Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Исп(в) = И'ф(в) . И'„(в) = в(в+ Ц и передаточная функция разомкнутой дискретной модели-- [и (в 1) Ь й в)(1 с г т " ( ц( -т) Приняв е т = е ед = 0,9, получим 0,1 (/с (в — 1) -~- Ь,с) св — 1,9 в -Ь 0,9 Передаточная функция замкнутой системы (см. рис, 9.Ц имеет вид И'*(в) Ьсв+ Ь| 1 + И'*(в) асвв + а~ в+ ав ' где Ье = 0,1(й„+ й,), Ьз = — 0,1й„, ао = 1, аз = 0,1(й„+ йс) — 1,9, аз = 0,9 — О,Ип. Условие окончания переходного процесса за конечное число шагов (8.10) принимает вид аз = 0.1 (Йп + Йс) — 1,9 = О, аз = 0,9 — 0,1 Й„ = О. Отсюда й„= 9 и й, = 10. 9.3. Метод иолиномиальных уравнений Рассматривается задача синтеза при произвольной (нефиксированной) структуре в следунзшей постановке.
Задана передаточная функция приведенной непрерывной части И~„(в) и известна дискретная передаточная функция неизменяемой части И „'(в) = г ,'И и( )). Известна также желаемая передаточная функция И" (г). Требуется синтезировать регулятор,при котором передаточная функция И'„* (в) синтезированной системы (см. рис. 9.Ц была бы равна желаемой: (9.2) Разрешив это тождество относительно передаточной функции регулятора,получим (9.3) 273 9.3. Метод нолиномиальньж уравнений Здесь Р,'(я), Ц,"(я) полиномы, нули которых расположены внутри единичной окружности; Р„*(з), Я„*(з) полиномы, нули которых расположены на и вне единичной окружности.
Подставим полученное выражение для И'„*(я) в (9.3): И,.( ) Я."(я)Я."( ) УУ" (л) Р„'ЯР„"(,е) 1 — И'„"(е) ' (9.4) Как отмечалось, для того чтобы синтезированная система была грубой, передаточная функция регулятора (9.4) не должна содержать полиномы Р„'(я) и Я*„(з), содержащие нули вне единичной окружности. 11о, как это следует из (9.4), для этого нужно, чтобы И'*(з) включало полипом Р„*(з), а 1 — И'*(з) полипом Я„*(з), т.е.
желаемая передаточная функция должна удовлетворять соотношениям Р„'ЯМ*Я С*(л) (9.5а) Я,*й я)1~'(ейе — Ц' С'(е) (9.5б) где М*(я) и Я*(я) " неопределенные полиномы; С*(з) — . знаменатель желаемой передаточной функции, т. е. характеристический полипом синтезируемой системы; множитель (я — 1)" вводится для обеспечения требуемого порядка астатизма. 18 Л.П. Кнм При синтезе регулятора нужно позаботится о том, чтобы он был физически осуществим и синтезированная система была грубой. Условие физической осуществимости регулятора, состоящее в том, что следствие не может предшествовать причине, может быть сформулировано следующим образом: весовая функция регулятора равна нулю при отрицательных аргументах илн степень числителя его передаточной функции не превышает степень ее знаменателя.
При определении передаточной функции регулятора по формуле (9.3) синтезированная система будет негрубой, если передаточная функция неизменяемой части содержит нули или полюсы вне единичного круга, и они входят в передаточную функцию регулятора. В этом случае при вычислении передаточной функции разомкнутой системы указанные нули и полюсы сокращаются., если регулятор реализуется точно в соответствии с (9.3). Однако при малом изменении параметров регулятора указанные нули и полюсы могут не сократиться. Тогда разомкнутая система становится неустойчивой, что может привести к неустойчивости и замкнутой системы.
Разложим числитель и знаменатель передаточной функции неизменяемой части на два множителя, один из которых содержит нули внутри единичной окружности, другой на и вне единичной окружности: Р*Я Р,*ЯР„'Я 1)*(е) 12:(л)ее*( ) 274 Гл. з. Синтез дискретнвт систем Исключив И" (я) из (9.5), получим полиномиалвное уравнение Р„'(з)М*(я) + Я„"(з)М'(е)(е — Ц" = С" (я), (9.6) откуда определяются полиномы М*(е) и №(е). Подставив (9.5а), (9.56) в (9.4), находим Я„*(з)М*(е) (9. 7) Р,*(з)1У*(е)(з — 1)' Обозначим степень произвольного полинома Л,*(з) через пн,.
Тогда условие физической осуществимости регулятора из (9.7) можно записать в виде пез, +пм < пр. +пк+г. (9.8) Полиномиальное уравнение (9.6) разрешимо, если число неизвестных (коэффициентов полиномов М (я) и № (з) ) не меньше числа уравнений, получаемых приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях в уравнении (9.6).
И так как число неизвестных равно (пм + 1) + (пм + 1), а чигло уравнений пц + 1., условие разрешимости полиномиального уравнения принимает вид им+ пк+ 1 ) по. (9.9) В (9.5б) степени полиномов числителя и знаменателя равны. Поэтому из его правой части имеем поз = псь + им + г, откуда пн = поз — геев, — г. (9.10) Объединяя условие физической осуществимости (9.8) и условие разрешимости (9.9), с учетом (9.10) получим пг1„+ г — 1 < пм < пр, + и — пгз, (9.11) где пг7 = пез„ + пгз„ -- степень знаменателя передаточной функции неизменяемой части. Таким образом, условия физической осуществимости регулятора и разрешимости полиномиального уравнения будут выполнены, если степени полиномов М*(з) и №(з) удовлетворяют соотношениям (9.10) и (9.11).
Из условия (9.11) получаем, что степень характеристического полинома синтезируемой системы должна удовлетворять неравенству поз > пг1„+ г + пг1 — 1 — пр„. (9.12) Хотя вначале мы предполагали, что желаемая передаточная функция известна, в действительности она не может быть выбрана заранее (см. (9.5а)). Порядок синтеза системы управления методом полиномиальных уравнений можно сформулировать слецующим образом.
1. Разложить полиномы числителя и знаменателя передаточной функции неизменяемой части на два множителя, один из которых име- 275 9.у. Метод полиномиольньж уравнений ет нули внутри единичной окружности, другой --. на и вне единичной окружности. Если указанные полиномы нс имеют нулей на и вне единичной окружности, то положить Р„*(я) = 1 и 1„1*„(з) = 1; если они не имеют нулей внутри единичной окружности, то приравнять Р,*(з) и (,),*(я) постоянному множителю этих полиномов.
2. Исходя из требований к качеству синтезируемой системы в переходном режиме и порядку астатизма выбрать характеристический полинам синтезируемой системы С*(з) и число г. Степень полинома С'(з) должна удовлетворять условию (9.12). 3. Из соотношений (9.10) и (9.11) определить степени неопределенных полиномов М*(я) и №(я) и записать их с неопределенными коэффициентами. 4. Подставить полученные неопределенные полиномы в полиномиальное уравнение и определить их коэффициенты. 5. Подставить найденные полиномы ЛХ'(я) и № (я) в формулу для передаточной функции регулятора (9.7). Пример 9.3.
Передаточная функция неизменяемой части И';,(з) = 1 , . Требуется синтезировать регулятор, при котором статичесе — 0.5 кая ошибка равна нулю и переходный процесс заканчивается за конечное число шагов. Решение. В данном случае Р'Я = 1, Ц'(я) = я — 0,5 и соответственно Р; Я = Р„'Я = 1, Ц;(я) = е — 0,5 и Я„*(я) = 1. Степени полиномов пр — — пр — — О, п 2 — — пг2 — — 1 и пΠ— — О.
Так как статическая ошибка должна быть равна нулю, положим г = 1. Условие (9.12) принимает вид па > 1. Положим па = 1. И чтобы переходный процесс закончился за конечное число шагов., полагаем характеристический полинам С*(я) = я. Условия (9.10) и (9.11) принимают вид пм — — О, 0<ам(0. Поэтому полагаем ЛХ*(я) = Ьо и №(з) = ао. Подставив их в полиномиальное уравнение (9.6), получим Ьо + ао1я — 1) = ж Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, находим ао=1; Ьо=ао=1.
Следовательно, М'(я) = 1 и №(г) = 1. Подставив эти выражения для М'(я) и №(я), а также выражения для Р,*(я) и Я,*(я) в (9.7), получим искомое решение е — 0,5 Пример 9.4. Передаточная функция неизменяемой части И'„'(я) = л -ь 2 . Требуется синтезировать регулятор, при котором 1В" 276 Гль 9. Синтез диснретнм» систем статическая ошибка равна нулкз и переходный процесс заканчивается за конечное число шагов. Решение. В данном случае Р'(») = »+ 2, Ц*(») = (» — 0,5)(»вЂ” — 1,5) и соответственно Р,"(») = 1, Р„'(») = »+ 2, Ц;(») = » — 0,5 и Щ(») = » — 1,5.
Степени полиномов; пр — — О, пр — — 1, пΠ— — 2, псз =1 и пя„=1, Так как статическая ошибка должна быть равна нулю, положим т = 1. Условие (9.12) принимает виц поз > 1 + 1 + 2 — 1 = 3. Положим поз = 3, и для того чтобы переходный процесс закончился за конечное число шагов, полагаем характеристический полипом С*(») = »з. Условия (9.10) и (9.11) принимают вид пм = 1, 1 <»ем < 1.
Поэтому полагаем Лз*(») = Ьо»+ Ь1 и №(») = ао»+ аз. Подставив их в полиномиальное уравнение (9.6), получим (» + 2) (Ьо» + Ьз ) + (» — 1,5)(ао» + аз ) (» — 1) = »з, или, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, ао»з + (Ьо — 2 5 ао + аз)»з + (2Ьо + Ьз — 2 5 аз + 1 5 ао)» + + 2Ь| + 1,5 аз — — »з. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, находим ао = 1, Ьо — 2,5ао+аз = О, 2Ьо+ Ь1 — 2,5аз +1,5по = О, .251+ 1,.5а~ = О. Решив эту систему, получим ао = 1, аз — = 1,24, Ьо = 1,26, Ьз — = — 0,93. Следовательно, ЛХ*(») = 1,26» — 0,93 и №(») = »+ 1,24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
