Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 39
Текст из файла (страница 39)
П р и м е р 6.6. Определить Ят-изображение и Ятс-изображение 10 функции Х(з) = зг(зг + з + Ц Решение. Функция имеет один кратный (кратности 2) полюс зг г —— 0 и два. комплексных полюса. Найдем Х" (г) и Х*(з,с), разложив Х(з) на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов: 10 А В Сзг-сг — — + — + зг( г Ьз+Ц г, зг~зз с1 (В + С) зг -Ь (А + В + В) зг -Ь (А + В) з -~- А зг( г+ з+ Ц Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, а затем решив полученную систему уравнений, найдем А = 10, В = — 10, 214 Гл.
б. Математическое описание дискретных систем С = 10, В = О. Следовательно, во[во -~- в -'г 1) 1вг в вг -~- в+ 1) Преобразуем правую часть к табличному виду: . +о а 1г 1 зГЗ вг + в + 1 [в -Г а)г + ~Зг 13 1в + о) г + Дг ' 2 ' 2 Подставив это выражение в предыдущее равенство, произведем Хте-преобразование; Хте( г[,г+, 1)) =101Хг( —,г) Хт( —,)) + +101Хт([ + )г+ де) ~ Хт([,+ )г+бг)) После подстановки соответствующих изображений из табл.
6.2 и преобразований, получим 10тх[1 — 1)(е — — ) -Г 1~ Х'(х,е) =, Т + 10хе еа [х сов с)дТ вЂ” е сов 11 — е)дТг + хг 2хе ат сов11Т+ е гат 10хе -"т — [хв1пе1дТ вЂ” е "т в1п11 — е)6Т1 хг — 2хе тсов1гТ+е г т Положив е = О, находим 10Тх[1 — — 1х — 1)1 10х[в — е '"г сов цТ+ — е "г в1п~3Т1 1 — 1)г — — .6Т+ Вычисление Х -изображения и Х;,-изображения огп ориаинала, внлючанпцеео ввножитаель е ™.
Пусть оригинал имеет вид У[в) = е вХ(в), где Х1в) дробно-рациональная функция; Х1в) = В(в)/А1в). В этом случае для У'(х) имеем: а) при 1к — 1)Т < т < 1еТ У'1х) = Хт(е "Х1в)) = х вХ'(Х1в)1 = х вХ*1хге), 16.43) где е = й — т1Т; б) при т ее ЬТ У1х) = Хт(е ' Х[в)) = х 'Хт(Х1вЯ = х-'Х*[х). (6,44) 6.5. Вычисление передаточных фунниий АИМ-сисепелсы 215 Формула (6.43) получается следующим образом. По определению оператора Хт его применение соответствует последовательному выполнению трех следующих операций: обратное преобразование Лапласа, квантование по времени с периодом Т и х-преобразование.
Выполним сначала обратное преобразование Лапласа. Тогда по теореме запаздывания (свойство преобразования Лапласа) получим — 1сс — тлХсе)~ хс1 т) Палее, выполним квантование по времени с периодом Т, т. е. сделаем подстановку 1 = 1Т. Полученную таким образом функцию х11Т вЂ” т) представим в виде х "1 à — т) = х)1Т вЂ” кТ + кТ вЂ” т) = х~(1 — Й -~- с1Т), с = Й вЂ” —. Т И, наконец, произведем х-преобразование.
При этом по теореме запаздывания (свойство х-преобразования) получим Х(х~(1 — 1+с)Т1) = х ьХ'(х,е). Это и есть Хт-изображение функции У1с), что доказывает формулу (6.43). Формула (6.44) получается как частный случай из (6.43) при с = О. Пример 6.7. АИМ-элемент вырабатывает прямоугольные импульсы длительности т„= 0,1 с периодом Т = 0,2 и амплитудой (высотой) А„= 1, Передаточная функция непрерывной части Ит„(с) = 10 с+1 Требуется определить дискретную передаточную функцию И'„*(х). Решение. Найдем сначала передаточную функцию приведенной непрерывной части.
Так как передаточная функция формирующего звена Иф(е) передаточная функция ПНЧ имеет вид 10<1 — ОЛ е) Ит„(е) = Итф(с)Ит„1с) = е(е+ 1) или Ит„(е) = (1 — с ' ')Ито(е); В(е) 10 где Ито(с) =— А(е) с(е + 1) Лискретная передаточная функция И'„'(х) = ХтЯп1з)) = Хт1Ио(е)1 — Хт1с "еИо(е)). т 0,1 Вданномслучае т=0,1 (0<т<Т), 1=1 и с=1 — — =1 — — ' Т 0,2 = 0,5. Поэтому (см. (6.43)) Ит 1х) = Иго(х) х Ито(х:с) 216 Гл. 6. Маьненатн ьсснос отьсанььс днскретньь» тьстсм Полюсами И'о(а) являются зь = 0 и аз = — 1, производная Аь(з) = = 2з -~- 1.
В соответствии с 16.41) и 16.42) 10» 10» )т Е-О,Ь ь 10» О ь 10» = — — е 1 ' » с Ол' Иго*(») = ХтЯо(,з) И'о (»: е) = Ит» '1 И'О '2 а) ) Следовательно, 10» 10» 10 Иго (») с — О.г 10 10( -О ь -О 2) +е » — с — 0,2» — е 0,2 6.6. Цифровые системы управления В связи с бурным развитием микроэлектроники и микропроцессоров цифровые вычислительные устройства находят все большее применение при разработке управляющих устройств. Поэтому в настоящее время цифровые системы управления широко распространены. Если цифровое устройство оперирует с числовым представлением со значительным количеством разрядов, то квантованием по уровню можно пренебречь.
И системы управления с такими цифровыми устройствами можно рассматривать как АИМ-системы. Цифровая система управления (ЦСУ) включает объект управления (ОУ), чувствительные элементы (ЧЭ), аналого-цифровой преоб- [ ) . ОА~""'~ ОУ~~'" Рис. б.б. Функциональны схема ЦСУ разователь (АЦП), цифровое вычислительное устройство (ЦВУ) и цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП) (рис. 6.8).
АЦП преобразует аналоговый сигнал в цифрой, а ЦАП цифровой сигнал в аналоговый. ЦВУ выполняет все необходимые вычисления в соответствии с заданным алгоритмом управления. Если пренебречь квантованием по уровню, цифровую систему управления можно представить в виде блок-схемы 1рис. 6.9), состоящей Рис, б.9, Блок-схема ЦСУ из прерывателя, дискретного фильтра (ДФ), фиксатора нулевого по- рядка (ФНП) и непрерывной части (НЧ).
217 6.6. Циузревмс спстсам упраолеяаа Рнс. 6.10. Эквивалентная структурная схема ЦСУ этой схеме И'„"1Е) передаточная функция 1в операторной форме) дискретного фильтра 1регулятора), Иг„(р) -- передаточная функция ПНЧ. Передаточная функция 1в изображениях Лапласа) формирующего звена 1см.
16.33)) имеет вид -т., И'ф1э) = Поэтому передаточная функция 1в изображениях Лапласа) ПНЧ есть 1 т" И'п(з) = И'ф(з)И'.(з) = И" (з). Дискретная передаточная функция ПНЧ имеет вид И; [ ) т,()4, [ )) т ( 'л)) т ~ — тл Ж) или, учитывая формулу 16.44), ,-~)~ 1И'-1з)) я-1~ 1И'дв)) 16.45) Используя эту передаточную функцию, можно построить структурную схему дискретной модели цифровой системы управления 1рис, 6.11). Прерыватель является моделью АЦП и преобразует непрерывный сигнал е11) в дискретный сигнал е[1Т~.
В дальнейшем прерыватель в явном виде на схеме не будем указывать, принимая, что он входит в состав ДФ. Дискретный фильтр представляет собой модель ЦВУ и характеризуется дискретной передаточной функцией - - передаточной функцией регулятора. В качестве ЦАП чаще всего используется фиксатор нулевого порядка элемент, который запоминает входной дискретный сигнап на один период до прихода следующего дискретного сигнала. Таким образом, он преобразует входной сигнал, представляющий решетчатую функцию, в ступенчатый сигнал. Фиксатор нулевого порядка можно рассматривать как АИМ-элемент, вырабатывающий прямоугольные импульсы длительности Т 1относитсльная длительность 7 = Ц и с амплитудой А„ = 1.
Представив ФНП в виде эквивалентной схемы, состоящей из простейшего импульсного элемента и формирующего звена, получим эквивалентную схему цифровой системы управления 1рис. 6.10). На 218 Гл. 6. Математическое онььсанис дискзьстнььк систсм Рис. 6.11. Лискретная модель ЦСУ По этой структурной схеме передаточные функции замкнутой системы определяются по известным из теории непрерывных систем правила,м. Передаточные функции относительно входа С*(з) и выходов 1»'(з) и Е'(з) равны ( ) Ир(г)И» (г) 1 + И р (г)И *(г) П р и м е р 6.8. Лана цифровая система управления, у которой перо- 1 даточная функция непрерывной части И»и(а) =,, и цифровое лг т Зс т 2 вычислительное устройство реализует алгоритм управления, определяемый разностным уравнением и((ь + ЦТ] — и((Т] = 2е((1 + 1)Т] — е(1Т].
Требуется определить передаточную функцию данной системы относительно входа д(1) и выхода д(1) (см. рис. 6.10). Р е ш е н и е. Запишем уравнение регулятора в операторной форме. (Š— 1)и[1Т] = (2Š— 1)е]1Т]. Отсюда передаточная функция регулятора в операторной форме имеет вид И'*(Е) = и, в х-изображениях, И р (з) = И р (Е)]и Передаточная функция приведенной непрерывной части есть -т.. И»„(з) = л(аг + За + 2) Лискретная передаточная функция ПНЧ -- И„'() =г,(И„(а)~=' 'К,(,, ',, ).
Корнями полинома А(а) = а(аг + За+ 2) являются аь = О, аг = — 1, аз = — 2, и А'(а) = Зиг + ба+ 2. По формуле (6А1) 1 ( 1 г г 1 с(сг+За+2)/ 2 г — 1 г — с г 2 г — с "( )-- + -г) -г 1)г 2(г — 1)(г — с т)(г — с ьт) 219 6.7. ШИЛ1-састемм упроеления Следовательно, (е + е )(е — 1) 2[к — е' т)(к — е ет) Искомая передаточная функция замкнутой системы имеет вид И;,*(е)И'„'[е) 1 + И',",(а) И'„[е) (2к — 1)(а+ е ~)(е ~ — Ц 2(к — 1)(к — е т)[г — е эг) + (2» — 1)(а+ е т)[е т — 1)э 6.7.
ШИМ-системы управления Блок-схема ШИМ-системы управления включает ШИМ-элемент и непрерывную часть [НЧ) [рис. 6.12). Пусть ШИМ-элемент вырабатывает прямоугольные импульсы с амплитудой А„и периодом Т. На выходе ШИМ-элемента ширина мо- Рис. 6.12. Блок-схема ШИМ-системы дулированного импульса пропорциональна модулю [е[1Т[[, а ее знак совпадает со знаком входного сигнала в момент съема [рис. 6.13).
а[1 — 1Т) э[1 — 1Т) ИР 6+7 )Т Рис. 6.13. Импульсы на выходе ШИМ-элемента: е[1Т) ) 0 (а): е[1Т) < О (б) Модулированный импульс на выходе ШИМ-элемента можно представить как разность двух ступенчатых функций (рис. 6.14): з[1 — 1Т) = Аа з)6пе[1Т][1(1 — гТ) — 1[1 — [1+ 7;)Т), [6.46) где Ъ = я[е[1Т[[. [6.47) Здесь 1с. ЯвлЯетсЯ константой, УдовлетвоРЯющей неРавенствУ 1 О <;1 < —, е = зпре[1), ет с 220 Гм 6. Математическое стптиие дискретных систем е(» — »Т) А„ — А Рис. 6.14. К описанию импульса на выходе ШИМ-элемента и называется коэффициентом модуляцикь Приведенное выше условие необходимо, чтобы модулированные импульсы не перекрывались.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
