Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Лля п = 1,2,3 имеем; п = 1: со — — ао — аы се — — ао -Ь аг,' (7.10а) и = 2: со = ао — а~ + аз, сз — — 2(ао — аг), сз — — ао + а~ + аз, (7.10б) п = 3; со — — ас — аз + аз — аз, сз — — 3(ас + аз) — аз — аз, сз — — 3(ас — аз) +а~ — аз, сз = ос+ аз +аз+аз (7.10в) В силу утверждения 7.1, если корни исходного характеристического уравнения располагаются внутри единичного круга, то корни преобразованного характеристического уравнения (7.9) располагаются в левой полуплоскости. Таким образом, для того чтобы дискретная система была устойчива, необходимо и достагпочно, чтобы есе корни преобразованно- 240 1 л.
7. Устойчивость 0искретньит систем го характеристического уравнения (7.9) располагались в леоой полуплоскости (имели отрицательную вещественную часгаь). П р и м с р 7.3. Характеристический полинам дискретной системы управления имеет вид з 0~1г 046г 008 Определить ее устойчивость. Решение. В данном случае ао = 1, аг = -0,1, аг = -0,46, аз = -0:08 и в соответствии с (7.10в) коэффициенты преобразованного уравнения равны св = ав — аг + аг — аз = 1 + 0 1 — 0 46 + 0,08 = 0 72 сг = 3(ао -Ь аз) — аз — аг = 3(1 — 0,.08) + 0,1 -е 0,46 = 3,32, сг = 3(ав — аз) + аз — аг = 3(1 + 0,08) — 0,1 + 0,46 = 3,6, сз = ао + аг + аг + аз = 1 — 0,1 — 0,46 — 0,08 = 0,36.
Необходимое условие устойчивости выполняется: все коэффициенты преобразованного характеристического уравнения больше нуля. Определитель Гурвица 2-го порядка есть г3г = сгсг — сосз = 332 3,6 — 0,72'0,36 = 11,69) 0 Следовательно, система устойчива. 7.2.3.
Критерий устойчивости Джури. Составим таблицу Лжури, которая содержит и+1 строк и столько же столбцов. При этом заполненные клетки имеют треугольную форму: нулевая строка содержит п + 1 заполненных клеток, а все последующие строки имеют на единицу меньше заполненных клеток, чем предыдущая строка (табл. 7.1).
Таблица 7.1. Таблица пожури Клетки нуловой строки заполняются коэффициентами характеристического уравнения в порядке возрастания нижних индексов: две = = ая (к = О, 1,..., и). Элементы первой строки ды (к = О, 1,..., п — 1) вычисляются следующим образом. Выписываются элементы нулевой строки и под ними те же элементы в обратном порядке. Из элементов верхней строки вычитаются со- 7.й Алгебраические критерии устоачивости 241 ответствующие элементы нижней строки, умноженные на отношение послеДних элементов ДвУх выписанных стРок ск1 = до„,адов = а„/ао.
ао аэ ао1 ао а а„ао 1 ... а1 аоа1 =— ао дщ — — ао — а,ао, д11 — — а1 — о1ао 1, ..., д1 о 1 — — аи, — аса1. Последняя разность обращается в нуль, и она отбрасывается. Поэтому первая строка содержит и элементов: на один элемент меньше, чем нулевая строка.
Элементы всех последующих строк определяются аналогично элементам первой строки. Так, например, для вычисления к-й строки выписываются элементы (к — 1)-й строки и под ними те же элементы в обратном порядке. Из элементов верхней строки вычитаются соответствуюсцие элементы нижней строки, умноженные на отношение последних элементов выписанных двух строк оь = с1.-1, -ьз.1/сь-16. Последняя разность, обращающаяся в нуль, отбрасывается.
Формула для вычисления 1-го элемента к-й строки (к = 1, 2,...., и) имеет вид сы =се — 1 — аьсь 1о ь,мэ, 1с=1 2 и 1=0,1 и — й (711) Критерий Джури (Е.1. Опту ~19]). Для того чтобы все нули '1 корни) характеристического полинома (г'1г) = асяс+ асса +... + а„ нсисодились внупсри единичного круга,. необходимо и достаточно, ппобы при ао > 0 все элементы нулевого стполбца таблицы Джури были положительны: до, > О, 1 = 1,2,...,и. Если все элементы нулевого столбца, кроме последнего, положительны: до, > О, 1 = 1,2,...,и.
— 1, то положительность последнего элемента, т, е, условие доо > О, эквивалентно необходимому условию устойчивости 17.5). Поэтому если необходимое условие выполняется, то последний элемент доо можно не вычислять. Пример 7.4. Характеристический полинам дискретной системы управления имеет вид сг*1г) = х~ — 0,7 г~ — 0,4 з~ + 0,05 х + 0,1. Исследовать устойчивость данной системы. Решение. Сначала проверим необходимое условие устойчивости: Я*(1) = 1 — 0,7 — 0,4+ 0,05+ 0,1 = 0,05 > О, ( — 1)461*( — 1) = 1+ 0,7 — 0,4 — 0,05+ 0,1 = 1,35 > О, Необходимое условие устойчивости выполняется. Вычислим элементы таблицы Джури.
Для нулевой строки имеем соо = 1, со1 = -0,7; соз = — 0,4, соз = 0,05, со4 = 0,1. 16 Л.П. Ким 242 Гл. 7. Устойчивость дискретных сислпем Ниже приводится вычисление элементов таблицы пожури для остальных строк, кроме последней: 0,05 0,1 — 0,7 1 — 0,7 0,05 — 0,4 — 0,4 1 0,1 0,99 -0,705 -0,36 0,.12 0,12 -0,36 — 0,705 0,99 . оз = 0,121 0,975 -0,69 -0,275 з = -0;282 0,897 — 0.883 Элементы нулевого столбца (кроме последнего) равны соответственно соо = ао = 1, с1о = 0,99, сзо = 0,975, сзо = 0,897, и они положительны.
Так как выполняется необходимое условие ус- тойчивости, последний элемент нулевого столбца также будет поло- жительным. Следовательно, система устойчива. 7.3. хтастотный критерий устойчивости Рассмотрим полинам, который получается из характеристического полинома (,1'(г) при подстановке в него г = е'т: Не в; = — !и )г,! < О, з = 1, 2,...,п. 1 т (7.14) Таким образом, для того чтобы дискретнав система была устойчава, необходимо и досгпагпочно, чтобы все корни ее характперисгпического уравнения в Р-изображаниях расположилнсь в левой в-полуплоскости.
В силу равенства г = фей "в-' = фаей' в =а" з"'~ (й = О, х1, х2, ), если г; является корнем характеристического уравнения Ц" (г) = О, се(в) =(г*1г)~с.-,.т =аое'т" +а,е~" От" +...+а„. (7.12) Этот полинам является характеристическим полиномом в Р-изображениях. Установим, какими должны быть нули (д(в) (т, е, корни характеристического уравнения 1.,)1в) = 0 в Р-изображаниях), чтобы система была устойчива. Представим переменную г в виде з = фезык'. Подставив это выражение в г = е'т и прологарифмировав, получим в = — (!пф+уагйг). 1 т (7.13) Так как 1п ф < 0 при ф < 1, то условие устойчивости дискретных систем (г;! < 1 (1 = 1, 2,..., тс) принимает вид 243 7.о.
Частотный критерий устойчиоости то число в, = — ((1п ~2 ~ + у(аг82, + й 2п)] 1 будет корнем характеристического уравнения в Р-изображениях при любых й = О, х1,х2,... Иначе говоря, характеристическоеуравнение в Р-изображениях имеет бесконечное множество решений. Корни в,, у которых мнимая часть 1швг Е ( — я/Т, я/Т), будем называть основными корнями характеристического уравнения в Р-изображениях. Число основных корней равно степени характеристического уравнения. Так как неосновные корни отличаются от соответствующих основных только мнимой частью, для исследования устойчивости достаточно рассмотреть только основные корни.
7.3.1. Принцип аргумента. Ясли Й основных нулей харантерисгпичссного полинома Г,)(в) = аое.т.+агег.-ггт. + . +по агйфуа2) = 2нп, — о,г2< г<о„д2 (7.15) а при изменении аг от О до аг„/2 ровно Ьг: аг80(уго) = йя. 0<я<о 72 (7.16) Доказательство. Пусть 22,22,...,2„нули характеристического полинома Я'(2), а вг, вз,..., в„нули характеристического полинома Ц(в). Тогда эти полиномы можно представить в виде про- изведения Я (2) = ае(2 — 22)(2 — 22) .
(2 — хо) (7.17) Г)(2ГО) = аа(ез — Етн )(Ей"' — Е "т)... (Ез" — Ео" т). (7.18) При ~2~ = 1, положив в (7.13) ь = уго, получим аг82 = ыТ, и соот- ветственно 2 можем представить в виде ~г~сзссяс Еоот Этот вектор при изменении аг от — аг„/2 до аг„/2 делает на 2-плоскости полный оборот в положительном направлении (против движения часовой стрелки), и его конец описывает окружность единичного радиуса. При этом вектор 2 — 2, (2 = еоот) делает полный оборот относительно конца вектора 2, в положительном направлении, и изменение его аргумента равно 2я (рис.
7.1, а), если ~2;~ < 1, и изменение расположены в левой полуплоскости, а остальные и — й основных нулей в правой полуплосности, то прирагиснис агбЯОаг) при изменении аг от — аг„/2 до ого/2 (аг„= 2х/Т) равно 2Ьг: 244 Гль 7. Устоцниввсть биснретньт систем Рис. 7.1. К доказательству принципа аргумента: ~с,~ < 1 (а) и ~е,~ > О (б) аргумента этого вектора равно нулю, если ~з,~ > 1 (рис. 7.1, б). Поэтому (см.
(7.17)) аг61)*(ед ) = ~~ Ь ахК(еу 'т — зь) = 2йвг, — л„,/3< «а„/2 — и„/2< < „/2 если Й нулей полинома Я*(з) находятся внутри Единичного круга, а остальные п — й вне единичного круга. И так как Вез; < О при ~з,) < 1 и Вез, > О при ~з,~ > 1, изменение аргумента 1ьь(~ю) (см. (7.18)) определяется следующим образом: Ь агб()Оьс) = ~ Ь агр,(е'"т — е"т) = 2 ля, — л„/2<ля ~ /2 1 — ' !2<' дл !з е=1 если й основных нулей характеристического полинома я(в) = ц'(ест) расположены в левой, а остальные и.
— Й основных нулей — в правой в-полуплоскости. Теперь покажем справедливость формулы (7.16). Так как еД = сов х — у з1п я, функция 1,)( — уьс) = ь',)'(е ' т) является комплексно- сопряженной функции ьЗоы) = ц'(ев т ). Аргументы комплексно-сопряженных функций отличаются только знаком: Отсюда следует, что агк акоев) = 1)ь агк Я1Оьи, ) — л /2< ~<0 0<л<ьь,/2 и из (7.15) получаем (7.16). 7.3.2.
Критерий Найквиста. Для исследования устойчивости дискретных систем можно использовать также критерий Найквиста (точнее, его аналог). Как и в случае непрерывных систем, он используется для определения устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике ее разомкнутой системы. 7лй Частотный критерий устой ~ввести 245 Пусть передаточная функция дискретной системы управления в разомкнутом состоянии имеет вид И,(,) И~( Вт гз) Л(в) где Р(в), Л(в) полиномы от е'т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
