Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (950613), страница 37
Текст из файла (страница 37)
ь=о Аналогично,исдюльзуя равенство Хд(г,г)Х,"(х,г) = ~~~ х,[(й -~- г)Т[г ~Хд*(х,.г),. ь=о получим х,"и.сх,"и. с = с[у „сд -~ сп..сс — д+,|дд [. д.=о 7о. Теоремы о граничных значениях. Представим з-преобразование от функции х[(д + г)Т) в виде Я = ~х[(д+г)Т[г Х*(х,г) = х[гТ[-е Я, д=д бо, умножение оригинала на а дд е'дат. Согласно определению г-прсобразования у1а-'дд-' 'д"тх[(1 + г)Т[) = ~, 'а-ддч--1 *тх[(д+ г)Т[г-д = д=о сд — сит ~ х[(~ + е)Т[(аитг) — д а — сотХ*(поте е) д=о 6.3.
Рететиатме 4уннции и я-иреабраэааание 201 По определению функции-оригинала существуют положительные числа М и [1 такие, что ]х[(1+ е)Т][ < Мд~. Поэтому Оа [ [Я[ < ~~[ ]т[(1+ с)Т][]з] < М~ ( — ) . [.=1 [=1 При ]я] ) о по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем С-[' г ')' о/]е] о ~ч] ]у — ~л ] []— Итаккак 1ш1 ~ =О, то 1ш1 Я= 11ш ]Я]=0 и ~д-~ [я] — Ч ': -~ ~е~-~ 1пп Х'(я,е) = 1пп (х[еТ] + Я) = х[еТ]. Отсюда при е = 0 имеем х[0] = 11ш Х*(я).
х[оо] = 11п1(з — 1)Х*(я, с) — >1 х[эо] = 11ш(я — 1)Х" (я). ипри с=0 Итак, формулы (6.24) доказаны. Теперь докажем формулу (6.25). Используя свойство линейности я-преобразования и теорему опережения, можем записать 1пп Я(х[(1+ е)Т] — х[(1+ 1+ е)Т]1 = = 11п1 [Х*(ягн) — (яХ*(я,с) — х[еТЯ = = — 1ш1(з — 1)Х'(х, с) -[- х[еТ]. - — ~1 Левую часть верхнего равенства можно также преобразовать следующим образом: 1пп Я(х[(1+ е)Т] — х[(1+ 1+ е)Т]) = =й (е .*[О-~.[т[ — я' [[ю+~+.[г[ ) = е=о [=о е (Т*[[~-;,[г[*-' — з с*[В+~+.[г[* ') = [=о [=о = !пп 1пп (х[еТ] — х[(1 + 1+ е)Т]я и') = — ~1 Ь-эеа = 1ш1 (х[еТ] — х[(1+ 1+ е)Т]) = х[еТ] — х[оо].
Приравняем правые части полученных равенств: х[еТ] — х[оо] = — 1пп (я — 1)Х*(я, е) + х[еТ]. г — [1 Отсюда получаем 202 Гл. 6. Математическое опььсаньье даскреттаьх саьстсм 6.3.4. х-изображения основных функций. В табл. 6.1 и табл. 6.2 представлены соответственно обычныс и модифицированные я-изображения основных решетчатых функций. Как отмечалось, решетчатая функция х(ГТ] получается путем квантования (дискретизации) ььо времени непрерывной функции х(1).
В дальнейшем потребуется вычислять я-изображение решетчатой функции по известному изображению Лапласа Х(а) непрерывной функции х(1). И при этом чтобы избежать этапов вычисления х(1) путем обратного преобразования Лапласа и дискретизации, в указанных таблицах в первом столбце приведены изображения Лапласа соответствующих непрерывных функций. Рассмотрим вывод формул, приведенных в табл. 6.1 и табл. 6.2.
И так как формулы для обычных я-изображений получаются из формул для модифицированных я-изображений при е = О, ограничимся выводом формул, приведенных в табл. 6.2. Таблица б.1. с-изображения 6.3. Реигетчоогые 4гункнии и г-преобразование 203 Таблида 6.2. Модифицированные г-изображения Р*(г, е) Р(в) Д1Т) 1 [1Т) г Тг еТ вЂ” + г — 1 (г — Цг 1Т 1 ~,( еТг 2Тг ) Тгг(х+ 1)] — (1Т)г 1 ь ь-'е о -««т е е — т е" —,1г е еТг Тге е- т (г е-ет)г~ 1 1, )г — гт гг ь1ц е1г Т -'е г сйв (1 — е 11 Т вт 61Т ее — 2 г сов (3Т,'- 1 г соьеДТ вЂ” гсоь (1 — е)оТ ,г + 11г соь 111 Т гг — 2г соь 1гТ + 1 ге = ~[гв1веДТ-~-е ~в1ц(1 — е)6Тг гг — 2ге г соьРТ Ь- е г г' ( ь )гь юг ге ' г [г соьеРТ вЂ” е "г сов11 — е) гТг ь+ О + уг е ' сов 61Т гг — 2ге г совет ь- е Г*(е,е) = еТХ'(я,е) — Те е1г Так как Х'(е,е) = Х( — (1+в)Т) = — Я((1+в)Т) = —,~[[еТ + то, подставив это выражение в приведенную выше формулу, получим искомое выражение для г"* ( з, е) .
1) Модифицированное г-изображение для единичной функции у[1Т) = Ц1Т) было получено при рассмотрении примера 6.3 (см. формулу (6.11)). 2) Модифицированное я-изображение для функции Д1Т] = 1Т было получено при рассмотрении свойства 4о я-преобразования (см. (6.16)). 3) Для получения модифицированного е-изображения для функции ) [1Т) = -[1Т)г представим ее в виде ЯТ) = 1Тх[1Т~, где я[1Т) = 1 1 2 = -1Т, и воспользуемся формулой [6.14) 2 204 Гт 6.
Математическое от«синие дискретных систем 4) Модифицированное я-изображение для функции 1'[1Т] = е было получено при рассмотрении свойства 5о г-преобразования (см. выражение (6.20)). 5) Для получения модифицированного е-изображения функции 1[1Т] = 1Те ««представим ее в виде 1[1Т] = е ««х[1Т], где х[1Т] = = 1Г, и воспользуемся формулой (6.18) г'*(я«е) = е ' тХ'(е ~я«е).
Так как Х'(з,е) = Я((1+с)Т) = еТ вЂ” + то т ТГТ, «" (ю е) — е [еТ, + еТе Те =е = -" .—.--".— е--4 При получении формул 6. 9 из табл. 6.2 используется модифицированное я-изображение С'(я,е) функции д[1Т] = е 1о «"~«т. Лля нахождения С'(г, е) представим последнюю функцию в виде у[1Т] = = е 1о авдт х[1Т], где х[1Т] = 1[1Т], и воспользуемся формулой (6.18): с'«(з е) е — ««о — ««дйтХ*(е«о — «Я«т Учитывая, что модифицированное я-изображение единичной функции имеет вид Х'(.,е) = г(1(1+ е)Т) = находим Ц*(е е) — е — Ц вЂ” дсбт е е — 1 — «шт' Умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю число: — и — «а)т( — с е«о~т) — — «Юг)1«е — « *(з, е)— Используя формулу Эйлера ед' = созх+ з япх, последнее выражение можно преобразовать к виду е«« ' («созе/3Т вЂ” е " сои(1 — е)6Т) еа — 2ее '"а соз /3Т -~- е +1 .
ее ' т(еяпеДТ+ е "т зш (1 — е))дТ) еа — 2ее от сое)дТ -'е е аот 6) Функция ЦТ] = з1п1)1Т связана с функцией д[1Т] = е' 1 соотношением У [1Т] = 1шЯ[1Т]] о. Поэтому (см. (6.26)) е~ яп е)дТ+ яп (1 — е~рЗТ ]о=а еа — 2е соз |3Т + 1 265 6.В. Урввненьья н переььапьо ьнвье ьрунниьььь 7) Функция [[1Т] = соз1з1Т связана с функцией у[1Т] = е соотношением 1[1Т] = Пе у[1Т]] Поэтому сов еЬь Т вЂ” сов (1 — е))3Т =о в 2 пт, 8) Функция [[1Т] = е о'тз1пфт связана с функцией у[1Т] = = е ь' уз1'т соотношением У[1Т] = )ьпу[1Т]. Поэтому [см. [6.26)) «е вв [вв1пеьЗТ-Ь е " в1ьь(1 — е))1Т) Уь — 2яе "т сов Ььт+ е ь т 9) Функция )[1Т] = е" ~~ соз)11Т связана с функцией у[1Т] = = е 1" ьвььт соотношением У[1Т] = Псу[)т].
Поэтому ве "" (з сов е[1Т вЂ” е в сов(1 — е)11Т) вв — 2ве "т сов Ььт+ е з"т 6.4. Уравнения и передаточные функции дискретных систем Если дискретная система задается разностным уравнением, то ее передаточные функции определяются аналогично передаточным функциям непрерывных систем. Отличие состоит только в томь что в случае дискретных систем вместо оператора дифференцирования р используется оператор смешения Е, а вместо преобразования Лапласа з-преобразование.
Пусть дискретная система управления описывается разностным уравнением аоьу[[1 + и)Т] + аьу[[1 + и — 1)Т] + ... + а„у[1Т] = = Ьои[[1 + т)т]+ Ььи[[1 -ь т — 1)Т] -ь... + Ь„и[1Т], [6.27) где у[1Т] выходная переменная, и[1Т] входная переменная, а, [1 = 1,2,...,п) и Ь, [ь = 1,2,...,т) .-. константы.
В операторной форме это уравнение принимает вид [аоЕ" +а,Е" ь -Ь... + оп)у[1Т] = [ЬоЕ™ + ЬьЕ ь +... + Ьь )и[1Т]. Разностный оператор при выходной переменной Я'[Е) = аоЕп+аьЕ" '+...+а„ 206 Гл. б. Маьпемати ьеское описаньье дискрспьнык ыьгтем называется собственным (разностным) оператором, а разностный оператор при входной переменной Р*(Е) = ЬоЕ"' + ЬьЕ"' ~ + + Ьт (разностным) оператором воздейсгавия. Отношение оператора воздействия к собственному оператору называется передаточной функцией в операторной форме. В соответствии с этим определением передаточная функция (в операторной форма) системы управления (6.27) равна Р (Е) ЬоЕ"' -~-ЬьЕ ' -~-... -~-Ь", (6 28) Я*(Е) аоЕ" -Ь аьЕ" ' -Ь... -Ь а„ Имеющее наименьший порядок отношение я-изображений (при нулевых начальных условиях) выходной и входной переменных называется передаточной функцией в я-изобразкенияя. Для вычисления передаточной функции в г-изображениях системы управления (6.27) применим к обеим частям этого уравнения я-преобразованис.
Используя свойство линейности з-преобразования, можем записать аоХ(у[(1+ п)Т)] + аьХ(у[(1+ и — 1)Т]) +... + а„Х(у[1Т]) = = ЬоХ(и[(1+ т)Т]) + ЬьХ(и[(1 + т — 1)Т]) +... + Ьь„,Х(и[1Т]). В соответствии с теоремой опережения при нулевых начальных условиях (у[0] = у[Т] =...
= у[(п — 1)Т] = О, и[0] = и(Т] =... = а[(тп— — 1)Т] = О) имеем Х(у[(1+ ь)]) = я'У'(я), Х(и[(1+ ь)]) = яь(ь" (я). Поэтому (аоки+аско '+. + ос)У*(я) = (Ьояы+ Ьье'" '+... ь Ььк)Б'(я). Отсюда для передаточной функции в я-изображениях И'*(я) получаем )у*( — ( ) — о +Ь! +'''+Ь (629) Ьг*(е) асе" +аье" '+... +а„ Сравнивая передаточные функции в операторной форме (6.28) и в я-изображениях, нетрудно заметить, что ЬУ'(г) = И'*(Е)[ Передаточная функция И'*(к) является функцией комплексной переменной г, и по определению она не содержит одинаковых нулей и полюсов. Поэтому если передаточная функция в операторной форме Иг'(Е) имеет одинаковые нули и полюсы, обратное равенство И'(Е) = И *(.) [ не имеет места. Передаточная функция И" (Е) является оператором и уравнение у[1Т] = Иг*(Е)и[1Т], 6.5. Вычисление передаточных фунниип АИ1е1-сне~иены 207 где И'*(Е) определяется соотношением (6.28), представляет собой операторную (символическую) форму записи уравнения (6.27).
В правой части нельзя переставлять местами оператор и входную переменную. Итак, если дискретная система управления задана разностным уравнением, то процесс вычисления передаточных функций ничем не отличается от процесса вычисления передаточных функций непрерывных систем. Однако, как правило, приходится вычислять передаточные функции, когда известны характеристики дискретных элементов и передаточная функция непрерывной части. И в этом случае возникают особенности, которые делают вычисление передаточных функций дискретных систем более сложным. 6.5. Вычисление передаточных функций АИМ-системы Импульсные системы управления, .кроме импульсных систем с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ-системы), являются нелинейными.
Однако цифровые системы управления и системы управления с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ-системы) при определенных условиях могут рассматриваться как АИМ-системы. Поэтому начнем рассмотрение с АИМ-систем. Заметим, что здесь речь идет только об импульсных системах управления с импульсной модуляцией 1-го рода. 6.5.1. Эквивалентная схема АИМ-снстемы. АИМ-система вклкечает АИМ-элемент и непрерывную часть (рис.
6.4). Для получе- Рис. 6.4. Блок-схема АИМ-системы управления ния математического описания АИМ-системы управления АИМ-элемент представим в виде эквивалентной схемы, состоящей из простейшего импульсного звена 1 и формирующего звена 2 (рис. 6.5, 6). и($) еП) е (1) иде) Рис.
6.5. АИМ-элемеит (а) и его эквивалентная схема (6) Простейшее импульсное звено (звено 1 на рис. 6.5, 5) представляет собой звено, которое преобразует входную функцию е(1) в обоб- 208 Гл. 6. Математи ьеское онььсаньье диснретаныя систем иь(ь) = ~~ е[ьТ)тэ(у — ьТ). ь=в (6.31) Теперь найдем описание сигнала на выходе АИМ-элемснта. Пусть не- модулированный импульс описывается функцией в(ь) (см, рис, 6.5, а). При амплитудно-импульсной модуляции амплитуда импульса умножается на значение входного сигнала в моменты съема сигнала ь = ьТ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
