Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 46
Текст из файла (страница 46)
0,95 0.05 8.2. Показатели качества в установившемся режиме Наиболее полной характеристикой качества в установившемся режиме является установившаяся ошибка еоо(1Т). Не можно найти по г-изображению Е*(г) на основе теоремы о граничных значениях: ео,(1Т) = 11ш(я — 1)Е'(х). другим показателем качества в установившемся режиме являются коэффициенты ошибки, которые определяются ниже. 8.2.1.
Коэффициенты ошибки. Переходя к оригиналам, из равенства Е*( ) = И'в* ( )С" ( ) 8.2. Показатели каиестеа е 77станоеиеилемсн режиме 259 гю теореме о свертке получим ел7Т) = ~ ш,„~(7 — 7с)Т) д'7КТ). л=о Процесс считается установившимся в текуший момент времени, если входное воздействие начало действовать при ло — — — со. Поэтому, положив в предыдущей формуле начальное Й = — со, получим е,77Т) = 'з иц 7(7 — А)Т) <ДАТ), или, положив 7 — Й = л, получим е, ~с7Т) = ~ ~иле 7лТ) д)(7, — л)Т). (8.11) Разложим функцию дЛ7 — т) в ряд Тейлора в окрестности точки 7: д1л — т) = ~ ( — 1) —, т, д Лл) = л дюлл) л лл7 с7 дП) ь=о Произведем дискретизацию по времени, для чего в полученном разложении положим 7 = 7Т и т =зТ; сс еп д7(7 — л)Т) = ~ ( — Ц, 77Т) Подставим это выражение в (8.11) и поменяем порядок суммирования.
Тогда получим С!О ОО лы еа,'7ЕТ) = ~ ( — 1) ~~ и, '7лТ) (лТ) а=о с=-о или е 77Т) = ~~ Сь д 77Т). (8.12) ь=о где Сл =( — 1)л~ "'7 ) ), 1=0,1,2,... л8.13) а7 с=-О Коэффициенты Сл характеризуют качество системы в установившемся режиме и называются коэффициентами оилибки. При этом Со называют коэффициентом позиционной ошибки, Сл коэффициентпом скоросалной оилибки и Сз коэффициентом оилибки по ускорению.
8.2.2. Вычисление коэффициентов ошибок. Вычислять коэффициенты ошибки по формуле (8.13) неудобно. Поэтому обычно используют формулы, связывающие коэффициенты ошибки с пере- 17" 260 Гл. д. Оценка качества дискретных систем даточной функцией ошибки И',*, (х) и имеюгцие следующий вид: Сд = —, И',",„(х)],, й = 0,1,2,... (8.14) Здесь Ихе* (х) определяется по рекуррентной формуле Иее(х) = Ихед(х)", Ихед(х) = Тх ' ' й = 1 2 ' ' ' (8'15) Из приведенных формул следует, что коэффициент позиционной ошибки Се = И',; (1), и для нахождения остальных коэффициентов не- обходимо вычислять производные от передаточной функции И'; (х).
Однако, как увидим в следующем параграфе., если коэффициенты ошибки Се — — С1 —— ... — — С„з — — 0 и С, ф О, то все эти коэффициен- ты, включая первый отличный от нуля коэффициент, можно вычис- лить, не находя производные. Докажем справедливость приведенных формул. Формула (8.14) будет справедлива, т.е. будет иметь вид (8.13), если ве Исаа(х) = ( — 1) ~ ~хде [дТ1 (еТ) х (8.16) ю=е Справедливость этой формулы покажем методом математической индукции. Учитывая, что передаточная функция И'; (х) и весовая функ- ция тед[1Т] ошибки связаны соотношением И;",(.) = ~ „[Т].—, а=е в соответствии с (8.15) при к = 0 имеем И'оо(х) = И д(х) = ~~', тед[еТ] х ю — — 0 Отсюда следует, что формула (8.16) при к = 0 справедлива.
Лопустим, что она справедлива при к = ш — 1: ИО 1(х) = ( — Ц Я~' и3ед[ЗТ](еТ) х 1=0 или Иеа -х(х) = У(( — 1) 'дд д[1Т](1Т) '). Покажем, что она справедлива и при к = т. В соответствии с формулой (8.15) „.. () Т,дИв дх Отсюда, учитывая принятую выше формулу для Иселл з (х) и свойство х-преобразования об умножении оригинала на 1Т (см. (6.15)), получаем 8.М. Статические ьь астатььчесиие системы 261 И»от(») = — Я( [( — 1)~ тед [»Т](»Т) т ~]ьТ ) = = ( 1) Я(ьоед[»Т](»Т)~) = ( 1) ~~' иьед[ьТ](ьТ)а'» что и доказывает справедливость формулы (8.16) при й = т. 1 Пример 8.6.
Передаточная функция ошибки И',* (») = ед» вЂ” 05' период Т = 0,1. Определить коэффициенты ошибки Со, Сь и Сз. Решение. Согласно формулам (8.14) и (8.15) имеем В„„( ) Т ЛФ;"9(») 01 1( 1 1 0,1» д» ' д» 1 — 0,51 И» — 0,5И ' Иг, ( ) Т дИ'оь(») 0 1 «( 0,1» '( 0.01»(»+ 0,5) Сг = И ' (»)] г — оз» „.-ь — (» 05)з 8.3. Статические и астатические системы Система называется статической, если статическая ошибка отлична от нуля, и астатической, если статическая ошибка равна нулю.
Статическая ошибка это установившаяся ошибка при постоянных внешних воздействиях. Система является астатической и обладает асьпатизмом г-ео порядка, если первые г коэффициентов равны нулю, а (г + 1)-й коэффициент ошибки отличен от нуля: Со=С»=...=С„»=0, С„=О. 8.3.1. Вычисление коэффициентов ошибки астатических систем. Для астатической системы с астатизмом г-го порядка первые г + 1 коэффициентов можно определить по формуле ТиИ»" » Сд = "„, ьс = 0,1,2,...,г.
(8.17) (» 1)ь Иначе говоря, этой формулой можно пользоваться при вычислении до первого отличного от нуля коэффициента ошибки. Покажем формулу (8.17). В соответствии с соотношением (8.15) И",(») = Т (8.18а) д» 262 Гло 8. Оценка качества дискретных систем И,;2,,) Т,~тйй Т, Т~~'Я-Й,Т, '~.(4) с~2 1 дх Т2 д(х) 2 д( ) (8 186) аИ'оз(х) Гз / адд д(х) дх с12 8 2 1'И'"д(х) з 42И'д( ) е 1И'*д(х) з ""~~'*д(х) ) (8.18г) ~ дд 212) ( ц( ц — 2И; о( ) + 1)е 2 д ( ) ( 1)~ д ( (8.22) д( ) цИедо( )+дд( ) Из этих формул следует, что первые г коэффициентов будут равны 1 нулю (Со = —, Иход(2) ~ = О, г = О, 1,..., г — 1), а г-й коэффициент ошибки не равен нулю (С, ф 0) при условии Иоо(1) — И ° (1) — 0 ~ (Ц вЂ” 0 = О, " ~ О. (8.19) с12'-' ' ах" Последнее возможно, если 2 = 1 является нулем кратности г передаточной функции И'„* (2), т. е.
возможно представление И ад(х)(21)Иед(2)~ Ид(1)~0(820) Подставим это выражение в (8.17): ТдИх* ( ) 7 д( 1) Их*о( ) (х 1) с=1 (е 1) «=1 При й ( г выражение справа обращается в нуль. Следовательно, эта формула при )с = 0,1,...,г — 1 справедлива. Покажем, что она справедлива и при )с = г. Из (8.18г) и (8.19) получаем И'о (х) ~ = Т" х" " = Т" " ~ (8.21) Продифференцируем (8.20) г раз: .д( ) .( 1)е — 1Ие 0( ) ( 1)е 'д ( ) сЬ ед + е.у. Статичесиьье ьь астатььчесиие системы 263 где 77*(з)~ = О.
Используя (8.21) и (8.22),из (8.14) имеем с„= — 'и;*„( )) = т"и '( )) =. т" и"(') Справедливость формулы (8.17) полностью доказана. П р и м е р 8.7. Задающее воздействие д = 0,51, передаточная функция ошибки относительно задающего воздействия имеет вид (е — 1Ие — 0,9) (е — 1) (е — 0,9) -е 0,.1 е — 0,95 ' период Т = 0,05. Определить установившуюся ошибку. Решение. Так как д(1) =0,5, д(1) = д'(1) =...=О, д(1Т) = 0,5!Т д(ЕТ) = 0,5 д()т) = 9~ОТ) = = О, то и установившаяся ошибка е 11Т) = Сад[1Т) + Сьд(1Т) = Со0,51Т+ Сь 0,5 Найдем коэффициенты ошибки Се и Сь.
В соответствии с формулами (8.14) и (8.15) С, И-* (,) ~ (е — 1)(е — О 9) О (е — 1)(е — 0.,9) + 0,1 е — 0,95 ь=ь Так как Се = О, то Сь можно определить по формуле (8.17): ТИ"„*д(е) Т(е — 0,9) е — 1 е=ь (е — 1Ие — Оь9) + 0,1 е — 0,95 е=ь Установившаяся ошибка есть е, 11Т) = — 0,118 0,5 = — 0,059. 8.3.2. Структура астатических систем. Как было показано выше, система обладает астатизмом г-го порядка, если передаточная функция ошибки И'; (е) может быть представлена в виде И ед(з) (е 1) И ед (е)ь И"ед (1) Ф О' Так как передаточная функция ошибки имеет вид И" з ед( ) 1+И*( где И'*(е) передаточная функция разомкнутой системы, то она может быть представлена в указанном выше виде, если передаточная функция И'*(е) имеет вид и"(.) = ~ ('), и"'(Ц~о, и'(1) < .
(8.23) 264 Глн В. Оценка качества дискретных систем ннч 11) Рис. 8.3. Структурная схема дискретной системы Пусть дискретная система состоит из дискретного фильтра (регулятора) и приведенной непрерывной части 1рис. 8.3) Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид И'*(х) = И"(х)И'„*(х), где И „*(х) = гт(ИФ(в)И.Ю).
Система будет астатической, если И'*(х) или И'„'1х) включает 1 МНОжИтЕЛЬ . ТаК КаК 2т е — 1 =, ПЕрЕдатОЧНая фуНК- х — 1 ция И„*1х) будет содержать указанный множитель, если непрерывная часть 1т.е. Иг„(в)) включает интегрирующее звено. Здесь важно, чтобы непрерывная часть, а не приведенная непрерывная часть, включала интегрирующее звено.
Это связано с тем, что множитель х — 1 в знаменателе И,*,(х), который появляется из-за интегрирующего звена в формирователе, сокращается с аналогичным множителем, появляющимся в числителе. Например, при фиксаторе нулевого порядка передаточная функция — т, формирователя имеет вид Исф(в) =, и И*(х) =г (' ' "И„(в)) =' 'гт(-'И„(в))~ Как видим, в этом случае появляется множитель х — 1 в числителе, который сокращается с таким же множителем в знаменателе, появляющимся из-за множителя 1/в в передаточной функции приведенной непрерывной части. Как увидим дальше на примере, то же самое происходит, когда передаточная функция формирующего звена имеет вид И'ф1в) = 1 — е Итак, дискретная система (см.
рис. 8.3) будет астатической, если передаточная функция дискретного фильтра (регулятора) включает множитель 1Дх — 1) или непрерывная часть содержит интегрирующее звено. Порядок астатизма системы равен сумме числа интегрирующих звеньев в пепрерь|вной части и показателю степени х — 1 в знаменателе дискретного фильтра. Пример 8.8. Пусть 1см. рис. 8.3) 1 И" 1х) = й, Игф(в) =, И'„(в) =— Показать, что данная система является статической. 265 Задачи Решение. Найдем передаточную функцию разомкнутой диск- 1 ретной системы. Положим И'о[з) = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
