Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Поэтому на выходе АИМ-элемента имеем ь и(ь) = ~~ е[ьТ)в(ь' — ьТ), ь=о где 1 целая часть дроби 1(Т. Но так как в(ь' — ьТ) = 0 при 1 ( ьТ, последнее равенство можно записать в виде и(1) = ~ ~е[ьТ)в(1 — ьТ). ь=е В силу условия эквивалентности иь(1) = и(ь). Это тождество возможно только тогда (при произвольном е[ьТ)), когда юф(г) = в(г). Таким образом, весовая функция формирующего звена равна функции, котлорая описывает немодулированный имтьульс., вььрабатываемый импульсным элементом. Так как передаточная функция равна изображению Лапласа от весовой функции, то передаточная функция формирующего звена имеет вид И'ф( ) = Ц ф(с)) = Ь( (1)1 В качестве примера найдем передаточную функцию формирующего звена эквивалентной схемы АИМ-элемента, вырабатывающего прямоугольные импульсы. щенную решетчатую функцию е*(ь) = ~ е(ь)б(ь — ьТ), (6.30) ь=о где Т - — период выходного сигнала АИМ-элемента.
В действительности элемента, преобразующего входной сигнал в последовательность модулированных б-функций, естественно. не существует. Поэтому представление АИМ-элемента в виде указанной эквивалентной схемы следует рассматривать как математический прием. Формирующее звено (ФЗ) формирует из обобщенной решетчатой функции е*(У) сигнал, тождественно равный выходному сигналу АИМ- элемента (условие эквивалентности).
Найдем весовую и передаточную функции формирующего звена. Если юф(1) весовая функция формирующего звена, то на ее выходе иь(й) = ~юф(ь' — т)е'(т) дт = ~иьф(1 — т) ~~ е(т)о(т — ьТ) дт. о о ь=о Поменяв порядки интегрирования и суммирования и произведя интегрирование,получим б.о. Вы ~полонив передаточных фуннпий АУйл4-системы 209 В общем случае, когда длительность импульса т„= 7Т, весовая функция [см.
рис. 6.1, а) имеет вид (А„при 1~ [О, уТ], 0 при 1ф [О, уТ), а персдаточная функция т 4 (1 --т А(1 — в'') И"а[в) = ~шэЯе "а1 = (' А„е "ах = " . [6.32) В частном случае, когда А„= 1 и "у = 1, формула [6.32) принимает вид И'а[в) = [6.33) Заменив в блок-схеме АИМ-системы управления импульсный элемент эквивалентной схемой, получим эквивалентную [расчетную) Рис. 6.6.
Эквивалентные схемы АИМ-системы схему АИМ-системы [рис. 6.6, а). Формирующее звено объединяют с непрерывной частью в одно звено, которое называют приведенной непрерывной частью (ПНЧ) [рис. 6.6, б). 6.5.2. Дискретная модель АИМ-снстемы. Обозначив весовуко функцию ПНЧ через ш„(1), имеем [см. рис. 6.6, й) у[1) = /ш„[1 — т)е*[т) Йт. о Подставив сюда выражение для в*[1) из [6.30), после интегрирования получим у[1) = ~ ~ш„[1 — гТ)е[4Т), [6.34) ~=.о Из этого уравнения следует, что выходная переменная у[х) зависит от в[оТ), т. е.
от значений в[о) в дискретные моменты времени 1 = чТ. Для е[(Т) имеем в[(Т) = д[4Т) — у[оТ). [6.35) В любой момент времени АИМ-система описывается уравнениями [6.34) и (6.35). В уравнение [6.34) входят непрерывные функции [функции с непрерывными аргументами) у[1) и ш[1), а также дискретная функция е[гТ). В уравнение [6.35) входят только дискретные функции. Таким образом, АИМ-система представляет собой непрврывно-дискретную систему.
И то, что она описывается уравнениями, в 14 Л.П. Ким 210 Гл. 6. Математическое оннсаньье дискретнььк сльстем которые входят дискретные и непрерывные функции, доставляет неудобство. От этого неудобства можно избавится, если ограничиться исследованием АИМ-системы только в дискретные моменты времени 1 = 1Т. действительно, подставив в (6.34) 1 = 1Т, получим у[1Т] = ~~ ш„[(1 — ь)Т]е[ьТ], ь=а или, учитывая, что и а[(1 — ь)Т] = 0 при 1 — ь < О, у[1Т] = ~~ь иь„[(1 — ь)Т]с[ьТ]. (6.36) ь=а Уравнения (6.35) и (6.36) описывают процессы в АИМ-систсме в дискретные моменты времени и представляют ее дискретную модель.
Как увидим дальше, по дискретной модели при необходимости можно определить значения выходной переменной у(1) не только в моменты времени 1 = 1Т, но и в произвольные моменты 1 = (1 + е)Т (0<с< 1, 1=0,1,2,...). Произведя з-преобразование, из уравнений (6.35) и (6.36) получим Е'(е) = С'(з) — У*(я), (6.37а) У'(з) = И'„(е)Е'(е), (6.376) где И „"(я) = Хьи а[(Т]э).
(6.38) Уравнение (6.376) получено с использованием теоремы о свертке (см. выражение (6.23)). Из уравнения (6.376) имеем И'„*(з) =, т.е. И'„'(я) есть пере- У*(е) даточная функция (в е-изображениях) прямой цепи с входом е[1Т] и выходом у [1Т]. На основании уравнений (6.37а), (6.376) можно построить структурную схему дискретной модели АИМ-системы (рис. 6.7). Переда- С'(е) Рис. 6.7. дискретная модель АИМ-системы точная функция замкнутой дискретной системы по этой структурной схеме определяется так же, как и в случае непрерывных систем. Так, например, передаточная функция относительно входа С*(з) и выхода У*(я) имеет вид 6.5.
Вычислснис передаточных функчиа АИМ-сасдасиы 211 а относительно входа сд'[х) и выхода Е'[х) И'* х од[ ) 1+И, с Основная особенность расчета АИМ-системы состоит в вычислении передаточной функции И'„'[х) по известной передаточной функции ПНЧ И'„[д), равной произведению передаточных функций формирующего звена и непрерывной части. Согласно формуле [6.38) И'„'[х) есть х-изображение весовой функции ПНЧ ю„~1Т]. Весовую функцию ш„[1Т] можно получить путом дискретизации по времени непрерывной весовой функции т„[с), которая получается из передаточной функции Ига [с). Зная связь между изображением Лапласа непрерывной функции и х-изображением соответствующой решетчатой функдии [см.
табл. 6.1), можно непосредственно по Ис„[д) определить И'„*[с). Введем в рассмотрение оператор Хт, который каждой функции Х[з) = Ь(х[с)) ставит в соответствие функцию Х*[х) = У(х[ЕТ]): Х*[ ) = Ут(Х[а)). Оператпор Хт соответствует трем последовательным операциям: обратному преобразованию Лапласа, квантованию по времени и г-преобразованию.
Так как все три указанные операции являются линейными, то оператор Хт является линейным. Используя этот оператор, передаточную функцию И„*[х) можно определить следующим образом: И'„*[х) = Хт(И'п[з)). [6.39) Далее также будем использовать оператор Я', который функции Х[д) = 1 (х[Г)) ставит в соответствие модифицированное я-изображение Х [х,е) = а(х[[) + е)Т]): Х*[г,г) = Я~(Х[д)~. [6.40) 6.5.3. Вычисление Ут-изображения и И;-изображения. Для получения дискретной модели [см. рис. 6.7) по эквивалентной схеме АИМ-системы [см.
рис. 6.6, б) необходимо определить дискретную передаточную функцию И'„'[х), для чего в соответствии с формулой [6.39) нужно произвести ат-преобразование передаточной ПНЧ. По аналогии с х-преобразованием в Ят-преобразовании Х [х) = от(Х[а))1 и в с тс-преобразовании Х'[., ) = г;(Х[з)( Х[з) будем называть оригиналом, Х" [х) .. Ят-изображением и Х'[х, г)-изображением или модифицированным г тгизображснисм. Я, -изображение и Ит-изображение от основных функций можно найти соответственно в табл.
6.1 и табл. 6.2. 212 Гл. 6. Маьнематььнеское онцсаньье. дискретных систем и Х'(х)=Ят( ())=" ь=з (6.41) Х (г е) — Хт(, ) = ~ ~" е"*т, (6.42) ь=ь * где А'(з,) = ь1з Формула (6.41) получается из (6.42) как частный случай при е = О. А формула (6.42) получается следующим образом. По формуле разложения имеем В(з) ~ В(з,) 1 А(з) ~-~ А'(з,) з — з, ' ь=ь Учитывая свойство линейности оператора лт, имеем ;( (з)) =Е,",;,',ае(, ',) (з) По табл. 6.2 (строка 4) находим уе( 1 ) еет Подставив это выражение в предыдущее соотношение, получим (6.42). Пример 6.4.
Передаточная функция ПНЧ имеет вид Их„(з) = й Требуется найти дискретную передаточную функз(з -Ь о) цию И'„* (я ) . Решение. Полюсами данной передаточной функции (т.е. корнями уравнения А(з) = з(з+ о) = 0) являются зь = О, зз = — а. Производная А'(з) = 2з+ а. Поэтому по формуле (6.41) имеем Й е Й х /се(1 — е ) и о е 1 о е е,т а(х 1)(е е т)' Если Х(з) = В(з)/А(з) содержит кратные полюсы, то изображения Х'(з) и Х (я, е) можно получить, .разложив Х(з) на элементарные дроби. В простых случаях можно введением малых параметров видоизменить функцию Х(з) так, чтобы она не содержала кратных Вычисление е., -изображения и е т-изображенььи от дробно-рациональной функции.
Пусть оригинал имеет вид Х(з) = —, В(з) А(з) ' где В(з) и А(з) полиномы от з степени т и ьь соответственно, причем гл ( н. Если все полюсы з, (ь, '= 1, 2,..., и) данной функции (т.е. корни уравнения А(з) = 0) различны, то 6.5. Вы гислсние передаточных функций АйМ-сггсгпегсы 213 полюсов, и воспользоваться формулами (6.41) и (6.42), а затем произвести предельный переход, устремив малые параметры к нулю. Пример 6.5.
Передаточная функция ПНЧ имеет вид И'„(з) = = й/зг. Требуется определить дискретнукг передаточную функцию И'„*(з). Решение. Панная передаточная функция ПНЧ имеет двукратный полюс зг г = О. Введя малый параметр Д, преобразуем ее к виду й Ип (з; з') Преобразованная передаточная функция имеет простые полюсы з| = = 0 и зг = — 11. Производная А'(з) = 2з+,3. По формуле (6.4Ц получаем Йс(1 — е ' ) 1( -Ц( - -") Используя разложение е "т = 1 — )дТ+ оЯ, где о()г) — бесконсчо(13) но малая величина более высокого порядка, чем )д (т. е.
!пп = 0), д- о получаем Йс(ДТ -ь о(В)) ~ (' р1 и(, 1Н, 1+6Т,(6И Отсюда, устремив,З к нулю, находим И'„*(з) = 1пп И'„'(г, Д = д-го (г — Ц Если среди простых полюсов функции Х(з) имеются комплексные корни, то может оказаться нецелесообразным использование формул (6.41) и (6.42). Это связано с необходимостью преобразования полученного результата для исключения мнимого числа. Во всех случаях, когда использование формул (6.41) и (6.42) невозможно или нецелесообразно, можно определить Х*(с) и Х*(з, с), разложив Х(з) на элементарные дроби.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
