принимает вид ~ь Ихдд(х) = ~' и~од [1дТ) х ь = ~' додд [йТ) х ь. (8.8) ь=о ь=о В общем случае передаточная функция И'„' (х) представляет собой от- ношение полиномов: и она при разложении в ряд Лорана примет вид (8.8), если аь=ах=...=а„=0. (8.10) 17 Д.П.
Ким 258 Гл. В. Оценка качества дискрстнслх систем действительно, в этом случае имеем 50 т — о 51 т — и — 1 5 — и сИ 1х) = — х + — х +...+ — х Уд ао ао ао Таким образом, система (8.9) является апти альной (переходный процесс в ней заканчивается за конечное число шагов), если выполняется условие (8.10). Пример 8.5.
Замкнутая дискретная система состоит из фиксатора нулевого порядка и непрерывной части с передаточной функй цией Ис„(в) = ', период Т = 0,1. Определить параметр к, при ко2в+1' тором переходный процесс будет оптимальным. Р е ш е н и е. При фиксаторе нулевого порядка передаточная функ1 †' т ция формирующего звена имеет вид И'е(в) = .
Поэтому передаточная функция приведенной непрерывной части имеет вид Ис„(в) = И'е(в)И'„(в) = й(1 — е ') и передаточная функция разомкнутой дискретной модели равна И „( ) Хт(К„(в)) гт( ) Передаточная функция замкнутой системы имеет вид И'„"(я) 0,05 й 1+И'"„*(г) я — 0,95+0,051 Отсюда в соответствии с формулой (8.10) для оптимального й получаем к= ' =19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
